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1、10 薄壁箱梁的弯曲理论 n梁弯曲的初等理论n箱形梁的弯曲剪应力n薄壁箱梁的剪力滞效应理论n剪力滞效应的变分解法n超静定结构的剪力滞效应n剪力滞效应的比拟杆解法n小结n本章参考文献梁弯曲的初等理论(1)弯曲正应力 在纯弯曲下，梁截面的变形服从平截面假设。则根据变形的几何关系可得到距中性面处的任一纤维的应变为上式表明：梁中的纵向应变与该点的曲率以及该纤维离中性面的距离成正比。该式是梁纯弯曲变形的基本方程，且与材料性质无关。在一维线弹性情况下，由应力应变关系的虎克定律得到=由截面法向力的平衡可以求得法向应力与外力弯矩的关系为 所以 z=上列式中的符号规定为：当力矩使梁的顶面产生压缩时，方程中的 为
2、正，而向下方向为正。从式可以看出梁中最大拉应力和最大压应力发生在距中性轴最远的点上。 对于如图所示的偏心压弯杆，若，= ，则(2)开口截面的弯曲剪应力梁弯曲的初等理论对于实腹梁，其弯曲剪应力平行于剪力Q，并认为剪应力沿梁宽方向的分布是均匀的。因此，剪应力的计算公式为 偏心压弯杆 对于箱形梁的剪应力计算。可近似地将箱形梁看成宽翼缘的工字梁。对于宽翼缘的工字梁，其腹板剪应力平行剪力作用的竖向轴，而翼缘剪应力平行于轴，并假设沿板厚度方向均匀分布（图），则剪应力计算公式同样可以适用 宽翼缘梁腹板中的剪应力 宽翼缘梁计算截面以外面积（图中的阴影部分）对中性轴的一次矩为=腹板中的剪应力为令，可求得最大剪应
3、力它发生在中性轴处。若令，可得腹板最小剪应力一般地，宽翼缘梁腹板的厚度与翼板宽度相比是比较小的，因此最大剪应力与最小剪应力数值差别不大，从而整个腹板截面上的剪应力分布是接近于均匀的。因此作为近似计算可以直接将剪力除以腹板面积作为腹板的最大剪应力。计算翼缘板中的剪应力时，对中性轴的一次矩为翼缘板的剪应力为翼缘板中的剪应力沿 轴是线性分布的，在翼缘板外边缘处剪应力等于零。 (3)剪切变形的影响如图所示的矩形直梁，该横截面翘曲位移函数为，与其对应的沿轴线变化的广义位移为，挠曲位移为，则横截面上任一点的轴向位移 轴线挠度 不考虑横向挤压应变时，有则考虑剪切应变能时的总势能为 由变分原理有得控制方程及边
4、界条件整理后得受弯矩形梁的尺寸及坐标 式中若取则 对于简支梁承受均布荷载 的情况，可求得挠度为 纵向位移为跨中挠度为截面正应力为上列各式中由此可见，无论是应力，还是挠度，均与初等梁理论有所不同。 箱形梁的弯曲剪应力(1)薄壁构件单元体中的剪力流方程图示的薄壁单元体的平衡条件为当薄壁构件的横截面具有一个对称轴时,则该对称轴总是主轴,箱形梁一般地都具备这一条件，对于主轴其惯性积，因此，法向应力为 薄壁单元体中的剪力流 把平衡条件式移项后并沿薄壁中心线对曲线坐标进行积分,得到(图示)注意到只有弯矩、是的函数，并有开口薄壁截面的平衡条件 可以得到剪力流方程引入则当构件上只作用有时,上式又简化为与实腹梁
5、的剪应力计算公式形式上是一致的 (2)单室箱形截面的剪力流在计算箱形截面剪力流时遇到的困难是任意起始点的剪力流是未知的(开口薄壁截面杆件自由边缘的剪力流 ,它属于超静定问题。为了确定剪力流的初始值，必须在箱形截面的任一位置上虚构一个切口，这样箱形截面也就转化为开口截面来求解。在计算剪力流时，必须假定作用在箱梁上的横向外力和的作用线通过截面的剪切中心,如图所示，这样梁在弯曲时不产生扭转。在虚构一切口后的箱形截面由外荷载产生的剪力流，其沿断面壁厚中心线方向为均匀分布，并规定以坐标的正方向作为它的正方向。因样，单室箱形截面总的剪力流应由开口截面的剪力流与附加剪力流相叠加而得因此，必须在虚设的切口处满
6、足变形连续条件，即在虚构的切口处两对应面的相对位移等于零式中剪切变形，剪力流等于与壁厚的乘积，因此上式可写成上式即为剪切变形的协调条件得到所以，附加未知剪力流为当箱形梁采用同一材料时，剪切模量G为一常数，可简化为单室箱形截面 单室箱形截面弯曲时总的剪力流由下式求得如果单室箱形截面对 轴对称，并且横向外力的作用线也与对称轴重合,如图所示。则杆件弯曲时，位于对称轴上的 、两点的剪力流等于零，因此，可以利用对称性将箱形截面的切口虚设在 、两点中的任一点，断面中心线坐标的起点也先取在切口处，此时不必求附加剪力流（ ），杆件弯曲时产生的剪力流可直接按照开口截面的公式计算。剪力流的分布对称于竖向对称轴 单
7、室对称箱形截面的剪力流 (3)多室箱形截面的剪力流首先将闭合截面都切开，转化为开口截面，然后应用变形协调条件，使被切开的截面恢复为原先的闭合截面，从而求得剪力流。这样有室组成的箱形截面切开后，就有个多余剪力流。可以在每一个切口处建立一个变形协调方程，其一般形式为为与第室相邻的室。如下图所示三室箱形截面，当所用的材料相同时，可以建立如下三个方程。 多室箱形截面的剪力流（4）箱形截面的剪切中心前面在分析箱形截面构件的弯曲时，都假定横向外力的作用线通过剪切中心这一特殊点，这样杆件在外力作用下不产生扭转，只发生弯曲变形。截面的剪切中心是杆件截面的几何特征之一，它是由截面的几何形状所决定的。开口截面的剪
8、切中心的计算公式，通过横向外力作用线通过该点使截面不产生扭转变形这一条件可以得到。当坐标轴为主轴时，则简化为箱形截面的剪切中心计算要根据截面上的剪力流的平衡条件求出,即要求截面上的剪力流沿、两方向的合力分别等于作用在该截面上的外剪力、。同时要求外剪力对于形心的扭矩分别等于由于剪力、产生的剪力流对形心的转动力矩，即令上式中的、分别等于1，则上式的左边（、）即表示剪切中心的位置。式中的剪力流是假想开口截面剪力流与附加多余剪力流的叠加值。因此，可表示为式中、表示箱形截面的剪切中心，用、代表式中的第一项，即虚设开口截面的剪切中心位置；、表示虚设开口截面闭合时所要求的剪切中心的位移，则写成、又可表达为值
9、得注意的是，剪切中心与形心并不在同一点上薄壁箱梁的剪力滞效应理论（1）剪力滞效应及其分析方法为了说明剪力滞效应的基本概念,先取一悬臂箱形薄壁梁为例,在悬臂端的梁肋处施加一对集中力，如图所示剪力滞效应示意 在平行于截面处，应用初等梁的弯曲理论，顶板上得到均匀分布的弯曲拉应力。离固端处愈近，拉应力的强度也愈高。但是实际上，腹板传递的剪力流在腹板与翼缘板的交界处要大，而向板内传递的过程中，由于翼缘板（上、下翼板）存在剪切变形，故向板内传递的剪力流要逐渐的变小。以顶板为例，其拉应力在顶板宽范围之内的分布是不均匀的，呈现板的中间小而两边大的分布状态。很明显，肋处的剪力流向板中传递过程，有滞后现象，所以工
10、程界称之谓“剪力滞效应”或“剪力滞后现象”。定义最早涉入剪力滞问题的理论推导是弗卡曼（），他曾取一跨径为且承受余弦形荷载的连续梁为解析对象，利用最小势能原理，推导出连续梁有效分布宽度，称之为“卡曼理论”。在航空工程中，由于在轻金属飞机机身的盖板下布置了许多小型I字梁，受力之后，剪力滞效应要比桥梁结构严重得多。它不仅有应力分布不均匀现象，还存在薄板翘曲失稳问题。这种不均匀的应力状态在美国工程界通称“剪力滞效应”，在英国称之为“弯曲应力的离散现象”，两者虽然取名各异，但实质上是一回事。从1969年11月到1971年11月，在奥地利、英国、澳大利亚、德国相继发生了四起钢箱梁失稳或破坏事故。事故发生后
11、，许多桥梁专家对四座桥梁的设计及计算方法进行了研究与分析，提示出这四座桥的计算方法存在严重的缺陷，其中一项就是设计中没认真对待“剪力滞效应”，因此导致应力过分集中，造成结构的失稳或局部破坏目前，国内外均建造了大量的箱形薄壁梁桥、T构、刚构、斜拉桥等剪力滞效应较为突出。如果忽略它的影响，势必导致结构的失利。另外，在高层建筑中，均属于悬臂的筒中筒结构，在风力作用下出现负剪力滞特殊情况，更应得到结构工程师特殊关注。 考虑剪力滞效应后，前述称为“正剪力滞”，反之，则称为“负剪力滞”，剪力滞概念与有效分布宽度相同，前者用不均匀应力表示，而后者用一等效板宽表示。有效分布宽度用于非箱形截面(开口截面)，而剪
12、力滞一般多用于箱形截面（封闭截面）。在桥梁设计中，恒载、二期恒载、预加力均在横截面上产生剪力滞效应。其中恒载占主导地位，因此，要将恒载弯矩值抛高设计，但抛高多少要通过 值计算才能确定。在斜拉桥中，活载占主导地位弯矩值抛高也应通过值方能确定。 近二十年来，国内外许多学者对剪力滞问题提出了许多新设想和不少新理论，并辅以试验研究的数据与成果，可以部分地解决桥梁结构中的实际问题，综合起来有下列几种方法 （1）卡曼理论： 年 （2）弹性理论解法： 瑞斯纳（ ），1983年 爱伯德赛德（ 年的正交异性板法 戈尔德贝格（ ） 李维（ ）等的弹性折板理论 吉普森（ ）、米特瓦来（ ）的板壳理论（3）比拟杆法：
13、 杨格（Y ）的加劲薄板理论 尹文斯（ ） 塔海伦（ ）的比拟杆法等 （4）变分法： 瑞斯纳（），张士锋等。（5）数值法： 有限条法、有限元法、有限段法。 （2）剪力滞效应的影响图示沿翼缘板宽度的应力变化规律。取一个微小单元体、，开始形状为，加荷后就变成菱形如。板的厚度为，则其一维平衡方程式为 若用变形表示，则有式中：即材料剪切模量与弹性模量之比悬臂箱梁顶板单元、应力与变形全解为边界条件（1） （2） ，即 表示纵向剪应力沿的轴为零（3） （沿板的中线）纵向剪应力即（4）（在悬臂端），（沿板中线上），（应力）得到微分一次并乘以,得到弯曲法向应力为当时当时(肋处)，；（板中心），则（1）对钢结构
14、，如果其应力差很可观。 （2）对钢筋混凝土结构,如果，应力差别也不小，且 愈大,剪力滞效应愈严重 如果表示任意箱梁截面顶板承受的变化应力的全部力，表示不考虑剪力滞效应顶板所承受的力，则为的大小说明剪力滞效应的大小与变化程度，也是衡量一维状态应力变化的幅度与量级。剪力滞效应的变分解法(1)基本假定设箱梁半顶板、悬臂板及半底板宽度分别为： 引入两个广义位移及用来描述梁的竖向变位和纵向位移，则剪切转角的最大差值； 上、下翼板中面距箱梁形心轴距离 当即位移函数 箱梁尺寸、坐标系及应力状态上式假定翼板的纵向位移沿横向为三次抛物线分布，此假定符合实测结果，是坐标的连续函数，它们均能满足变形协调条件。还满足
15、在腹板与翼板交界处（）的变形连续条件在应变的计算中，腹板仍采用梁的变形（按平截面假定），不考虑腹板的剪切变形。对上下翼板，板的竖向纤维无挤压，即 。板平面外的剪切变形 与 及横向应 变均很小，可忽略不计 （2）基本微分方程取上图为例进行推导，根据最小势能原理，在外力作用下，处于稳定平衡状态的弹性体，当有任何虚位移时，体系总势能的一阶变分应该为零。即（a）梁受弯时的荷载势能或（1）（b）梁的各项形变势能腹板势能（）为腹板对截面形心的惯矩 上翼板应变能（）下翼板应变能（ 从位移函数和上式得到分别有上列式中:(忽略自身惯矩)令 上下板对截面形心惯性矩 将有关表达式代入体系总势能中有将上式变分有=式中
16、第二、三两项用部分积分有将上式代回则有得到下列微分方程及边界条件令n与k称作瑞斯纳参数 并整理有边界条件为：当板固结时当板非固结时 方程（10.4.18）的一般解形式为其中 为仅与剪力 分布有关的特解，系数 与 由梁的边界条件确定 （3）翼板中的应力与附加弯矩从微分方程式的第一式得到如下关系式或 及 称为附加弯矩，它是由剪力滞效应而产生的。它是剪切转角最大差值 的一阶导数的函数，而且与翼板的弯曲刚度成正比。 可以看出，考虑剪力滞影响后，梁的曲率与弯矩的关系已经不是初等梁理论的的关系，而是增加了附加弯矩的修正项。由于剪力滞的影响使翼板的有效刚度降低，使梁的挠度增大应力表达式为弯曲法向应力是沿横向
17、按三次抛物线分布推导的。翼板与腹板交接处，其达到最大值。 考虑剪力滞影响的修正项（4）变分法求解示例（a）承受集中荷载的简支梁如下图所示，在简支梁上承受一集中荷载P，弯矩与剪力都是分段函数 当0xa 当ax由前知当0xa简支梁承受集中集P 当ax边界条件： 连续条件：从变分条件要求C1、C2、C3及C4为从而得到应力为在0xa段在ax当集中力作用在跨中跨中截面剪力滞系数此外，由于剪力滞的影响，挠度也将随之增大，对于跨中作用一集中力时，附加弯矩及挠度分别为经过两次积分后得到由边界条件有 当 （b）承受均布荷载的简支梁 q，则弯矩和剪力的函数为简支梁受均布荷载见下图所示，集度为同理有简支梁受均布荷
18、载 +跨中截面的剪力滞系数为挠度为 （c）承受集中荷载的悬臂梁下图所示，其弯矩和剪力函数为集中荷载P作用于悬臂梁自由端，则利用边界条件=0解得 悬臂梁承受集中荷载 固端截面的剪力滞系数为挠度为（d）承受均布荷载的悬臂梁下图所示为一悬臂梁承受均布荷载，其弯矩和剪力函数分别为则 z固端截面腹板与翼板交叉处的剪力滞系数为挠度为 悬臂梁承受分布荷载超静定结构的剪力滞效应（1）直接求解法图所示，求上翼板在B点及C点的剪力滞效应。在AB段：弯矩与剪力方程分别为在BC段AB段 两等跨常截面连续梁承受对称的集中荷载BC段 通解分别为边界条件连续条件 在处利用上述边界及连续条件，求解四个常数。得到BC段法向应力
19、表达式为对于 ，跨中B点上翼板肋处的剪力滞系数 ；内支座C点上翼板肋处的剪力滞系数 =1.445。（2）解肢法对于恒载作用下超静定结构某处的剪力滞效应，观察沿跨径方向的弯矩图中的一系列反弯点，在反弯点处因为弯矩为零而剪力不为零，有效分布宽度不需要考虑。这样就把超静定箱梁解肢成许多变高度的简支梁，如此分解有利于求解变高度箱梁的剪力滞效应，如图所示。 连续梁的解肢 对于右图所示的两等跨连续梁承受均布荷载，现用解肢法求内支点B顶板剪力滞系数。根据简支梁承受均布荷载的进一步推导得到，当时（在肋处），跨间任意距离边支点z处的挠曲应力。顶板肋处： 两等跨连续梁承受均布荷载在上板中央10.5.3叠加原理解法
20、分析剪力滞效应的叠加原理为：超静定结构在多种荷载作用的状态下，考虑其剪力滞效应的结果，等于其基本静定体系在各个单一荷载与多余力的作用下的结果与其剪力滞系数的乘积。即 所以 超静定结构在计算截面的弯矩基本体系在单一荷载作用下，在计算截面上的弯矩 计算截面的截面模量 欲求的超静定结构在计算截面的剪力滞系数 现用上述方法求解两等跨常截面连续梁承受对称集中荷载，跨中B点上顶板肋处的值，跨径l=80m。首先将受力图式分解为下图所示由于，简支梁在L/2处作用一集中荷载求得上板肋处=1.1623。=1.1623=30P=1.0=10P =1.0=-1.37620P=-27.52P超静定弯矩 =0.31240
21、P有=1.390(与直接求解法结果一致) 两跨连续梁利用叠加原理求剪力滞效应 剪力滞效应的比拟杆解法（1）基本概念 假定薄壁箱梁是由许多理想化的加劲杆组成，其间的薄板将加劲杆联在一起共同受力解析步骤如下（1）将箱型梁看做理想化的加劲杆与等效薄板的组合体系进行受力分析 （2）理想化的加劲杆承受轴力，而等效的薄板仅承受水平剪力（3）理想化的加劲杆的截面积等于实际加劲杆面积再加上邻近薄板所提供的面积 对于带悬臂顶板的箱形梁，参见下图，加劲杆的等效面积，可做如下推导根据材料力学的公式为箱形截面惯形矩带悬臂的矩形箱形截面 这样，可根据应力互等分别导出顶板和底板的等效翼缘面积。 顶板：底板： 等效翼缘板厚
22、度分别为顶板： 底板： 其中：矩形箱 当顶板具有m个加劲肋、底板有n个加劲时，各肋面积可按下表中相应公式计算。若顶板无悬臂翼缘时，则均按表中底板栏的相应公式计算。 各加劲杆面积Ai的算式加劲杆所在位置顶板中各AI的算式底板中各AI 的算式边 肋中部各肋腹板处肋对于梯形截面箱梁，同样可求得其等效面积.（2）微分方程的建立现以图所示悬臂箱梁的顶板为例来说明微分方程组的建立。考虑到结构及荷载均对称于桥面中线，取板的一半宽度进行分析，在距自由端的截面处取一微段，则可以写出各杆上力的平衡式。悬臂箱梁顶板加劲杆及受力图式设Q为箱梁任意截面上的垂直剪力，完全由腹板承担，并且均匀地分布于腹板面积上，于是，在与
23、腹板相接的那根加劲肋上，外剪力流可以近似按下式计算“2”表示两个腹板，h为顶板中点到底板中点的高度在相邻两杆之间，微块上的剪切角变化率，例如在1号2号杆之间为或 从材料力学知道：为剪力流，则它的一般式为图中的5根杆，从其间的四块板上建立四个微分方程，则形成最终形式的微分方程组如下,作用在i杆上的待定剪力流函数， 与腹板相接的一根杆上的已知剪力流函数可按求得;相邻三杆面积，可按上述原则取用 同理，对于底板可以得到有关微分方程组，不过这时边界条件为：当悬臂梁上只有垂直荷载作用时，在梁自由端的边界条件为 在嵌固端则 时 （3）三杆比拟法求解沿用上节介绍的方法按下图所示，推导出的三个理想化加劲杆平微方
24、程为式中:全解为三杆比拟法受力图式及剪切变形 对于简支梁受均布荷载（如下图），则若边杆所受的力为FE 则边界条件为：故 因为 令所以 当当z=0，即跨中由于近似的有同理：中杆杆力为Fc，则当在跨中小结（1）二次与四次抛物线位移函数前面介绍剪力滞效应的变分法，推导了剪力滞效应基本微分方程，采用的纵向位移为如果或同样可以得到不同的Reissner参数。二次抛物线 四次抛物线 可以证明，取高次抛物线变化，对剪力滞效应的结果影响很小（2）梯形截面剪力滞效应这时 ，设下标1、2分别代表上顶板的内板与悬臂板，则令 则：Reissner参数k值对于二、三、四次抛物线分别变为二次抛物线 三次抛物线 四次抛物线
25、（3）负剪力滞效应考虑剪力滞效应影响的曲率公式为翼板弯曲法向应力为梁肋处应力为从上式可以清楚地看到，当 与M同号时， 要比按初等梁理论算得之值要大，这就是正剪力滞效应。而当 与M异号时， 反而要小于初等梁理论计算之值，即负剪力滞效应。因而附加弯矩 是表现正、负剪力滞效应的关键 如对于前述的悬臂梁作用均布满布荷载情况，已经给出肋处（）的附加弯矩为（图）弯曲法向应力为令，求得正负剪力滞的临界点正剪力滞负剪力滞解上式得到在之间发生正剪力滞，在固端达到最大值。在间出现负剪力滞现象。一般说来，在常截面中，约等于（自由端量起），发生正剪力滞区间较小仅为左右。如果对求导并令其为零，可求出负剪力滞区域内附加弯
26、矩的拐点。(4)荷载横向作用位置对剪力滞效应的影响对称竖向荷载作用位置不同，会引起完全不同的剪力滞效应，而在前述分析中此问题并未被揭示。若假定箱梁翼板的纵向位移为同时，认为变形后横截面仍与纵向纤维垂直，因此仍有可能建立竖向位移与纵向位移的关系上式中与前面有一定关系，即由于竖向位移w在横向是变化的，则外力势能会随荷载作用位置变化而变化，剪力滞效应亦随之改变。对翼板长度与半箱宽相同的矩形箱形截面梁，按照变分原理得出的微分方程为变分边界条件 0式中 当，即时，荷载位于梁肋处，这即为前述情况。但当0，因为，故则e值应在负值与1之间。分析跨内作用集中荷载的简支箱形梁，会得出以下结论：（1），即荷载作用在
27、梁肋处，=1.0，即为剪力滞效应的正常情况；（2）0，即荷载作用在上翼板的中心处，则，即在全梁段出现负剪力滞效应。（3），即0，不产生剪力滞效应。如图所示。荷载作用点从梁肋向梁中心移动过程，将经历一个“正剪力滞效应”至“无剪力滞效应”再到“负剪力滞效应”过程。荷载作用点与剪力滞效应 本章参考文献n 1B.O.Kuzmanovic & J.Graham. Shear Lag in Box Girders Journal of the Structural Division. Proceedings of ASCE, Vol.107,Sept,1981n 2Shushkewich, K.W. Negative Shear lag Explained. Journal of Structural Engineering, ASCE,117(11), Nov.1991n 3张士铎、邓小华、王文州箱形薄壁梁剪力滞效应北京：人民交通出版社，1998.3n 4项海帆高等桥梁结构理论北京：人民交通出版社，2000
