《北师大版数学必修四课件：3.3.1二倍角的三角函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修四课件：3.3.1二倍角的三角函数（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版 利用公式化简求值利用公式化简求值 二倍角公式在化简求值中的应用注释：二倍角公式在化简求值中的应用注释：1.1.明确式子结构，观察角与角之间的关系明确式子结构，观察角与角之间的关系当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及到的角较式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及到的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围根号为目的，化简时注意角的范围. .2.2.灵活选取公
2、式形式灵活选取公式形式二倍角公式是三角恒等变换中公式变形形式最多二倍角公式是三角恒等变换中公式变形形式最多, ,灵活应用灵活应用程度最高的一类程度最高的一类, ,因此要在熟悉公式间密切联系的基础上因此要在熟悉公式间密切联系的基础上, ,融会贯通有目的地活用公式融会贯通有目的地活用公式, ,公式的主要变形形式有以下几公式的主要变形形式有以下几种：种： 特别是特别是1+cos2=2cos1+cos2=2cos2 2、1-cos2=2sin1-cos2=2sin2 2 , ,从左边到右边角缩小了，但三角函数从左边到右边角缩小了，但三角函数的幂次却升高了，因此这种变形起到了的幂次却升高了，因此这种变形
3、起到了“升幂缩角升幂缩角”的作的作用，在二倍角公式中又称为用，在二倍角公式中又称为“升幂公式升幂公式”而而 这种形式与前面的形式所起作用恰好相反，这种形式与前面的形式所起作用恰好相反，它的作用是它的作用是“降幂扩角降幂扩角”，因此又把这种形式称为是，因此又把这种形式称为是“降降幂公式幂公式”. .【例例1 1】(1)(1)化简：化简：cos20cos20cos40cos40cos80cos80 ; ;(2)(2)若若180180270270，试化简试化简【审题指导审题指导】(1)(1)式子中的角具有式子中的角具有“二倍二倍”的关系，并且是的关系，并且是连乘积的形式，可以创造条件利用二倍角的正弦
4、公式化简连乘积的形式，可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简求值；求值；(2)(2)该式化简的目的就是要去掉根号，利用二倍角的余弦公该式化简的目的就是要去掉根号，利用二倍角的余弦公式的变形形式可去根号，但要注意角的范围对三角函数值式的变形形式可去根号，但要注意角的范围对三角函数值符号的影响符号的影响. .【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：方法一：原式原式方法二：方法二：原式原式 (2)(2)原式原式因为因为180180270270，所以，所以coscos0 0，所以上式所以上式 条件求值条件求值1.1.解决条件求值要树立解决条件求值要树立“目标意识目标意识”利用已知条件求值是三角恒等变换中
5、最常见的题型，解决利用已知条件求值是三角恒等变换中最常见的题型，解决这类问题关键要有目标意识，始终围绕目标这类问题关键要有目标意识，始终围绕目标( (即所求的式子即所求的式子) )去分析题目中角的关系，函数名称的联系去分析题目中角的关系，函数名称的联系. .解决这类问题解决这类问题主要从以下两个方面去考虑：主要从以下两个方面去考虑：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名称向结一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名称向结论中的角、函数名称靠拢；二是对结论变形，把结论中的论中的角、函数名称靠拢；二是对结论变形，把结论中的角、函数名称向题设条件中的角、函数名称转化，以便将角、函数名称向题
6、设条件中的角、函数名称转化，以便将题设条件代入结论求值题设条件代入结论求值. .2.2.注意和诱导公式、完全平方公式的联系注意和诱导公式、完全平方公式的联系当遇到当遇到 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通式，将条件与结论沟通. . 类似这样的变换还有：类似这样的变换还有： 等等等等. .当遇到当遇到1 1sin2sin2的形式时，要利用平方关系将其转化成完的形式时，要利用平方关系将其转化成完全平方式的形式，全平方式的形式，sinsin2 2+cos+cos2 22sincos =(sin2sincos =(sin cos)cos)2 2
7、=1=1sin2. sin2. 【例例2 2】已知已知 且且 求求的值的值【审题指导审题指导】题中角题中角x x的范围已知，可以确定角的范围已知，可以确定角 的范的范围，可求它的三角函数值，解题中主要是把角围，可求它的三角函数值，解题中主要是把角2x2x进行转化进行转化和切化弦和切化弦. .【规范解答规范解答】 由已知由已知得得由由知原式知原式 证明恒等式证明恒等式 证明三角条件恒等式的方法证明三角条件恒等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或从结论开始，通过变换，将已知表达
8、式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等【例例3 3】已知已知2sin2sinsin+cossin+cos，sinsin2 22sin2sincoscos，求证：，求证：2cos22cos2coscos2 2.【审题指导审题指导】所证结论中出现了所证结论中出现了cos2cos2，根据二倍角公式，根据二倍角公式和条件，需要对和条件，需
9、要对2sin2sinsin+cossin+cos两边平方，然后化简两边平方，然后化简证明证明. .【规范解答规范解答】由已知可得由已知可得4sin4sin2 21 12sincos2sincos1+sin1+sin2 2，1-sin1-sin2 22-4sin2-4sin2 22(1-2sin2(1-2sin2 2)由此得由此得coscos2 22cos22cos2，故所证明等式成立，故所证明等式成立【例例】已知已知(1) (1) 求求tan2tan2的值；的值；(2)(2)求求 的值的值. .【审题指导审题指导】(1)(1)可用可用 折角求值折角求值. .(2)(2)可先用二倍角公式统一角，
10、转化为正切求值可先用二倍角公式统一角，转化为正切求值. .【规范解答规范解答】(1)(1)(2)(2)方法一：原式方法一：原式方法二：方法二：原式原式【典例典例】(12(12分分) )已知已知2+2+，求，求y ycos-6sincos-6sin的最小的最小值与最大值值与最大值【审题指导审题指导】根据条件，先用角根据条件，先用角代换角代换角，然后转化成角，然后转化成角的三角函数求最值的三角函数求最值. .【规范解答规范解答】由由2+2+知，知，=-2=-2，所以所以y ycos(-2)-6sincos(-2)-6sin=-cos2-6sin=-cos2-6sin=2sin=2sin2 2-6s
11、in-1 -6sin-1 4 4分分令令t tsinsin则则t-1,1t-1,1，原题变为求，原题变为求y y2t2t2 2-6t-1-6t-1在区间在区间-1,1-1,1上的最值上的最值 6 6分分函数函数y y2t2t2 2-6t-1-6t-1的图象的对称轴为的图象的对称轴为 1,11,1， y y的最值在闭区间端点处取得，当的最值在闭区间端点处取得，当t t-1-1时，时，y ymaxmax7 7，当当t t1 1时，时，y yminmin-5. -5. 9 9分分当当sinsin-1-1时，函数取得最大值时，函数取得最大值7 7，当，当sinsin1 1时，时，函数取得最小值函数取得
12、最小值-5. -5. 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.sin751.sin75cos75cos75的值等于的值等于( )( )【解析解析】选选A.A.原式原式2.2.若若ABCABC的内角的内角A A满足满足 则则sinA+cosAsinA+cosA等于等于( )( )【解析解析】选选A.A.由由sin2A=2sinAcosAsin2A=2sinAcosA0,0,可知可知A A为锐角为锐角, ,所以所以sinA+cosAsinA+cosA0.0.又又 故故3.3.若若为锐角，且为锐角，且 则则cos2=_, cos2=_, tan=_.tan=_.【解析解析】由由 得得又又答案：答案：4.4.若角若角的终边经过点的终边经过点P(1,-2),P(1,-2),则则tan2tan2的值为的值为_._.【解析解析】由题意得由题意得又又答案：答案： 5.5.已知已知求求cos4xcos4x的值的值. .【解析解析】 所以所以
