《高等代数（I）课件：第1章 线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数（I）课件：第1章 线性方程组（152页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高等代数（高等代数（I） Advanced Linear Algebra大课大课 周二周二 3, 4 节节 理教理教 109 周五周五 1, 2 节节 理教理教 109习题课习题课 周二周二 10, 11 节节 二教二教 107 一教一教 207教材教材:高等代数高等代数 (第二版第二版) 上册上册，丘维声著，丘维声著参考材料：参考材料：线性代数讲稿线性代数讲稿, 施光燕著施光燕著高等代数学习指导书高等代数学习指导书 上册上册 , 丘维声著丘维声著 Linear Algebra ， by Prof G Strang （麻省理工开放式课程教学影片（麻省理工开放式课程教学影片 ） 怎样学好线性代
2、数怎样学好线性代数?几何直观的建立几何直观的建立几何直观不能取代严密的逻辑推理几何直观不能取代严密的逻辑推理基本运算要熟练基本运算要熟练数学软件数学软件 Matlab 的使用的使用(强烈推荐强烈推荐)课上勤思考课上勤思考, 课下复习课件课下复习课件第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 矩阵简介矩阵简介 2 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 3 Gauss 消元法消元法 4 线性方程组解的判定与表示线性方程组解的判定与表示 3 行行 4 列列 矩阵矩阵矩阵是一种记录、存储数据的自然结构矩阵是一种记录、存储数据的自然结构. 易于观察，便于检索易于观察，便于检索 a11 a12 a1n a
3、21 a22 a2n am1 am2 amn通常用带双下标的小写罗马字母通常用带双下标的小写罗马字母 a, b, c 表示矩阵元素表示矩阵元素 元素元素 ai j 所在的行所在的行 A = a i j 1im, 1j n 元素元素 ai j 所在的列所在的列 a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n ai1 ai2 aij ain am1 am2 amj amn A 的的 ( i , j ) 元元 : 1 n 矩阵称为矩阵称为 n 维行向量维行向量: m 1 矩阵称为矩阵称为 m 维列向量维列向量: 行向量行向量、列向量统称向量列向量统称向量.通常用小写希腊字母通常用小写
4、希腊字母 , , , , 代表向量代表向量,用带下标的小写罗马字母用带下标的小写罗马字母 a1 , b2 , c3 表示分量表示分量.向量的写法向量的写法 两个两个 n 维列维列 (行行) 向量相等当且仅当它们向量相等当且仅当它们 对应的分量都相同对应的分量都相同 向量加法定义向量加法定义维数相同的列（行）向量可以做加法：维数相同的列（行）向量可以做加法： 向量数乘定义向量数乘定义n数可以和向量做数乘运算：数可以和向量做数乘运算： 线性组合的概念线性组合的概念给定一组系数给定一组系数 k1 , k2 , , ks 及一组向量及一组向量 1 , 2 , , s ， 向量向量 k1 1 k2 2
5、ks s 称为向量组称为向量组 1 , 2 , , s 的一个线性组合的一个线性组合, k1 , k2 , , ks 称为组合系数称为组合系数. 矩阵的行向量矩阵的行向量、列向量、列向量 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 矩阵的转置矩阵的转置例例: 某食品厂收到某食品厂收到 2000 kg 食品订单食品订单, 要求食品含要求食品含 脂肪脂肪 5% , 碳水化合物碳水化合物 12% , 蛋白质蛋白质 15%. 问该厂能否用以下四种原料配制这种食品问该厂能否用以下四种原料配制这种食品? 每
6、种原料含以上三种营养成分的百分比如下每种原料含以上三种营养成分的百分比如下: A B C D脂肪脂肪 8 6 3 2碳水化合物碳水化合物 5 25 10 15蛋白质蛋白质 15 5 20 10 若有配方若有配方: A B C D k1 k2 k3 k4 ( kg ) 则则 ( x1 x2 x3 x4 ) = ( k1 k2 k3 k4 ) 是是 x1 + x2 + x3 + x4 = 2000 8 x1 + 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 2000 5 5 x1 + 25 x2 + 10 x3 + 15 x4 = 2000 12 15 x1 + 5 x2 + 20 x3 + 10 x
7、4 = 2000 15 的一个的一个 非负非负 解解.我们眼中的图像我们眼中的图像RGB三基色（三基色（R,G,B）(0,0,255)(0,255,0)(255,0,0)图像/矩阵Change the image into matrix电脑中的电脑中的“图像图像”彩色图片的组成The makeup of true color image矩阵分块压缩/1Parts decomposition将图像分成小块，称之为“单元”。我们可以看出，每个单元都是颜色相近或是平滑过渡的，这样，每一小单元我们就可以取得较小的k值来代表整个单元的图像。（如上矩阵中，只有194/195/196三个值）接下来我们进行了
8、图形矩阵的分块压缩试验。应用特征值分解（SVD）By王昊/陈蒙/于泓图像压缩试验k值/图像质量k / Quality of image秩秩 k k 1 12 25 510101515202025253030k=100和原图的比较Compare第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 矩阵简介矩阵简介 2 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 3 Gauss 消元法消元法 4 线性方程组解的判定与表示线性方程组解的判定与表示 n 元线性方程组元线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n x n = b2 a31
9、x1 + a32 x2 + + a3n x n = b3 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm n 元线性方程组解的概念元线性方程组解的概念n若将数值若将数值 带入带入方程组方程组后后，每个方程每个方程 都变成等式，都变成等式， 则称列向量则称列向量 为为方程组方程组 的一个解向量的一个解向量 线性方程组的解集线性方程组的解集n方程组的解集方程组的解集 全体解向量构成的集合全体解向量构成的集合. 它分以下三种情况：它分以下三种情况： 无解无解，唯一解唯一解，无穷多解无穷多解.n线性方程组计算的主要问题：线性方程组计算的主要问题： 1）定性判断解集的情况；）定性判断解
10、集的情况； 2）如果有解，描述解集合。）如果有解，描述解集合。例例: 求线性方程组的解集求线性方程组的解集.解：解：交换两个方程的位置，解集合不变交换两个方程的位置，解集合不变一行加上另一行的倍数？一行加上另一行的倍数？ 5 x1 , x2 , x3 的取值如果满足的取值如果满足(a), 也一定满足也一定满足 (b). (a) 的解都是的解都是 (b) 的解的解. 5反之反之, x1 , x2 , x3 的取值如果满足的取值如果满足(b), 也满足也满足 (a) . (b) 的解也是的解也是 (a) 的解的解. - 5一行乘以非零的数，一行乘以非零的数，解集合不变解集合不变 线性方程组的等解变
11、换线性方程组的等解变换 定理定理 1：对线性方程组实施以下三种变换，对线性方程组实施以下三种变换， 方程组的解集合不变：方程组的解集合不变： 1）交换两个方程的位置）交换两个方程的位置 2）一个方程加上另一个方程的任意倍数）一个方程加上另一个方程的任意倍数 3）用）用非零非零的数乘某一方程的数乘某一方程 反复应用以上三种变换反复应用以上三种变换, 可以把方程组可以把方程组 化简成什么形式？化简成什么形式？ 作业：作业：1.1 1 (1), 3 (1)(2) ;1.2 2, 5, 6 . 注注: 方程组解集要求写成向量形式方程组解集要求写成向量形式.向量的加法、数乘及其几何直观向量的加法、数乘及
12、其几何直观 向量加法向量加法n同维数的列（行）向量可以做加法同维数的列（行）向量可以做加法 向量加法满足交换律向量加法满足交换律,结合律结合律: 零向量、负向量零向量、负向量: 向量的数乘向量的数乘 线性组合的概念线性组合的概念给定一组系数给定一组系数 k1 , k2 , , ks 及一组向量及一组向量 1 , 2 , , s ， 新向量新向量 k1 1 k2 2 ks s 称为向量组称为向量组 1 , 2 , , s 的一个线性组合的一个线性组合, k1 , k2 , , ks 称为组合系数称为组合系数 线性表出的概念线性表出的概念 给定向量给定向量 及向量组及向量组 1 , 2 , , s
13、 ，如果存在一组系数如果存在一组系数 k1 , k2 , , ks ，使得使得 k1 1 k2 2 ks s 则称则称 可以被向量组可以被向量组 1 , 2 , , s 线性表出线性表出. 向量的运算、线性表出的几何意义向量的运算、线性表出的几何意义 - 运用几何空间的想象能力运用几何空间的想象能力 向量加法的几何意义向量加法的几何意义: : 平行四边形法则平行四边形法则三维空间也有平行四边形法则三维空间也有平行四边形法则:设向量设向量 ； 向量数乘的几何表示向量数乘的几何表示从原点出发的线段从原点出发的线段过原点的平面过原点的平面设向量设向量 , 不共线不共线 , 张成的平行四边形张成的平行
14、四边形设向量设向量 , 不共线不共线 以原点为顶点的三角形以原点为顶点的三角形设向量设向量 , 不共线不共线 , , 张成的平行六面体张成的平行六面体设设 , , 不共面不共面 过原点直线的平移过原点直线的平移 直线方程直线方程的向量表示Quiz线性表出的概念线性表出的概念给定向量给定向量 及向量组及向量组 1 , 2 , , n ，如果存在一组系数如果存在一组系数 k1 , k2 , , kn ，使得使得 k1 1 k2 2 kn n 则称则称 可被向量组可被向量组 1 , 2 , , n 线性表出线性表出. 可被可被 1 , 2 , , n 线性表出线性表出 可被可被 1 , 2 , ,
15、n 线性表出线性表出 存在一组数存在一组数 k1 , k2 , , kn ，使得使得 可被可被 1 , 2 , , n 线性表出线性表出 存在一组数存在一组数 k1 , k2 , , kn ，使得使得 可被可被 1 , 2 , , n 线性表出线性表出 存在一组数存在一组数 k1 , k2 , , kn ，使得使得 以下线性方程组有解以下线性方程组有解 a11 x1+ a12 x2 + a1n x n = b1 a21 x1+ a22 x2 + a2n x n = b2 am1 x1+ am2 x2+ amn x n = bm 可被可被 1 , 2 , , n 线性表出线性表出计算方法计算方法
16、新新观点！观点！例例: 设向量组设向量组 当当 a, b 取何值时取何值时, 可由可由 1 , 2 , 3 线线性性 表出？表出？ 何何时时表法唯一？表法唯一？ 第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 矩阵简介矩阵简介 2 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 3 Gauss 消元法消元法 4 线性方程组解的判定与表示线性方程组解的判定与表示 Gauss 消元法消元法n反复应用以下三种等解变换反复应用以下三种等解变换: 1）交换两个方程的位置；）交换两个方程的位置； 2）一个方程加上另一个方程的任意倍数；）一个方程加上另一个方程的任意倍数； 3）用）用非零非零的数乘某一方程。的数乘某一方程
17、。可以把方程组化简成什么形式？可以把方程组化简成什么形式？ 先看先看 x1 的系数是否都为的系数是否都为 0 . 若不全为若不全为 0, 比如比如 a31 0, 将第三个方程与第一个交换将第三个方程与第一个交换 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n x n = b2 a31 x1 + a32 x2 + + a3n x n = b3 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm若若 a110, 用第一行的倍数依次去减用第一行的倍数依次去减下面的行，消去其中的下面的行，消去其中的 x1 a11 x1 +
18、 a12 x2 + + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n x n = b2 a31 x1 + a32 x2 + + a3n x n = b3 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n = b2 a31 x1 + a32 x2 + + a3n x n = b3 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n =
19、 b2 a32 x2 + + a3n x n = b3 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm 第第 1 行暂时不动行暂时不动 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n = b2 a32 x2 + + a3n x n = b3 am2 x2 + + amn x n = bm第第 2, , m 行重复上一轮的消元过程行重复上一轮的消元过程 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n = b2 a32 x2 + + a3n x n = b3 am2 x
20、2 + + amn x n = bm注注: 为简便起见为简便起见, 还使用原来的符号还使用原来的符号. 若若 a220，用第二行的倍数去减，用第二行的倍数去减下面的行下面的行, 消去其中的消去其中的 x2 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n = b2 a32 x2 + + a3n x n = b3 am2 x2 + + amn x n = bm第第1，2 行不动，再对第行不动，再对第 3, , m 行重复行重复 选换、消元过程选换、消元过程 a11 x1 + a12 x2 + a13 x2 + + a1n x n = b1 a
21、22 x2 + a23 x2 + + a2n x n = b2 a33 x3 + + a3n x n = b3 am3 x3 + + amn x n = bm注注: 为简便起见为简便起见, 还使用原来的符号还使用原来的符号.注：消元的次序注：消元的次序n在本学期课程中，为了避免不必要的麻烦在本学期课程中，为了避免不必要的麻烦, 用用 Gauss 消元法解方程组时消元法解方程组时, 约定都按从左约定都按从左至右的次序消元。至右的次序消元。 x1 x2 x n例例: 求线性方程组的解求线性方程组的解. 2x1 2x2 5x3 5x4 4 x1 x2 3x3 3x4 1 2x3 x4 5 x1 x2
22、 2x3 2x4 3解解: x1 x2 3x3 3x4 1 2x1 2x2 5x3 5x4 4 2x3 x4 5 x1 x2 2x3 2x4 3 - 2解解: x1 x2 3x3 3x4 1 x3 x4 2 2x3 x4 5 x1 x2 2x3 2x4 3 - 1解解: x1 x2 3x3 3x4 1 x3 x4 2 2x3 x4 5 x3 x4 2从左至右系统地运用从左至右系统地运用 1) , 2) 型等解变换型等解变换, 可以把方程组化为可以把方程组化为阶梯型阶梯型 x1 x2 3x3 3x4 1 x3 x4 2 x4 1 0 0定义定义: 在阶梯形方程组里在阶梯形方程组里, 每个非零行最
23、左边的非零每个非零行最左边的非零系数称为该行的系数称为该行的主元主元 ( pivot element，拐角，拐角位置位置)，非零系数对应的未知量称为，非零系数对应的未知量称为主变量主变量 阶梯型阶梯型方程组满足以下条件方程组满足以下条件:n非零行在零行上面；非零行在零行上面；n每一非零行的主元在上一行主元的右下方每一非零行的主元在上一行主元的右下方. 阶梯型阶梯型 每次只下一级台阶每次只下一级台阶n以下方程组不是阶梯型的，可用以下方程组不是阶梯型的，可用1）2）型）型 等解等解变换进一步化简变换进一步化简: x1 x2 x3 2x4 1 2x3 2x4 0 2x3 2x4 1 0 0 - 1现
24、在是阶梯型现在是阶梯型方程组方程组了了主元出现在常数列中，无解主元出现在常数列中，无解! x1 x2 x3 2x4 1 2x3 2x4 0 0 1 0 0第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 矩阵简介矩阵简介 2 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 3 Gauss 消元法消元法 4 线性方程组解的判定与表示线性方程组解的判定与表示 解集合的判定解集合的判定阶梯型方程组的阶梯型方程组的常数列里如果有主元常数列里如果有主元，则，则原方程组无解；原方程组无解；如果在阶梯型方程组的常数列里没有主元，如果在阶梯型方程组的常数列里没有主元，原方程组是否一定有解原方程组是否一定有解 ?若阶梯型方程组
25、常数列里没有主元，可进一若阶梯型方程组常数列里没有主元，可进一步化简步化简: 将每个非零行的将每个非零行的主元主元变成变成 1 x1 x2 3x3 3x4 1 x2 2x3 2x4 1 2x4 2 0 0自下而上，用非零行的倍数去减上方的每一自下而上，用非零行的倍数去减上方的每一行，将行，将主元主元正上方都变成零正上方都变成零 x1 x2 3x3 3x4 1 x2 2x3 2x4 1 x4 1 0 0自下而上，用每一非零行的倍数去减上方的自下而上，用每一非零行的倍数去减上方的行，使得每个行，使得每个主元主元的正上方都变成零的正上方都变成零 x1 x2 3x3 2 x2 2x3 1 x4 1 0
26、 0 x1 5x3 1 x2 2x3 1 x4 1 0 0得到得到简化阶梯型简化阶梯型方程组：方程组： 每个每个主变量主变量的正上方都是的正上方都是 0定义：主变量以外的其他变量定义：主变量以外的其他变量 xj（1jn） 称为自由变量称为自由变量 x1 5x3 1 x2 2x3 1 x4 1 0 0自由变量项移到等号右边（等解变换）自由变量项移到等号右边（等解变换）,得到一般解的公式得到一般解的公式 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1 0 0注：注：x3 为自由变量为自由变量, 可以取任意值；一旦可以取任意值；一旦 x3的值取定的值取定, 主变量的值跟着被各等式确定；主变量的值跟着被
27、各等式确定；有无穷多解有无穷多解.解的向量表示解的向量表示 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1注：注：x3 为自由变量为自由变量 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1 线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理定理定理 2：对于阶梯型方程组，我们有：对于阶梯型方程组，我们有 常数列有主元常数列有主元 方程组无解；方程组无解； （01型型） 无自由变量无自由变量 唯一解唯一解 常数列无主元常数列无主元 有自由变量有自由变量 无穷多解无穷多解Gauss 消元法消元法 原方程组原方程组 1, 2 型等解变换型等解变换 阶梯型方程组阶梯型方程组 (定性判断解集合定性判断解集合) 2
28、, 3 型等解变换型等解变换 简化阶梯型方程组简化阶梯型方程组 (解的公式解的公式)Quiz.n用用 Gauss 消元法将一个消元法将一个 n 元元 n 方程方程 的线性方程组化为的线性方程组化为阶梯型阶梯型，在最坏，在最坏 情况下要做多少次乘、除运算？情况下要做多少次乘、除运算？ a110 , 用第一行的倍数去减下面的行用第一行的倍数去减下面的行, 需需 (n + 1) (n - 1) 次乘次乘 (除除) 运算运算 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n x n = b2 a31 x1 + a32 x2 + + a3n
29、 x n = b3 an1 x1 + an2 x2 + + ann x n = bn a220，用第二行的适当倍数去减下面的行，用第二行的适当倍数去减下面的行, 需需 n (n - 2) 次乘次乘 (除除) 运算运算 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = b1 a22 x2 + + a2n x n = b2 a32 x2 + + a3n x n = b3 an2 x2 + + ann x n = bnQuiz.n用用 Gauss 消元法求一个消元法求一个 n 元元 n 方程方程 线性方程组的解集合，在最坏情况线性方程组的解集合，在最坏情况下要做多少次乘、除运算？下要做多少
30、次乘、除运算？常数项全部为零的线性方程组称为常数项全部为零的线性方程组称为齐次线性齐次线性方程组方程组 5x1 10x3 x4 0 2x1 2x2 2x3 0 2x1 x2 3x3 0 2x1 2x2 x4 0 齐次方程组总是有解的；它总有一个特殊解齐次方程组总是有解的；它总有一个特殊解 零解零解。 齐次线性方程组解的判定齐次线性方程组解的判定定理定理 3：若：若 n 元元 m 方程齐次线性方程组化为方程齐次线性方程组化为 阶梯型方程组后有阶梯型方程组后有 r 个非零行个非零行 (主元主元)，则，则 n r 方程组有唯一解（零解）方程组有唯一解（零解） n r 方程组有无穷多解方程组有无穷多解
31、 扁平形扁平形齐次方程组有无穷多解齐次方程组有无穷多解推论：当推论：当 变元个数变元个数 方程个数方程个数 时，齐次时，齐次 线性方程组一定有无穷多解。线性方程组一定有无穷多解。 例：解齐次线性方程组例：解齐次线性方程组 5 x1 10 x3 x4 17 x5 0 2x1 2x2 2x3 6 x5 0 2x1 x2 3x3 6 x5 0 2x2 2x3 x4 2 x5 0 x1 2x3 3 x5 0在消元过程中，变元和运算符号仅起到定位在消元过程中，变元和运算符号仅起到定位的作用，在保证系数上下对齐后可以省略。的作用，在保证系数上下对齐后可以省略。 a11 x1 + a12 x2 + + a1
32、n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n x n = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn x n = bm 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 定义：定义：以下操作称为矩阵的初等行变换以下操作称为矩阵的初等行变换 1）交换矩阵两行的位置；）交换矩阵两行的位置； 2）一行加另一行的任意倍数；）一行加另一行的任意倍数； 3）用）用非零非零的数乘某一行。的数乘某一行。解：方程组的增广矩阵解：方程组的增广矩阵 5 x1 10 x3 x4 17 x5 0 2 x1 2 x2 2 x3 6 x5 0 2 x1 x2 3 x3 6 x5 0 2 x2 2 x3 x
33、4 2 x5 0 x1 2 x3 3 x5 0 对增广矩阵作初等行变换对增广矩阵作初等行变换 对第一列消元对第一列消元 对第一列消元对第一列消元 对第一列消元对第一列消元 第一行不变第一行不变, 对下面的行重复以上操作对下面的行重复以上操作 对第二列消元对第二列消元一、二行不变一、二行不变, 下面的行重复以上操作下面的行重复以上操作 一、二行不变一、二行不变, 下面的行重复以上操作下面的行重复以上操作得到阶梯型矩阵得到阶梯型矩阵. 判断一下解的情况判断一下解的情况:已经是简化阶梯型矩阵已经是简化阶梯型矩阵. 自由变量自由变量 移到等号右边移到等号右边 解的公式解的公式 x1 2 x3 3 x5
34、 x2 x3 x4 2 x5 其中其中 x3， x5 为自由变量。无穷多解。为自由变量。无穷多解。 线性方程组有解线性方程组有解 a11 x1 + a12 x2 + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + a2n x n = b2 am1 x1+ am2 x2+ amn x n = bm 可被可被 1 , 2 , , n 线性表出线性表出计算方法计算方法新新观点！观点！例例: 设向量组设向量组 当当 a, b 取何值时取何值时, 可由可由 1 , 2 , 3 线线性性 表出？表出？ 何何时时表法唯一？表法唯一？ 例例: 判断以下哪些是判断以下哪些是(简化简化)阶梯形矩阵阶
35、梯形矩阵 Gauss 消元法消元法 原方程组原方程组 1, 2 型等解变换型等解变换 阶梯型方程组阶梯型方程组 (定性判断解集合定性判断解集合) 2, 3 型等解变换型等解变换 简化阶梯型方程组简化阶梯型方程组 (解的公式解的公式) 线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理定理定理 2：对于阶梯型方程组，我们有：对于阶梯型方程组，我们有 常数列有主元常数列有主元 方程组无解；方程组无解； （01型型） 无自由变量无自由变量 唯一解唯一解 常数列无主元常数列无主元 有自由变量有自由变量 无穷多解无穷多解 第一列选第一列选 好好 的非零元的非零元 第一列消元第一列消元第一行不动，第二列选非零元
36、第一行不动，第二列选非零元第一二行不动，第二列消元第一二行不动，第二列消元第三列选非零元第三列选非零元若第三列都是零，再看第四列若第三列都是零，再看第四列若第四列都是零，再看下一列若第四列都是零，再看下一列 消元消元若常数列有主元若常数列有主元, 无解无解若常数列无主元若常数列无主元, 反向消元反向消元进一步，将每个非零行最左边的进一步，将每个非零行最左边的非零元素（主元）变成非零元素（主元）变成 1111111再由下至上依次消元，将主元正上方再由下至上依次消元，将主元正上方都变成零都变成零111111 得到简化阶梯形矩阵得到简化阶梯形矩阵111111最后，将自由变量部分移到等号最后，将自由变
37、量部分移到等号右边，得到解的公式右边，得到解的公式111111解的公式解的公式111111第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 矩阵简介矩阵简介 2 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 3 Gauss 消元法消元法 4 线性方程组解的判定与表示线性方程组解的判定与表示 5 数域简介数域简介 例例: 以下线性方程组在有理数范围内有解吗以下线性方程组在有理数范围内有解吗？整数集范围内呢整数集范围内呢？为了使为了使 Gauss 消元法能通畅无阻地进行消元法能通畅无阻地进行, 必须要求所使用的数集对四则运算封闭必须要求所使用的数集对四则运算封闭.例如例如: Q, R, C 定义定义: 若复数集若复数集 C 的一个子集的一个子集 K 满足满足 1) 0 , 1 K ; 2) K 对加对加, 减减, 乘乘, 除除 四则运算封闭四则运算封闭; 则称则称 K 是一个数域是一个数域.例例: 是数域是数域.See you next time
