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1、一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程的定义和分类一、一阶线性微分方程的定义和分类 第十二章 二、一阶线性微分方程的解法二、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式: :上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的. .上述方程上述方程称为称为非齐次的非齐次的. .一、一阶线性方程的定义一、一阶线性方程的定义例如例如线性的线性的; ;非线性的非线性的. .我也是！齐次方程的通解为：齐次方程的通解为：1. 线性齐次方程线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法二、一阶线性微分方程的解法可分离变量的方程可分离变量的方程只写一个原函数2. 2. 线性非齐次方程线性非齐次方
2、程讨论讨论与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .设设是方程是方程 的解，则的解，则积分得积分得积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解公式公式为为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解一阶线性非奇次方程解的结构一阶线性非奇次方程解的结构解：解：例例1 1本章类本章类似积分似积分可不加可不加绝对值绝对值例例2 2解：解： 化为标准型：化为标准型：例例3.3. 求方程求方程 的通解的通解.解法一解法一: : 一阶线性微分方程公式一阶线性微
3、分方程公式例例3.3. 求方程求方程 的通解的通解.解法二解法二: : 分离变量法分离变量法例例4 4 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为例例5 5：设曲线上任意一点设曲线上任意一点 P(x,y) 处的切线与射线处的切线与射线 OP OP 以及以及y 轴围成图形的面积是常数轴围成图形的面积是常数a. . 求曲线的方程求曲线的方程. .切线方程：切线方程：令令 X= 0 , 得得 A 点的
4、纵坐标点的纵坐标例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解两边求导，得两边求导，得积分方程有时会蕴含定解条件积分方程有时会蕴含定解条件例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解（3 3） 设设y( (x) )当当x0 0 时可微，且满足时可微，且满足求求 y.两两次次求求导导3 3、设、设在在上连续上连续，且且单调减少，单调减少，单调增加。单调增加。证明：证明：证明：证明：当当当当所以命题成立。所以命题成立。不能再不能再次求导次求导作业P 304 1 (1) ,（2）， (5) , （6）， (7) , (9) 2 (1), (2), (3) ; 6P 309 1 (1) ; 2(1) , （2）; 3P 315 1 (1) , (2) , （3）; 2 (1) ; 3
