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1、苏州大学研究生课程苏州大学研究生课程 固体物理（固体物理（）Solid State Physics ()2010.02.26 曹海霞曹海霞 Referencesn1. 黄昆韩汝琦黄昆韩汝琦固体物理学固体物理学, 高等教育出版社高等教育出版社n2.阎守胜阎守胜, 固体物理基础固体物理基础, 北京大学出版社北京大学出版社n3.方俊鑫，陆栋方俊鑫，陆栋, 固体物理学（下）固体物理学（下）, 上海科学技术上海科学技术出版社出版社n4.C.Kittel, Introduction to solid state physics,7th edition, New Yorkn5.方俊鑫，殷之文方俊鑫，殷之文,
2、 电介质物理学电介质物理学, 科学技术出版社科学技术出版社n6. 钟维烈钟维烈, 铁电体物理学铁电体物理学, 科学技术出版社科学技术出版社n7. 宛德福等，宛德福等，磁性物理学磁性物理学n黄昆（1919年9月2日2005年7月6日）。n国际著名的中国物理学家、教育家、中国固体物理学先驱、中国半导体技术奠基人。n黄昆1919年9月出生于北京，1941年毕业于燕京大学，1944年毕业于西南联合大学的北京大学理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布里斯托大学获得博士学位。n黄昆获得博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论物理系从事研究工作。n1951年，黄昆回到北京大学任物理系教授，19
3、77年后任中国科学院半导体研究所所长直到退休。n黄昆早年在爱丁堡大学与著名物理学家、诺贝尔奖得主玻恩教授一起从事研究工作，合著了在固体物理学界享有声誉的晶格动力学一书。1956年，黄昆在北京大学物理系任教授期间，参与创建了中国第一个半导体物理专业，为中国信息产业培养了第一批人材。在北京大学任教期间，黄昆还主持本科生教学体系的创建工作，并著有固体物理学教材，享有盛誉。n2001年，黄昆与其北大校友王选一同获得了该年度国家最高科学技术奖。n殷之文殷之文 材料科学家。1919-2006年，汉族，研究员。江苏省吴县人1993年当选为中国科学院院士。n1942年毕业于云南大学采矿冶金系。n1948年获美
4、国密苏里大学冶金系硕士学位。n1950年获美国伊利诺大学陶瓷工程系硕士学位。中国科学院上海硅酸盐研究所研究员、学术委员会主任。n自1950年回国以后他长期从事功能陶瓷和闪烁晶体的研究工作。他是中国功能陶瓷的首创者，这方面的成就为今后大量生产和应用这类材料打下了基础。Assessment1. Homework Problem Sets（20）2. Oral Presentation ( in groups) （20）3. Final Exam（60）OUTLINEn1 Introductionn2 Energy Bands (Chap.4, 5)n3 Semiconductor crystals
5、 (Chap.7)n4 Magnetism -Diamagnetism, Paramagnetism, Ferromagnetism, Antiferromagnetismn5 Dielectrics and Ferroelectricsn6* Optical Processes Introductionn凝聚态物理凝聚态物理(Condensed Matter Physics)n从微观角度出发从微观角度出发,研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质(固固体和液体体和液体)的结构和动力学过程的结构和动力学过程, 及其与宏观物理性质之间关系的及其与宏观物理性质之
6、间关系的一门科学一门科学.n凝聚态物理的重要性凝聚态物理的重要性n(1)它为力学它为力学,流体力学流体力学,电子学电子学,光学光学,冶金学及固态化学等经典科冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础学提供了量子力学基础. n(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管如它是晶体管,超导磁体超导磁体,固态激光器固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对对通信通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事对非核军事技术也产生了深刻的影响技术也产生了
7、深刻的影响.凝聚态物理各子领域与经济社会关系表凝聚态物理各子领域与经济社会关系表科学的前沿：科学的前沿： Before 80年代：天体物理、粒子物理年代：天体物理、粒子物理 After 80年代：凝聚态物理年代：凝聚态物理凝聚态物理已占整个物理学的半壁江山凝聚态物理已占整个物理学的半壁江山凝聚态物理不同于其他学科凝聚态物理不同于其他学科, 内容显得多而杂内容显得多而杂, 有必要站在科学发展的高度有必要站在科学发展的高度, 审视其内在的规律审视其内在的规律.科学史学家科学史学家 Thomas Kuhn 强调强调范式范式在学科发展过程中在学科发展过程中的作用的作用http:/www.emory.e
8、du/EDUCATION/mfp/Kuhnsnap.htmlThomas KuhnThomas Kuhn(1922.7.18-1996.6.17)(1922.7.18-1996.6.17)在在Harvard Harvard 大学读大学读理论物理研究生时理论物理研究生时写的一本书写的一本书n1.1 范式范式n1.什么叫范式什么叫范式? (Paradigm)n An example that serves as pattern or model.n 样式作为样本或模式的例子样式作为样本或模式的例子n2.学科的范式学科的范式 n 联贯的理论体系联贯的理论体系n 一个学科的成熟以其范式的建立为标准一个
9、学科的成熟以其范式的建立为标准n 范式对学科从整体上把握有重要意义范式对学科从整体上把握有重要意义3. 3. 学科发展的范式学科发展的范式科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。1.1.前范式阶段前范式阶段(pre-paradigm)(pre-paradigm)2.2.常规科学阶段常规科学阶段 (normal science)(normal science)3.3.反常阶段反常阶段(anomaly)(anomaly)4.4.危机阶段危机阶段(crisis)(crisis)5.5.科学革命阶段科学革命阶段(scientific revolution)(sc
10、ientific revolution)6.6.新范式阶段新范式阶段 (new paradigm).(new paradigm).科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。而一门成熟科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。而一门成熟科学的发展历程是可以通过范式转换来描述的。科学的发展历程是可以通过范式转换来描述的。1.2 1.2 固体物理的范式固体物理的范式1.1.范式的建立范式的建立 时间时间: 20: 20世纪上半叶世纪上半叶 基础基础: : (1). (1). 晶体学晶体学: : 晶体周期结构的确定晶体周期结构的确定 1669: 1669: 晶面角守恒律晶面角守恒律(Steno)(St
11、eno) 1784: 1784: 有理指数定律和晶胞学说有理指数定律和晶胞学说( (HauyHauy) ) 1848: 1848: 空间点阵学说空间点阵学说( (BravaisBravais) ) 1889-1891: 1889-1891: 空间群理论空间群理论( (FederovFederov 和和 SchvenfliesSchvenflies) ) 1912: 1912: 晶体晶体X X射线衍射实验射线衍射实验(Laue)(Laue) (2). (2). 固体比热的理论固体比热的理论: : 初步的晶格动力学理论初步的晶格动力学理论 1907: 1907: 独立振子的量子理论独立振子的量子理
12、论(Einstein)(Einstein) 1912: 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论连续介质中的弹性波的量子理论(Debye)(Debye) 1912: 1912: 周期结构中的弹性波周期结构中的弹性波(Born (Born 和和 von Karman)von Karman) (3). (3). 金属导电的自由电子理论金属导电的自由电子理论: Fermi : Fermi 统计统计1897: 1897: 电子的发现电子的发现(Thomson)(Thomson)1900: 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论金属电导和热传导的经典自由电子理论( (DrudeDrude) )1
13、924: 1924: 基于基于FermiFermi统计的自由电子理论统计的自由电子理论(Pauli (Pauli 和和 SommerfieldSommerfield) ) (4). (4). 铁磁性研究铁磁性研究: :自旋量子理论自旋量子理论1894: 1894: 测定铁磁测定铁磁-顺磁转变的临界温度顺磁转变的临界温度(Curie)(Curie)1907: 1907: 铁磁性相变的分子场理论铁磁性相变的分子场理论(Weiss)(Weiss)1928: 1928: 基于局域电子自旋相互作用的铁磁性量子理论基于局域电子自旋相互作用的铁磁性量子理论另外另外: : 电子衍射的动力学理论电子衍射的动力学
14、理论(Bethe) (Bethe) 金属导电的能带理论金属导电的能带理论(Bloch)(Bloch) 基于能带理论的半导体物理基于能带理论的半导体物理(Wilson)(Wilson)标志标志: 1940: 1940年年 Seitz Seitz “固体的现代理论固体的现代理论”19551955年年 Solid State PhysicsSolid State Physics -Advance in Research and Application -Advance in Research and Application2.2.范式的内容范式的内容 核心概念核心概念: : 周期结构中波的传播周期结
15、构中波的传播 (1946(1946年年BrillouinBrillouin著著) ) 晶体的平移对称性晶体的平移对称性( (周期性周期性) ) 波矢空间波矢空间( (倒空间倒空间) ) 强调共有化的价电子以及波矢空间的色散关系强调共有化的价电子以及波矢空间的色散关系波矢空间的基本单元波矢空间的基本单元: : BrillouinBrillouin区区焦点焦点: : BrillouinBrillouin区边界或区内某些特殊位置的能量区边界或区内某些特殊位置的能量- -波矢波矢 色散关系色散关系晶格动力学晶格动力学+ +固体能带理论固体能带理论3. 3. 范式的定量表述范式的定量表述 标量波标量波
16、( (电子电子) ) 波波 矢量波矢量波 ( (电磁波）电磁波） 张量波张量波 ( (晶格波）晶格波） (1)(1)标量波标量波 在绝热近似，单电子近似下在绝热近似，单电子近似下, , 电子在周期场中的运动电子在周期场中的运动(de Broglie(de Broglie波波) )方程方程: :Bloch theorem Bloch theorem R:R:格位矢格位矢G:G:倒格矢倒格矢E Ek, k, 能带结构（能量色散关系）能带结构（能量色散关系）Si Structure of Energy BandSi Structure of Energy Band，SemiconductorSemi
17、conductorIndirect Band GapIndirect Band Gap价带价带导带导带价带顶价带顶导带底导带底fcc IBZIrreducible Brillouin Zone固体能带结构的两种理解固体能带结构的两种理解: :(1). (1). 近自由电子图像近自由电子图像+ +周期势场的微扰周期势场的微扰(2). (2). 原子能级图像原子能级图像+ +晶体场展宽晶体场展宽( (紧束紧束缚近似缚近似) )Two atomsSix atomsSolid of N atoms(2). (2). 矢量波矢量波 电磁波电磁波: Maxwell : Maxwell EqEq. .应用应
18、用: X: X射线衍射动力学射线衍射动力学Bragg Eq.光子晶体光子晶体(photoniccrystal) 周期性结构调制，波的运动产生色散，形成带结构，带周期性结构调制，波的运动产生色散，形成带结构，带隙之间的波禁止通过，称为禁带。隙之间的波禁止通过，称为禁带。 电子的运动电子的运动 光子的运动？光子的运动？光子晶体光子晶体: :在高折射率材料的某些位置周期性出现低折射率的在高折射率材料的某些位置周期性出现低折射率的材料材料. . 这种光的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，这种光的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，控制着光在晶体中的运动。控制着光在晶体中的运动。1987198
19、7年提出概念年提出概念: : E.Yablonovitch(PRL58,2059)S.John(PRL58,2486)19901990年理论预言第一个有完整光子带隙的三维光子晶体年理论预言第一个有完整光子带隙的三维光子晶体 (PRL 65, 3152)(PRL 65, 3152)19911991年实验制备第一个有完整光子带隙的三维光子晶体年实验制备第一个有完整光子带隙的三维光子晶体 (PRL 67, 2295)(PRL 67, 2295) Whats Photonic crystal?n光子禁带材料，从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设计和制造的晶体。与半导体晶
20、格对电子波函数的调制相类似，光子带隙材料能够调制具有相应波长的电磁波-当电磁波在光子带隙材料中传播时，由于存在布拉格散射而受到调制，电磁波能量形成能带结构。能带与能带之间出现带隙，即光子带隙。所具能量处在光子带隙内的光子，不能进入该晶体。光子晶体和半导体在基本模型和研究思路上有许多相似之处，原则上人们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到控制光子运动的目的。光子晶体(又称光子禁带材料)的出现，使人们操纵和控制光子的梦想成为可能。光子晶体多为人工设计光子晶体多为人工设计, , 自然界也有自然界也有: : 蛋白石、蝴蝶翅膀蛋白石、蝴蝶翅膀OpalButterflyTraditionalmulti
21、-layerfilm三维光子晶体三维光子晶体二维二维光子晶体光子晶体光子带隙光子带隙DielectricConstantGaAs:13GaAlAs:12Air:1举例举例 一维复式格子一维复式格子若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为M1的原子所受力为：的原子所受力为：其运动方程为其运动方程为(3)(3)张量波张量波 晶格的运动晶格的运动( (格波格波): ): 晶格动力学晶格动力学同理可写出第同理可写出第s s个晶胞中质量为个晶胞中质量为M M2 2的原子的运动方程为：的原子的运动方程为：u u，v v可以是复数，第个晶胞中质量为可以是复数，第个晶胞中质量为
22、 的原的原子的子的与与k k相同，但振幅不同，由于相同，但振幅不同，由于u u，v v是复数，故是复数，故u u，v v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。系。我们将代入运动方程得：我们将代入运动方程得： 这是以这是以u u，v v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：为零。便可得到：展开此行列式可得：展开此行列式可得： 即即 上式中取上式中取“ ” 号时，有较高频率称为光学支色散关系号时，有较高频率称为光学支色散关系(optical branch)(optical branch)，取
23、，取“ ”号时，有较低频率称为声学支色散关号时，有较低频率称为声学支色散关系系(acoustical branch)(acoustical branch)。Optical Branch and Acoustical BranchOptical Branch and Acoustical Branch 当当k=k= 设设 对声学支对声学支 对光学支对光学支为了讨论比较典型为了讨论比较典型, ,我们处理长波极限下的情况。当我们处理长波极限下的情况。当kaka1 1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）三维晶格的振动三维晶格的振动 三维复式格子三维复式格
24、子各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子第第k个原子运动方程个原子运动方程原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程3n个线性齐次方程个线性齐次方程系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个长波极限长波极限3个个趋于一致趋于一致三个频
25、率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动3支声学波支声学波3n3支支长长波波极极限限的的格格波波描描述述一一个个原原胞胞中中各各原原子子间间的的相相对运动对运动3n3支光学波支光学波结结论论：晶晶体体中中一一个个原原胞胞中中有有n个个原原子子组组成成，有有3支支声声学学波波和和3n3支光学波支光学波4. 4. 范式的开拓和深化范式的开拓和深化 开拓开拓: : 无序体系无序体系 深化深化: : 量子相干性量子相干性无序体系无序体系: :相对于周期性晶体结构而言相对于周期性晶体结构而言. . 非晶非晶, ,液晶液晶, ,准准晶晶, ,液体等液体等. K.
26、K不是好量子数不是好量子数量子相干性量子相干性:主要体现在输运性质方面主要体现在输运性质方面, 输运性质由载流输运性质由载流子对散射中心散射决定子对散射中心散射决定: 弹性散射弹性散射+非弹性散射非弹性散射弹性散射平均自由程弹性散射平均自由程 非弹性散射平均自由程非弹性散射平均自由程介观体系介观体系: 体系尺度体系尺度非弹性散射平均自由程非弹性散射平均自由程AB效应效应研究对象扩展n从周期结构非周期结构，准周期结构n从高维（）扩展到低维，分数维Condensed Matter Physicsn研究对象不断扩大n各分支学科互相交叉n新的分支不断涌现 分数维,介观物理,团簇物理n基本理论不断丰富和
27、发展小结n1.1 范式范式n1.什么叫范式什么叫范式? n2.学科的范式学科的范式n3.学科发展的范式学科发展的范式n1.2 固体物理的范式固体物理的范式n1.范式的建立范式的建立n2.范式的内容范式的内容n3.范式的定量表述范式的定量表述(1)标量波标量波(2)矢量波（光子晶体矢量波（光子晶体)(3)张量波张量波n4.范式的开拓和深化范式的开拓和深化Part 1 Energy Bands -Bloch theoremnIntroductionn固体能带的形成n能带理论的基本假设nBloch theoremn布洛赫定理的两种表达方式n证明n波矢k的取值及其物理意义n单个电子在周期性势场中的运动
28、问题处理Introduction能带理论能带理论研究固体中电子运动的主要理论基础研究固体中电子运动的主要理论基础能带理论能带理论定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展体技术的发展随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算 说明了
29、导体、非导体的区别说明了导体、非导体的区别Bloch和Brillouin为解决金属的电导问题，研究了周期场中运动的电子性质。固体能带的形成n原子能级和量子化轨道n共有化电子n能带能带理论的基本假设n晶体由大量电子和原子核组成的多体系统，但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关。n多体系统的求解非常困难，因此进行系列近似处理，将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。n绝热近似：把价电子和离子实分开，即把多粒子体系简化为多电子体系。n单电子近似：假定每个电子都处于相同的其它电子和离子实所形成的平均势场中运动。即把多电子问题简化为单电子问题。n周期场近似：一般温度下，近似认为离子实处在平衡位置，假
30、定所有电子和离子实产生的场都具有晶格周期性。能能带带理理论论是是单单电电子子近近似似的的周周期期场场理理论论把把每每个个电电子子的的运运动看成是独立的在一个等效势场中的运动动看成是独立的在一个等效势场中的运动单电子近似单电子近似最早用于研究多电子原子（最早用于研究多电子原子（哈特里哈特里福克福克自洽场方法）自洽场方法）能能带带理理论论的的出出发发点点固固体体中中的的电电子子不不再再束束缚缚于于个个别别的的原原子，而是在整个固体内运动子，而是在整个固体内运动，即成为共有化电子，即成为共有化电子理想晶体理想晶体晶格具有周期性，等效势场晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性具有周期性采采用用以以
31、上上三三个个近近似似，固固体体能能带带理理论论的的核核心心问问题题就就变变成成求求解解一一个个周期场中的单电子问题。周期场中的单电子问题。即晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动即晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动WaveEq.PeriodicPotential本章主要讨论两种晶体势场：1.晶体势场的周期性起伏比较弱，周期势场可看成对自由电子的微扰，称为近自由电子近似(nearly free electron)。大多数金属属于此类情况。2.晶体势场的周期性起伏很大，晶体中的电子比较紧的束缚在某一原子附近，周期势场可看作对原子势场的围绕，称为紧束缚近似(tight binding app
32、roximation)。惰性元素晶体属于此类。TwoexpressionsofBlochTheorem1）SolutionsofSchrodingerEq.satisfyBlochTheoremWavevector 当平移晶格矢量当平移晶格矢量波函数只增加了位相因子波函数只增加了位相因子BlochTheoremperiodicpotential,SchrodingerEq.PeriodicFunction2）AccordingtoBlochTheorem电子的波函数电子的波函数BlochFunction即，周期场中电子的波函数是一个周期性调幅的平面波。即，周期场中电子的波函数是一个周期性调幅的
33、平面波。平面波因子描述晶体的共有化运动，即电子可以在整个晶平面波因子描述晶体的共有化运动，即电子可以在整个晶体中自由运动体中自由运动周周期期函函数数因因子子描描述述电电子子在在原原胞胞中中的的运运动动，它它取取决决于于原原胞胞中中电子的势场。电子的势场。Bloch波：是被周期函数所调幅的平面波。 平面波亦满足此式，其是一个特殊的bloch波。Bloch电子：遵从周期性单电子薛定谔方程的电子， 或用bloch波描述的电子。Bloch给出了在晶格周期场中运动的单个电子所具有的波函数形式，它们满足：这说明，晶格周期场中的电子在各原胞对应点上出现的几率均相同，电子可以看做是在整个晶体中自由运动的，这种
34、运动称为电子的共有化运动。布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明1.引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数2.利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式势场的周期性反映了晶格的平移对称性势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量晶格平移任意矢量势场不变势场不变在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符作用于任意函数作用于任意函数平移算符作用于周期性势场平移算符作用于周期性势场平移算符平移算符的性质的性质各平移算符之间对易各平移算符之间对易对于任意函数
35、对于任意函数平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和微分结果一样微分结果一样平移算符的平移算符的本征值本征值三个方向三个方向上的原胞数目上的原胞数目引入周期性边界条件引入周期性边界条件总的原胞数总的原胞数T和和H存在对易关系，选取存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数成为各平移算符的本征函数对于对于对于对于对于对于整数整数引入矢量引入矢量倒格子基矢倒格子基矢满足满足平移算符的本征值平移算符的本征值将将作用于电子波函数作用于电子波函数BlochTheorem电子的波函数电子的波函数满足布洛赫定理满足布洛赫定理晶格周期性
36、函数晶格周期性函数布洛赫函数布洛赫函数平移算符本征值的物理意义平移算符本征值的物理意义 /波矢k的取值及其物理意义1）原胞之间电子波原胞之间电子波函数位相的变化函数位相的变化2）平移算符本征值量子数）平移算符本征值量子数简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同3）简约波矢改变一个倒格子矢量）简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值平移算符的本征值为为了了使使简简约约波波矢矢的的取取值值和和平平移移算算符符的的本本征征值值一一一一对对应应，将简约波矢的取值限制第一布里渊区将简约波矢的取值限制第一布里渊区简约波矢简约波矢简约波矢的取值简约波矢的
37、取值第一布里渊区体积第一布里渊区体积n每个波矢表示电子的量子态，如果将波矢的末端看作量子态的代表点，则量子态代表点在倒格子空间均匀分布简约波矢简约波矢在在空间中第一布里渊区均匀分布的点空间中第一布里渊区均匀分布的点每个代表点的体积每个代表点的体积状态密度状态密度简约布里渊区的波矢数目简约布里渊区的波矢数目单个电子在周期性势场中的运动问题处理单个电子在周期性势场中的运动问题处理第第一一步步简简化化绝绝热热近近似似：离离子子实实质质量量比比电电子子大大，离离子子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上第第二二步步简简化化利利用用哈哈特
38、特里里一一福福克克自自治治场场方方法法，多多电电子子问问题题简简化化为为单单电电子子问问题题，每每个个电电子子是是在在固固定定的的离离子子势势场场以以及及其它电子的平均场中运动其它电子的平均场中运动第三步简化第三步简化所有离子势场和其它电子的平均场是周所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场期性势场 单个电子在周期性势场中的运动问题处理单个电子在周期性势场中的运动问题处理1）能量本征值的计算能量本征值的计算选选取取某某个个具具有有布布洛洛赫赫函函数数形形式式的的完完全全集集合合，晶晶体体电电子子态的波函数按此函数集合展开态的波函数按此函数集合展开2）电子波函数的计算）电子波函数的计算根根据据每每个个本本征征值值确确定定电电子子波波函函数数展展开开式式中中的的系系数数，得得到具体的波函数到具体的波函数将将电电子子的的波波函函数数代代入入薛薛定定谔谔方方程程，确确定定展展开开式式的的系系数数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
