《偏微分课程课件10椭圆型方程的有限差分方法II》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分课程课件10椭圆型方程的有限差分方法II（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1求解代数方程组求解代数方程组Hu=g的方法的方法直接方法直接方法: 高斯消去法高斯消去法, 三角分解三角分解, 追赶法追赶法,QR分解等分解等迭代方法迭代方法: 基本迭代法基本迭代法, 预处理迭代法预处理迭代法, 多重网格法等多重网格法等Jacobi迭代法迭代法Gauss-Seidel迭代法迭代法超松弛迭代法超松弛迭代法其它迭代法其它迭代法Jacobi迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=f将将A分解分解3Jacobi迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=fA为为n阶矩阵阶矩阵, 分解为分解为4Jacobi迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=fA为为n阶矩阵阶矩阵, 分解为分解
2、为5Jacobi迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=fA为为n阶矩阵阶矩阵, 分解为分解为6Jacobi迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=f将将A分解分解Jacobi迭代法迭代法分量形式分量形式8Guass-Seidel迭代法求解代数方程迭代法求解代数方程Au=f将将A分解分解G-S迭代法迭代法A为为T矩阵矩阵时矩阵矩阵时, G-S迭代法收敛速度是迭代法收敛速度是Jacobi法两倍法两倍G-S迭代法矩阵形式迭代法矩阵形式分量迭代法分量迭代法计算公式为计算公式为10超松弛迭代法超松弛迭代法求解代数方程求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵大型稀疏矩阵将将A分解分解Guass-Seide
3、l迭代法解迭代法解超松弛迭代法超松弛迭代法求解代数方程求解代数方程Au=f12逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法(SOD)Successive Over Relaxation MethodSOD迭代的矩阵形式迭代的矩阵形式SOD迭代的分量形式迭代的分量形式13例：解线性方程组例：解线性方程组解解: SOR 迭代格式迭代格式14对于矩形区域对于矩形区域possion方程第一边值问题差分格式方程第一边值问题差分格式（二）五点差分格式的性质（二）五点差分格式的性质 微分方程微分方程微分方程微分方程差分格式差分格式差分格式差分格式真解真解真解真解u u= =u u( (x x, ,y y) )真解真解真
4、解真解u u= =u un n实用性分析实用性分析实用性分析实用性分析 相相相相容容容容性性性性收收收收敛敛敛敛性性性性 稳定性稳定性稳定性稳定性椭圆型方程收敛性分析椭圆型方程收敛性分析椭圆型方程收敛性分析椭圆型方程收敛性分析对于双曲与抛物方程：对于双曲与抛物方程：对于双曲与抛物方程：对于双曲与抛物方程：极值原理极值原理1. 存在唯一性存在唯一性只需证明只需证明齐次方程齐次方程只有零解只有零解2.差分方程解的收敛性差分方程解的收敛性定理定理: 设设 是定义在是定义在 上的函数，那么有上的函数，那么有 其中其中a为矩形区域为矩形区域D的的x方向的边长。方向的边长。收敛性：收敛性：h0,k0时，差
5、分方程的解逼近于时，差分方程的解逼近于 微分方程的解。微分方程的解。证明：证明：定义定义则则由定义由定义定理：如果第一边值问题定理：如果第一边值问题二阶收敛二阶收敛的解在的解在 上有四阶连续的偏导数，上有四阶连续的偏导数，则五点差分格式收敛并有估计则五点差分格式收敛并有估计证明：证明：设设u(x,y)是微分方程之解，是微分方程之解，是差分方程之解是差分方程之解应用五点差分格式用五点差分格式计算如下算如下问题：精确解精确解为可以可以观察到察到采用采用Guass-Seidel迭代精确至迭代精确至当当x与与y方向步方向步长减少到原来的减少到原来的1/2，误差减少到原来的差减少到原来的1/4， x方向
6、与方向与y方向收方向收敛阶均均为2 阶。26复习复习: 法线方向向量法线方向向量.1 方向向量方向向量向量向量那么那么a的方向向量为的方向向量为:2 平面曲线平面曲线F(x,y)=0在点在点(x,y)处的法向量处的法向量:空间曲线空间曲线F(x,y,z)=0在点在点(x,y,z)处的法向量处的法向量:（三）边界条件的处理三）边界条件的处理1.矩形区域矩形区域(2)第三类边界条件第三类边界条件(1)第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件四周增加一排节点四周增加一排节点 可用内点的差分格式在边界可用内点的差分格式在边界上成立得到的有关等式与边界离散相应的式子来消去上成立得到的有关
7、等式与边界离散相应的式子来消去29即下边界时条件为即下边界时条件为例：例：其中其中30在下边界任取一边界点在下边界任取一边界点 那么那么 用中心差商代替一阶偏导数用中心差商代替一阶偏导数用用代替代替用用代替代替离散方法：离散方法：31在边界点在边界点 离散方程离散方程, 例如五点格式例如五点格式, 有有两式联立两式联立, 则可以得到一个与则可以得到一个与无关的方程无关的方程处理稍有不同处理稍有不同.32特别特别这样这样, 每一个边界点对应一个差分方程每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和内点按照自然顺序排列将所有边界点和内点按照自然顺序排列, 定义定义两边除以两边除以2(角点除以角点除以
8、4), 则有则有这些差分方程组可以写为一个代数方程组这些差分方程组可以写为一个代数方程组33分析一下系数矩阵分析一下系数矩阵对于第一类边界条件对于第一类边界条件, 有有I+2行行上边界上边界I+2行行下边界下边界为为I+2维方阵维方阵I+2I+2I+2列列I+2列列34例例:解解: 布矩形网格布矩形网格(1) 内点内点(2-5) 四边界四边界(6) 两个角点两个角点(7) 分析其中三个块矩阵分析其中三个块矩阵35(1) 内点内点将将h=1/4代入整理代入整理, 有有36(2) 左边界左边界由内点差分格式由内点差分格式增设虚点增设虚点, 利用中心差商利用中心差商, 得得(-1,1) (0,1)即
9、即(-1,2) (0,2)(-1,3) (0,3)(-1,0) (0,0)(-1,4) (0,4)两边同除以两边同除以237(3-4) 上下边界同上下边界同(2)有有(5) 右边界右边界38(6) 两个角点两个角点对于对于(0,0)点点, 按左边界离散得按左边界离散得按下边界离散得按下边界离散得按方程离散得按方程离散得三式联立三式联立, 消去虚设点消去虚设点, 得得两边同除以两边同除以4, 得得39对于对于 (0,4)点点, 同理可得同理可得令令那么那么20个方程按照自然顺序排列个方程按照自然顺序排列, 则形成代数方程则形成代数方程:其中其中E0K40(7) 分析分析E0和和K(0,0):(i
10、,0):E141分析分析E1和和K(0,1):(i,1):4243那么那么20个方程按照自然顺序排列个方程按照自然顺序排列, 则形成代数方程则形成代数方程:其中其中2.一般区域一般区域网格点网格点内部网格点内部网格点集合集合边界节点集合边界节点集合1）直接转移法）直接转移法S在在P不在不在,选与选与P 最靠近的网格线交点最靠近的网格线交点T第一边界第一边界2）线性插值）线性插值T,Q两点做线性插值两点做线性插值（1）边界点）边界点P在在外法线与坐标轴平行外法线与坐标轴平行第三边界第三边界外法线与坐标轴不平行外法线与坐标轴不平行（2）边界点）边界点 P不在不在（四）变系数方程（四）变系数方程1.
11、直接差分法直接差分法2.有限体积法有限体积法适合处理系数有间断，步长不等距问题，适合处理系数有间断，步长不等距问题，具有保持能量守恒等优点。具有保持能量守恒等优点。为内点为内点为为P四邻点四邻点为为中点中点在阴影区域上积分在阴影区域上积分由中矩形公式由中矩形公式同理同理（五）双调和方程（五）双调和方程（六）（六） 特征值问题特征值问题可用变量分离法可用变量分离法五点差分五点差分 格式格式作业作业复习重点复习重点基本：基本：1、所有作业题。、所有作业题。2、三类方程求解的常用差分格式，其相容性以及适用范围。、三类方程求解的常用差分格式，其相容性以及适用范围。3、分析经典差分格式稳定性（包括三层格
12、式）；、分析经典差分格式稳定性（包括三层格式）； 熟记所讲过问题差分格式的稳定条件，利用熟记所讲过问题差分格式的稳定条件，利用Lax等价定理等价定理 证明收敛性。证明收敛性。4、变分原理，有限元一维以及二维线性元的计算。、变分原理，有限元一维以及二维线性元的计算。在此基础上：在此基础上：5、掌握能量不等式判断稳定性的方法、掌握能量不等式判断稳定性的方法 。 6、构造有限差分格式的、构造有限差分格式的Taylor展开法，有限体积法。展开法，有限体积法。 7、理解双曲型方程收敛的必要条件、理解双曲型方程收敛的必要条件C.F.L.条件。条件。 8、了解如何补充初始条件以及用迎风格式处理边界条件。、了解如何补充初始条件以及用迎风格式处理边界条件。9、利用极值原理证明椭圆问题收敛性。、利用极值原理证明椭圆问题收敛性。
