数值计算答案-石瑞民_资格考试-教师资格考试

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1、优秀资料 欢迎下载！ 习题一 1、取 3.14,3.15，722，113355作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 解：14. 31x 312110211021 x 所以，1x有三位有效数字 绝对误差：14. 3e，相对误差：14. 3re 绝对误差限：21021，相对误差限：213106110321r 21122105 . 0105 . 01084074. 000840174. 015. 315. 3x 所以，2x有两位有效数字 绝对误差：15. 3e，相对误差：15. 3re 绝对误差限：11021，相对误差限：11061r 31222105 . 0105 . 010

2、12645. 00012645. 0722722x 所以，3x有三位有效数字 绝对误差：722e，相对误差：722re 绝对误差限：21021，相对误差限：21061r 1133551x 7166105 . 0105 . 01032. 000000032. 0113355 所以，4x有七位有效数字 绝对误差：113355e，相对误差：113355re 优秀资料 欢迎下载！ 绝对误差限：61021，相对误差限：61061r 3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。 5000,50.31,3015. 0,0315. 04321xxxx

3、 解：0315. 01x m=-1 3141*10211021 xx 所以，n=3，1x有三位有效数字 绝对误差限：41021，相对误差：2110611021nra 3015. 02x m=0 4042*10211021 xx 所以，n=4，1x有四位有效数字 绝对误差限：41021，相对误差：3110611021nra 50.313x m=2 4223*10211021 xx 所以，n=4，1x有四位有效数字 绝对误差限：21021，相对误差：3110611021nra 50004x m=4 4404*10211021 xx 所以，n=4，1x有四位有效数字 绝对误差限：5 . 010210

4、， 相对误差：23110105211021nra 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1 . 0。 解：设取n位有效数字，由定理 1.1 知，11021nra 由3162. 01010，所以，31a 由题意，应使%1 . 010611 n，即31061010n 所以，n=4， 即10的近似值取 4 位有效数字 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差

5、所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 近似值162. 3x 6 、 在 机 器 数 系 下), 8 ,10(ULF中 取 三 个 数41023371258. 0x，21033678429. 0y，21033677811. 0z，试按zyx )(和)(zyx两种算法计算zyx的值，并将结果与精

6、确结果比较。 解： 3222222222241064100000. 01000000641. 01033677811. 01033678452. 01033677811. 01012583367845237. 01033677811. 0)1033678429. 01012580000002337. 0(1033677811. 0)1033678429. 01023371258. 0()(zyx 3333342241064137126. 010641371258. 01006180000000. 010023371258. 01006180000000. 01023371258. 0)1033

7、677811. 01033678429. 0(1023371258. 0)(zyx 322222241064137126. 01012580000064137. 01033677811. 01033678429. 01012580000002337. 01033677811. 01033678429. 01023371258. 0zyx 所以，)(zyx比zyx )(精确，且)(zyx与zyx相同； 因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。 8、对于有效数105. 31x，001. 02x，100. 03x，估计下列算式的相对误差限。3211xxxy，3211xx

8、xy ，323xxy 解：105. 31x，m=1; 4131*10211021 xx 所以 311021)(x 同理 321021)(x 331021)(x 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计

9、算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 311021)(xe 1025. 31021)()(3111xxexer或3110321)(xr 321021)(xe 001. 01021)()(3221xxexer或0210121)(xr 331021)(xe 100. 01021)()(3333xxexer或3310121)(xr 321321321321321)(xxxxexexexxxxxxexxxer所以，332111049975. 0)()(x

10、xxeyerr )()()()()()()(3213213212xexexexexxexxxeyerrrrrrr 所以，50516. 0)(2yer )()()()(32323xexexxeyerrrr 所以，505. 0)(3yer 综合得：311049975. 0)(yr，50516. 0)(2yr，505. 0)(3yr 9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中1x表示 x 充分接近 0，1x表示x充分大） 。 （1）21lnlnxx ，21xx （2）xxx1111，1x （3）xxxx11，1x （4）xxcos1，10xx且 （5）xxcot1，10xx且 答案： （1）21l

11、nxx； （3）xxxx332， （4）法一：用221cos1xx 得出结果为：x21 法二：xxxxxxxxxxsinsincos1sinsincos1cos1 ) 0(cos1sinsincos1xxxxx 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设

12、取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 或2tan)2cos()2sin(2)2(sin2sincos12xxxxxx 12、试给出一种计算积分dxexeIxnn101近似值的稳定性递推算法 解：显然， In0,n=1,2, 当 n=1 时，得，edxxeIx11011 当 n2时，由分部积分可得： 11011nxnnnIdxexI，n=2,3, 另外，还有：1110101ndxxdxexInxn

13、n 由递推关系 In=1-nIn-1，可得计算积分序列nI的两种算法： 11nnnII n=2,3 ,.3 , 211nnIInn， 下面比较两种算法的稳定性 若已知1nI的一个近似值1nI，则实际算得的nI的近似值为 11nnInI 所以，)(11nnnnIInII 11nnnnIInII 由此可以看出1nI的误差放大 n 倍传到了nI，误差传播速度逐步放大 由nI计算1nI 1, 1,11NNnnIInn 若已知nI的一个近似值是nI，则实际计算的1nI的近似值为 nIInn11 所以，)(111nnnnIInII nnnnIInII111 由此可以看出nI的误差将缩小 n 倍传到了nI，

14、误差传播速度逐步衰减。 综上可看出，计算积分dxexeIxnn101的一种稳定性算法为 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数

15、的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ . 1 ,2, 1,11NNNnnIInn 习题二 1、利用二分法求方程074223sxx3，4内的根，精确到310，即误差不超过31021。 解：令742)(23xxxxf 010) 3(f，0940(f，说明在3，4内有根， 利用二分法计算步骤 得出632324219. 310x，6321835938. 311x 33101111111021104882181. 0xxab满足精度要求 所以，6321. 311*xx，共用二分法迭代 11 次。 2、证明0sin1xx在0,1

16、内有一个根，使用二分法求误差不大于41021的根。 证明：令xxxfsin1)( 01sin) 1 (; 01) 0(ff， 所以，0) 1 () 0( ff 由零点定理知，)(xf在0,1内有一根 根据计算得出：98283. 015*xx，此时共迭代 15 次。 4、将一元非线性方程0cos2xex写成收敛的迭代公式，并求其在5 . 00x附近的根，精确到210。 解：令xexxf cos2)( 令)(xf=0，得到两种迭代格式 )cos2ln(2arccos21xex 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差

17、绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 2212)(xxeex，不满足收敛定理。 xxxxtancos2sin2)( 1008727.

18、 0) 5 . 0()(202x，满足收敛定理 由方程写出收敛的迭代公式为)cos2ln(1kkxx 取初值为 5 . 00x，得出近似根为：69307417. 02*xx 5、为方程0123 xx在5 . 10x附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211xx，迭代公式2111kkxx； （2）123xx，迭代公式3/121) 1(kkxx （3）112xx，迭代公式2/11) 1(1kkxx 解： （1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值5 . 10x附近的局部收敛 （2）局部收敛 （3）不满足局部收敛条件 但由于)(. )(21xx，所以)(1x比)(2

19、x收敛的慢 取第二种迭代格式 3/121) 1(kkxx 取初值5 . 10x，迭代 9 次得466. 19*xx 7、用牛顿法求解0133 xx在初始值20x临近的一个正根，要求3110kkxx。 解：令13)(3xxxf 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对

20、误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 由牛顿迭代法知：) 1( 313)()(231kkkkkkxxxfxfxx 迭代结果为： k 0 1 2 3 kx 2 1.88889 1.87945 1.87939 满足了精度要求，87939. 13*xx 8、用牛顿法解方程01 Cx，导出计算 C 的倒数而不用除法的一种简单迭代公式，用此公式求 0.324 的倒数，设初始值30x，要求计算

21、结果有 5 位有效数字。 解：325. 01)(xxf 21)(xxf，由牛顿迭代公式)()(1kkkkxfxfxx 迭代结果为： k 0 1 2 3 kx 3 3.084 3.086418 3.086420 满足精度要求 0864. 33*xx 所以，0.324 的倒数为 3.0864 11、 用快速弦截法求方程0133 xx在20x附近的实根， （取1x=1.9，要求精度到310） 。 解：13)(3xxxf， 迭代结果： k 0 1 2 3 4 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所

22、以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ kx 2 1.9 1.881094 1.87941160 1.87939 满足精度要求 1.879394*xx 12

23、、分别用下列方式求方程xex cos4在40x附近的根，要求有三位有效数字 （1）用牛顿法，取40x （2）用弦截法，取40x21x （3）用快速弦截法，取40x21x 解：求出的解分别为：905. 01x 905. 02x905. 03x 习题三 1、用高斯消元法解下列方程组 （1）72452413221321321xxxxxxxx （2）1220112332311321321321xxxxxxxxx 解： （1）等价的三角形方程组为 4218715 . 024524332321xxxxxx，回代求解为619321xxx （2）等价的三角形方程组为 572235719312347235701

24、123332321xxxxxx，回代求解为19322319310619341321xxx 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号

25、数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 2、将矩阵1100110211100201A作LU分解。 解：15100010211100001L,56000150011100201U 3、用LU紧凑格式分解法解方程组111156757810791086109754321xxxx 解：15/301012/15/70015/60001L，10/10002/1750035/45/2010975U 10/32/15/11Y,351220X. 4、用列主元的三角分解法求解L方程组0232743122321321321xxxxxxxx

26、x 解：023274131221A 05/73/1013/2001L,4003/143/70413U,23/147Y,2/112X 5、用追赶法解三角方程组bAx ，其中2100112100012100012100012A,00001b. 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的

27、近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 解：15/414/313/212/11L，5/614/513/412/312U 5/14/13/12/11Y，6/13/12/13/26/5X 6用改进的 Cholesky 分解法解方程组7910431017210424321321321xxxxxxxxx 解：12/11012/1001L，1008160424U，1810Y， 1

28、12X 7、用改进的 cholesky 分解法解方程组648742002511013101144321xxxx 解：78/25000250/110003/4-11/4001-14U，156/256/11-25/47Y，2121X 8、设Tx) 3 , 2, 1 ( ,求xxx和21,。 解：611nixx 14122nixx 3maxxx 9、设1453-22011A,求AA,A21和 解：81A，10A，1417. 7)(2TTAAA 10、设1453-22011A， 231x，计算x，A及Ax，并比较Ax对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差

29、限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 和Ax 的大小。 解：3x，A=10，Ax=9 11、给定

30、方程 10012122111221321xxx （1）写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式； （2）证明 Jacobi 迭代法收敛而 Gauss-Seidel 迭代法发散； （3）给定Tx) 0 , 0 , 0()0(，用迭代法求出该方程的解，精确到3)() 1(1021kkxx。 解： （1）Jacobi 迭代公式10221222213312321xxxxxxxxx Gauss-Seidel 迭代公式38681221232)(3)(2) 1()(3)(2) 1(2)(3)(2) 1(1kkknkkkkkkxxxxxxxxx （3）用 Jacobi 迭代得，TXX)58,

31、46,12()4(* 13、 已知3410851210454321432143214321xzxxxxxxxxxxxxxxx， 考察Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。 14、方程组bAx ，其中 100141aaaaA，3,Rbx 利用迭代收敛的充分必要条件确定使 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法均收敛的 a 的取值范围。 解:Jacobi 迭代矩阵为000040aaaaBJ 当1JB得， 55a 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所

32、以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ Gauss-Seidel 迭代矩阵为：222204400aaaaaaBJ 当1SB得，55a 15、设方程组2430

33、24410143034321xxx分别用 Gauss-Seidel 迭代法和w=1.25 的 SOR 法求解此方程， 准确到 4 位有效数字 （取Tx) 1 , 1 , 1 ()0(） 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代 17 次，此时近似解为 Txx)000. 5 ,000. 4 ,000. 3()17(* SOR 法 w=1.25 时，迭代 11 次，此时的近似解为 Txx)000. 5 ,000. 4 ,000. 3()11(* 16、用 SOR 方法解方程组（分别取松弛因子 w=1.03，w=1， w=1.1）34434143232121xxxxxxx精确解) 2/1, 1 ,

34、2/1 (*x，要求当6)(*105kxx时，终止迭代，并且对每一个 w 值确定迭代次数。 解：当 w=1.03 时，迭代 5 次，Txx) 5 . 0, 1 , 5 . 0()5(* 当 w=1 时，迭代 6 次，Txx) 5 . 0, 1 , 5 . 0()6(* 当 w=1.1 时，迭代 6 次，Txx) 5 . 0, 1 , 5 . 0()6(* 习题四 1、设1, 010 xx，写出xexf)(的一次插值多项式)(1xL，并估计插值误差。 解：xexxxxyyyxL) 11(1)()(0010101 )(2| )(|101xxxxMxR，其中1)(max10xfMxxx 81)(21

35、| )(|101xxxxxR 2、给定函数表 ix -0.1 0.3 0.7 1.1 )(ixf 0.995 0.995 0.765 0.454 选用合适的三次插值多项式来近似计算) 8 . 0() 2 . 0(ff和。 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差

36、不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 解： 、 求) 2 . 0( f， 选用插值节点为-0.10x，3 . 01x，7 . 02x， 用 lagrange插值多项式为： 2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 解得979. 0)-0.1()-0.1(2Lf 、求) 8 . 0( f，选用插值节

37、点3 . 00x，7 . 01x，1 . 12x， ， 2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 解得：6975. 0) 8 . 0() 8 . 0(2Lf 4、给定数据（xxf)(） ix 2.0 2.1 2.2 2.4 )(ixf 1.14214 1.449138 1.48320 1.54917 （1）试用线性插值计算) 3 . 2( f的近似值，并估计误差。 （2） 试用二次 Newton 插值多项式计算)15. 2( f的近似值， 并估计误差。 解： （1）取2 . 20x，4 . 21x 757

38、31. 032995. 0)()(0010101xxxxxyyyxL 516195. 1) 3 . 2() 3 . 2(1Lf )(2| )(|101xxxxMxR，0766. 0)(max10xfMxxx 0003831. 0) 4 . 2)(2 . 23 . 2(20766. 0| ) 3 . 2(|1xR （2）写出二次 Newton 插值差商表 ix )(ixf 一阶差商 二阶差商 2.0 1.14214 2.1 1.449138 0.34924 2.2 1.48320 0.34062 -0.0431 ) 1 . 2)(2(0431. 0) 2(34924. 0414214. 1)(2

39、xxxxN 4663. 1)15. 2()15. 2(2Nf 000004143. 0)15. 2(2R 5、给出函数值 x 0 1 2 3 4 y 0 16 46 88 0 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果

40、比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 试求各阶差商，并写出 Newton 插值多项式和差值余项。 解： ix y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 1 16 16 2 46 30 7 3 88 21 -3 -5/2 4 0 -88 -109/3 -25/2 -7/6 ) 4)(2)(1(6/7) 2)(1(2/5) 1(716)(4xxxxxxxxxxxN ) 5)(4)(2)(1)(0(! 6)()(,)()()(

41、)6(54321044xxxxxfxwxxxxxxfxNxfxR 6、给定数据表 x 0.125 0.25 0.375 0.500 0.625 0.750 )(xf 0.79618 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228 试用三次牛顿差分插值公式计算)158. 0( f和)636. 0( f。 解： 、求)158. 0( f，取125. 00x，25. 01x，500. 0,375. 032xx，h=0.125 差分表为 ix )(ixf 一阶差分 二阶差分 三阶差分 0.125 0.79618 0.25 0.77334 -0.02284 0.375 0

42、.74371 -0.02963 -0.00679 0.5 0.70413 -0.03958 -0.00995 -0.00316 由公式kikkiiiihkfxxxxf!,21 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果

43、比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 由牛顿插值公式有 79061. 0)158. 0()158. 0(3Nf 、求)636. 0( f，取0.3750x，500. 01x，750. 0,625. 032xx，h=0.125 ix )(ixf 一阶差分 二阶差分 三阶差分 0.375 0.74371 0.5 0.70413 -0.03958 0.625 0.65632 -0.04781 -0.00823 0.75 0.60228

44、-0.05404 -0.00623 0.002 求解得65179. 0)636. 0()636. 03Nf 9、给出 sinx 在0,pi的等距节点函数表，用线性插值计算 sinx 的近似值，使其截断误差为41021，问该函数表的步长 h 应取多少才能满足要求？ 解：设插值节点为ihxi， （i=0,1h）,nh 由2222)(8)(mhxfhxRn F(x)=sinx ，xxfsin)(，所以1)( xf，即12m 所以02. 0h 步长 h 应取为 0.02 才能满足要求。 14、已知实验数据如下 ix 19 25 31 38 44 iy 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8

45、用最小二乘法求形如2bxay的经验公式，并计算均方差。 解：设拟合多项式为2bxay，则正规方程组为 2104323212100TTTbaSSSSSSSSS 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算

46、解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 即：5 .3693211 .97764 .271072776991923315327192331532715753271575ba 05. 0968. 0ba 所以，经验公式为：205. 0968. 0xy 均方误差为 0.003019 15、观测物体的直线运动，得出以下数据 时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离S(m) 0 10 30 50 80 110 求运动方程。 解：设拟合多

47、项式为2cxbxay，则正规方程组为 2104323212100TTTbaSSSSSSSSS 即：2 .4533107828095103023907.21863.53907.21863.537 .1463.537 .146cba a=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488 所以拟合多项式为22488. 20814.115834. 0xxy。 习题五 1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。 （1）1024dxxx（n=8） 解：用复合梯形公式 24)(, 8,81xxxfnh 11140. 08T 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误

48、差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 用辛普森公式 81, 4, 8hmn

49、11157. 08SI 精确值：111572. 04102dxxx 由上可看出复合辛普森公式更精确。 （4）dxex10（n=4） 解：用复合辛普森公式6354125. 04T 用辛普森公式 2, 4 mn，632142. 04SI 精确解为：632120558. 0I 所以辛普森公式的精度较高。 3、用复合梯形公式求积分dxxfba)(，问将积分区间a，b分成多少等分，才能保证误差不超过？ 解：由复合梯形公式的余项知 )(12)(2xfhabTnIxRn，取| )(|maxfM 求得 Mabn12)(3 6、分别用下列计算方法积分dxxI811，并比较计算结果的精度（积分准确值 I=1.09

50、8612） 。 （1）复合梯形法，N=16 （2）复合抛物线法，n=8 解：(1)094855. 216T 0154. 0|1616TIR (2)088065. 28S 00086. 0|168SIR 精确值：I=2.079441，所以，复合抛物线精度更高。 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对

51、误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。 （1）)() 0()()(210hffhfdxxfhh 解：令 f(x)=1,x,2x得 hhhhhhhh34,30320021202220320210 所以，)(3) 0(34)(3)(hfhfhhfhdxxfh

52、h 令3)(xxf，左=0=右 4)(xxf，左右 所以，该求积公式的代数精度为 m=3. （2）)(3)(2) 1(31)(2111xfxffdxxf 解：令 f(x)=1,x,2x得 615251561)321 (3132)321(3102221222121xxxxxx或61525156121xx 经计算可知 两组参数所对应的求积公式的代数精度均为 m=2. 9、利用表 5.7 求 x=0.6 处的一阶导数。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 F(x) 1.5836494 1.7974426 2.0442376 2.3275054 2.6510818 解：选1 . 0, 7 .

53、0, 6 . 0, 5 . 0210hxxx 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对

54、误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综优秀资料 欢迎下载！ 选用三点式得 )()(21)(201xfxfhxf 即 650314. 2) 6 . 0(f 对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有两位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有三位有效数字绝对误差相对误差绝对误差限相对误差限所以有七位有效数字绝对误差相对误差优秀资料欢迎下载绝对误差限的位数解所以有三位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差所以有四位有效数字绝对误差限相对误差计算的近似值使其相对误差不超过解设取位有效数字由定值并将结果与精确结果比较两和种算法计算解所以比精确且与相同因此在做三个以上的数相加时需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近对于有效数估计下列算式的相对误差限解所以同理优秀资料欢迎下载或或或所以所以所以综