渗流理论基础ppt课件

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1、第一章 渗流理论基础第一章第一章 渗流理论基础渗流理论基础1.1 渗流的基本概念1.2 渗流基本定律1.3 岩层透水特征及水流折射定律1.4 流网及其应用1.5 渗流连续方程1.6 渗流基本微分方程1.7 数学模型的建立及求解1.1 渗流的基本概念渗流的基本概念1. 多孔介质及其特性1) 多孔介质的概念多孔介多孔介质(Porous medium)：地下水动力学中具有空隙的岩石。广义上包括孔隙介质、裂隙介质和岩溶不十分发育的由石灰岩和白云岩组成的介质，统称为多孔介质。孔隙介孔隙介质：含有孔隙的岩层，砂层、疏松砂岩等； 裂隙介隙介质：含有裂隙的岩层，裂隙发育的花岗岩、石灰岩等。(1) 孔隙性：有效

2、孔隙和死端孔隙。孔隙度孔隙度（Porosity）是多孔介质中孔隙体积与多孔介质总体积之比（符号为n），可表示为小数或百分数，n=Vv/V。有效孔隙有效孔隙（Effective pores）是多孔介质中相互连通的、不为结合水所占据的那一部分孔隙。有效孔隙度有效孔隙度（Effective Porosity）是多孔介质中有效孔隙体积与多孔介质总体积之比（符号为ne），可表示为小数或百分数，ne=Ve/V。死端孔隙死端孔隙（Dead-end pores ）是多孔介质中一端与其它孔隙连通、另一端是封闭的孔隙。2) 2) 多孔介质的性质多孔介质的性质Porosity the property of con

3、taining openings or interstices. In rock or soil, it is the ratio of the volume of openings in the material to the bulk volume of the material.Porosity, Effective The amount of interconnected pore space in a material available for fluid transmission;expressed as a percentage of the total volume occu

4、pied by the interconnecting interstices. Porosity may be primary, formed during deposition or cementation of the material, or secondary, formed after deposition or cementation, such as fractures.2) 2) 多孔介质的性质多孔介质的性质(2) 连通性：封闭和畅通，有效和无效。(3) 压缩性：固体颗粒和孔隙的压缩系数推导。(4) 多相性：固、液、气三相可共存。其中固相的成 为骨架，气相主要分布在非饱和带中

5、，液相的地下水可以吸着水、薄膜水、毛管水和重力水等形式存在。固相骨架 matrix气相空气，非饱和带中液相水： 吸着水 Hygroscopic water 薄膜水 pellicular water 毛管水 capillary water 重力水 gravitational water典型典型单元体元体 （REV，Representative Elementary Volume）又称代表性单元体，是渗流场中其物理量的平均值能够近似代替整个渗流场的特征值的代表性单元体积。 REV具具备两个性两个性质：(1) 其体积和面积，大于个别空隙而小于渗流场，其中的渗流可以从一点连续运动到另一点；(2) 通过

6、单元体的运动要素（流量Q、水头h、压力p、实际水头受到的阻力R）与真实水流相等，运动要素是连续变化的。 REV的作用的作用：(1) 把物理性质看作是坐标的函数，孔隙度n、导水系数T、给水度和渗透系数均连续。(2) 渗流的要素可以微分、积分，可以用微分方程来描述渗流要素。3) 典型单元体 2. 贮水率和贮水系数 考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面AB，按Terzaghi（18831963）观点：式中 上覆荷重引起的总应力（total stress）； 作用在固体颗粒上的粒间应力 (intergranular stress)； 横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占的水平面积比； p水的压强。Te

7、rzaghi令 = 称为有效应力（effective stress）。很小，(1- )p p，因此有：（1-60）（1-61）图图11 一个可压缩的承压含水层（一个可压缩的承压含水层（J. Bear） 在水位下降为H时，有 。即作用于固体骨架上的力增加了H。作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导致水的膨胀。含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水一样。因Vs=constant，故 只在垂直方向上有压缩， 故上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关系。水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚

8、度为l m (即体积为l m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。此时，有效应力增加了Hg1=g。介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和（1-62）（1-63）上述二者之和所释放出的水量为或式中 s 贮水率释水率（specific storativity），量纲 L-1，为弹性释水贮水 ；式中 M含水层厚度(m)； *贮水系数（storativity）。 *=sM贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。（1-64）贮水率水率 表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）

9、以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。单位1/L。贮水系数水系数又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。 贮水率水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。 *范围值：n10-3 n10-5； 范围值：0.05 0.30。实际测出的

10、值往往小于理论值。 Storativity The volume of water that a permeable unit, i.e., aquifer, will absorb or expel from storage per unit surface area per unit change in head. In an unconfined aquifer, the storativity value is equal to the Specific Yield. The specific yield of the aquifer can be used to estimate t

11、he time between when pumping begins and equilibrium groundwater conditions are reached. 上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。弹性性释水与重力水与重力给水水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下部饱

12、水部分则引起弹性性释水水，用贮水率*表示这一部分的释水能力。必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干滞后疏干现象。 承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释水的能力。 3.导压系数系数 描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。量纲为L2 2T-1-1。包括两大类，运动特点各不相同，分别满足于孔隙水和裂隙岩溶水的特点。(1)第一类为地下水在多孔介质的孔隙或遍布于介质中的裂隙运动，具有统一的流场，运动方向基本一致；

13、 (2)另一类为地下水沿大裂隙和管道的运动，方向没有规律，分属不同的地下水流动系统。4.4.多孔介质中的地下水运动多孔介质中的地下水运动5 渗透与渗流1) 渗透渗透:地下水在岩石空隙或多孔介质中的运动，这种运动是在弯曲的通道中，运动轨迹在各点处不等。为了研究地下水的整体运动特征，引入渗流的概念。图图1-2 岩石中的渗流岩石中的渗流（a a）实际渗透实际渗透 (b)(b)假想渗流假想渗流2) 渗流渗流（seepage flow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地下水流的一种假想水流。其特点是：（1）假想水流的性质与真实

14、地下水流相同；（2）充满含水层空隙空间和岩石颗粒所占据的空间； （3）运动时所受的阻力与实际水流所受阻力相等；（4）通过任一断面的流量及任一点的压力或水头与实际水流相同。渗流渗流场（flow domain）：假想水流所占据的空间区域，包括空隙和岩石颗粒所占的全部空间。Seepage (1) The passage of water or other fluid through a porous medium, such as the passage of water through an earth embankment or masonry wall. (2) Groundwater eme

15、rging on the face of a stream bank. (3) The slow movement of water through small cracks, pores, interstices, etc., of a material into or out of a body of surface or subsurface water. (4) The interstitial movement of water that may take place through a dam, its foundation, or its Abutments. (5) The l

16、oss of water by infiltration into the soil from a canal, ditches, laterals, watercourse, reservoir, storage facilities, or other body of water, or from a field. Seepage is generally expressed as flow volume per unit of time. 4) 渗流速度（1）过水断面水断面（Cross-sectional area）是渗流场中垂直于渗流方向的任意一个岩石截面，包括空隙面积（Av）和固体颗

17、粒所占据的面积(As)，A= Av + As。渗流平行流动时为平面，弯曲流动时为曲面。 （2）渗流量渗流量（Seepage discharge）是单位时间内通过过水断面的水体积，用Q表示，单位m3/d。图图1-3 渗流过水断面渗流过水断面1、渗流方向、渗流方向 2、过水断面、过水断面 （3）渗流速度渗流速度（Specific discharge/seepage velocity）又称渗透速度、比流量，是渗流在过水断面上的平均流速。它不代表任何真实水流的速度，只是一种假想速度。它描述的是渗流具有的平均速度，是渗流场空间坐标的连续函数，是一个虚拟的矢量。单位m/d，表示为:（4）实际平均流速平均流

18、速（Mean actual velocity）是多孔介质中地下水通过空隙面积的平均速度；地下水流通过含水层过水断面的平均流速，其值等于流量除以过水断面上的空隙面积，量纲为L/T。记为。它描述地下水锋面在单位时间内运移的距离，是渗流场空间坐标的离散函数。表示为： 渗流速度=n 实际平均流速（1-1）（1-1a） 若确定渗流场中任一点的渗流速度，可以按以下方法进行讨论： 设以P点为中心的REV的平均渗流速度矢量为v，令REV的体积为V0，其中空隙体积为(Vv)0，在空隙中的不同地点，流速u不同，将u 在全部空隙体积(Vv)0中求积分，再除以REV体积V0，即为渗流速度，表示为: 可得v= n （1

19、-3） （1-4） 3地下水的水头与水力坡度(1)地下水水地下水水头（hydraulic head）：渗流场中任意一点的总水头近似等于测压水水头(piezometric head)，即:通常称为渗流水头。在水力学中定义总水水头(total head):式中右端三项分别称为位位头（potential head）、压头(pressure head)和速速头(velocity head)。 总水头（Total head ）为测压管水头和流速水头之和。（1-5）（1-6） 测压管水头（Piezometric head）为位置水头与压力水头之和， 。 压力水头（pressure head）：含水层中某点

20、的压力水头（h）指以水柱高度表示的该点水的压强，量纲为L，即：h =P/，式中 P为该点水的压强； 为水的容重。 速度水头（velocity head）：在含水层中的某点水所具有的动能转变为势能时所达到的高度，量纲为L，即 ，式中u为地下水在该点流动的速度；g为重力加速度。由于在地下水中水流的运动速度很小，故速头 可以忽略，所以h近似等于H，即:意义：渗流场中任意一点的水头实际上反映该点单位质量液体具有的总机械能，地下水在运动过程中不断克服阻力，消耗总机械能，因此沿地下水流程，水头线是一条降落曲线。（1-7）Total Head, The sum of the Elevation Head (

21、distance of a point above datum), the Pressure Head (the height of a column of liquid that can be supported by static pressure only at the point), and the velocity Head (the height to which the liquid can be raised by its own kinetic energy. Also see Hydraulic Head.Hydraulic Head (1) The height of t

22、he free surface of a body of water above a given point beneath the surface. (2) The height of the water level at the headworks or an upstream point of a waterway, and the water surface at a given point downstream. (3) The height of a hydraulic grade line above the center line of a pressure pipe, at

23、a given point.Piezometric Head Synonymous with Hydraulic Head, which is now commonly used. (2) 水力坡度水力坡度水力梯度（hydraulic gradient）：在渗流场中大小等于梯度值，方向沿等水头面的法线并指向水头下降方向的矢量，用J表示。 式中 法线方向单位矢量。在空间直角坐标系中，其三个分量分别为：(3)等水头面与等水头线等水等水头面面：渗流场中水头值相同的各点相互连接所形成的一个面。可以是平面也可为曲面。等水等水头线（groundwater contour）：等水头面与某一平面的交线。等水头

24、面上任意一条线上的水头都相等。等水头面（线）在渗流场中是连续的，不同大小的等水头面（线）不能相交。（1-8）（1-9）Hydraulic Gradient (I) (1) The slope of the water surface. (2) The gradient or slope of a water table or Piezometric Surface in the direction of the greatest slope, generally expressed in feet per mile or feet per feet. Specifically, the cha

25、nge in static head per unit of distance in a given direction, generally the direction of the maximum rate of decrease in head. The difference in hydraulic heads (h1 h2), divided by the distance (L) along the flowpath, or, expressed in percentage terms: I = (h1 h2) / L X 100%A hydraulic gradient of 1

26、00 percent means a one foot drop in head in one foot of flow distance. 4 地下水运动特征分类 （1）渗流运渗流运动要素要素(Seepage elements)是表征渗流运动特征的物理量，主要有渗流量Q、渗流速度V、压强P、水头H等。 地下水运动方向（Groundwater flow direction）为渗透流速矢量的方向。 (2) 层流与紊流 层流流（laminar flow）：水流流束彼此不相混杂、运动迹线呈近似平行的流动。 紊流紊流（turbulent flow）：水流流束相互混杂、运动迹线呈不规则的流动。Lamin

27、ar Flow A flow in which fluid moves smoothly in streamlines in parallel layers or sheets. The stream lines remain distinct and the flow directions at every point remain unchanged with time. It is characteristic of the movement of ground water. Contrasts with turbulent flow. Synonymous with Streamlin

28、e Flow and Viscous Flow.Turbulent Flow (1) (Physics) The motion of a fluid having local velocities and pressures that fluctuate randomly. (2) The mechanism by which a fluid such as water moves near a rough surface. Fluid not in contact with the irregular boundary outruns that which is slowed by fric

29、tion or deflected by the uneven surface. Fluid particles move in a series of eddies or whirls. Most stream flow is turbulent, and turbulent flow is important in both erosion and transportation. Contrast with Laminar Flow. 根据Reynolds number判别地下水流态，通常 式中： 地下水的渗流速度(cm/s)； d含水层颗粒的平均粒径(cm)； d0含水层颗粒的有效粒径(

30、cm)； 地下水的运动粘度（粘滞系数）(cm2/s)。 图图1-4 空隙岩石中地下水的层流和紊流空隙岩石中地下水的层流和紊流（1-10） 通常，确定d的方法有：（1）d=d10；（2）Collins(1961)： ；（3）Ward(1964)： ,其中n为孔隙度。 若ReRe临界，则地下水处于紊流状态，此时液体质点无秩序地相互混杂地流动。Re临界 150300。天然地下水多处于层流状态。 (2)稳定流与非定流与非稳定流定流根据渗流运动要素是否与时间有关而进行的划分。稳定流定流（steady flow）：渗流运动要素不随时间变化；在一定的观测时间内水头、渗流速度等渗透要素不随时间变化的地下水运动

31、。 非非稳定流定流（unsteady flow）：渗流运动要素随时间变化；水头、渗透速度等任一渗透要素随时间变化的地下水运动。（3）一、二、三维流根据渗流方向与所选坐标轴方向之间的关系来划分。一一维流运流运动：当地下水沿一个方向运动，将该方向取为坐标轴，此时地下水的渗透速度只有沿该坐标轴的方向有分速度，其余坐标轴方向的分速度为0。一一维流流（one-dimensional flow），也称单向运动，指渗流场中水头、流速等渗流要素仅随一个坐标变化的水流，其速度向量仅有一个分量、流线呈平行的水流。 二二维流运流运动：若地下水的渗透速度沿两个坐标轴方向都有分速度，仅一个坐标轴方向的分速度为0。Ste

32、ady Flow Flow in which the rate remains constant with respect to time at a given cross-section.Unsteady Flow Flow that is changing with respect to time. 二二维流流（two-dimensional flow），也称平面运动，地下水的渗透流速沿空间二个坐标轴方向都有分速度、仅仅一个坐标轴方向的分速度为零的渗流；水头、流速等渗流要素随两个坐标变化的水流，其速度向量可分为两个分量，流线与某一固定平面呈平行的水流。 平面二平面二维流流（Two-dime

33、nsional flow in plane），由两个水平速度分量所组成的二维流。图图1-5 承压水的一维流动承压水的一维流动 剖面二剖面二维流流（two-dimensional flow in section），由一个垂直速度分量和一个水平速度分量组成的二维流。 单宽流量流量（Discharge per unit width）：渗流场中过水断面单位宽度的渗流量，等于总流量Q与宽度B之比。即 q=Q/B。 （1-11）总渗流量Q为单宽流量q与宽度B的乘积，Q=qB。图图1-6 渠道向河流渗漏的地下水二维流动渠道向河流渗漏的地下水二维流动（a）平面图）平面图 (b)剖面图剖面图 三三维流运流运动：

34、地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不为0。三三维流流（three-dimensional flow），也称空间运动，地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不等于零的渗流；水头、流速等渗流要素随空间三个坐标而变化的水流。图图1-7 河弯处潜水的三维流动河弯处潜水的三维流动（a）平面图）平面图 (b)剖面图剖面图图图1-8 均质各向同性含水层中潜水井抽水时的地均质各向同性含水层中潜水井抽水时的地下水运动下水运动(a)平面图平面图 (b)剖面图剖面图1 达西定律（达西定律（线性渗透定律）性渗透定律）1.2 渗流基本定律渗流基本定律图图1-9 Darcy 实验装置实验装置（1）达西定律表达式达

35、西定律表达式 实验条件实验条件：定水头、定流量、均质砂。 此时地下水做一维均匀运动，渗流速度与水力坡度的大小和方向沿流程不变。达西定律(1856年)表达式：其中: Q渗透流量（出口处流量），亦即通过过水断面（砂柱各断面）A的流量(m3/d)；volumetric flow rate. K多孔介质的渗透系数(m/d)；A过水断面面积(m2) ；cross-sectional area of flow.H1、H2上、下游过水断面的水头(m)；L渗透途径 (m)；J水力梯度（J = (H1-H2)/L），等于两个计算断面之间的水头差除以渗透途径，亦即渗透路径中单位长度上的水头损失。（1-12）（1-

36、13）达西定律的微分形式：达西定律的矢量形式：（1-14）（1-15）（1-16） （2 2）达西公式达西公式讨论 达西定律反映了能量转化与守恒。 V与J的一次方成正比；当K一定时，当V增大时，水头差增大，表明单位渗透途径上被转化成热能的机械能损失越多，即V与机械能的损失成正比关系；当V一定时，K越小，水头差越大，即K与机械能的损失成反比关系。 (3)(3) 达西公式适用范达西公式适用范围 Re10-100，层流，不适用，地下水流速增大，为过渡带，由粘滞力占优势的层流转变为以惯性力占优势的层流运动； Re100，紊流，不适用。 达西定律的下限达西定律的下限：地下水在粘性土中运动时存在一个起始水

37、力坡度J0。当水力坡度J1-10，P. Forchheimer（1901）公式: 或 式中的a，b由实验确定的常数,1.6m2。 (2)当a=0时，有Chezy公式： （3）Ward （1964）公式： 式中 ，其中d2是颗粒直径。（1-20）（1-20a）（1-21）（1-22）1.3 岩层透水特征及水流折射定律岩层透水特征及水流折射定律 1 岩层透水特征分类（1）均质与非均质根据岩层透水性随空间坐标的变化情况划分，若渗流场中，任意点都具有相同的渗透系数，或渗透系数不随空间坐标的变化而变化，则该岩层是均质的，反之则为非均质。岩石的非均质分两类，一类是渐变的，另一类是突变的。均均质岩岩层（Ho

38、mogeneous strata/aquifer）：渗流场中所有点都具有相同参数的岩层。非均非均质岩岩层（inhomogeneous /heterogeneous strata /aquifer）：渗流场中所有点不都具有相同参数的岩层，渗透系数K=K(x,y,z)，为坐标的函数。 非均质分为两类，即渐变的和突变的。Homogeneity Characteristic of a medium in which material properties are identical throughout. A material is homogeneous if its hydrologic prop

39、erties are everywhere identical. Although no known aquifer is homogeneous in detail, models based on the assumption of homogeneity have proven to be valuable tools for predicting the approximate relationship in aquifers between discharge and potential. Contrast with HeterogeneityHeterogeneity Charac

40、teristic of a medium in which material properties vary from point to point. Contrast with Homogeneity. If hydraulic conductivity is consistent throughout a formation, regardless of position, the formation is homogeneous. If hydraulic conductivity within a formation is dependent on location, the form

41、ation is heterogeneous. When hydraulic conductivity is independent of the direction of measurement at a point within a formation, the formation is isotropic at that point. If the hydraulic conductivity varies with the direction of measurement at a point within a formation, the formation is anisotrop

42、ic at that point. （2）各向同性与各向异性 根据岩层透水性与渗流方向的关系划分，若渗流场中，某一点的K与渗流方向无关，则该岩层是各向同性的，反之则为各向异性。 各向同性岩各向同性岩层（Isotropic strata /aquifer）：渗流场中某一点的渗透系数不取决于方向，即不管渗流方向如何都具有相同渗透系数的岩层。各向异性岩各向异性岩层（anisotropic strata /aquifer）：渗流场中某一点的渗透系数取决于方向，渗透系数随渗流方向不同而不同的岩层。Isotropy That condition in which a medium has the same

43、 properties in all directions.Anisotropy (1) The condition of having different properties in different directions. (2) The condition under which one or more of the hydraulic properties of an aquifer vary according to the direction of the flow. 2渗透系数渗透系数张量量 岩石的透水性是用渗透系数来衡量的。渗透系数实际上是个张量。(1(1）对于各向同性介质，

44、其中任一点的渗透系数值与渗流方向无关，是一个标量，水力坡度与渗流方向是一致的。此时，可以表示为如下表达式： (2)对于各向异性介质，K与渗流方向有关，K不再是标量，水力坡度与渗流方向一般是不一致的。此时，可以表示为如下表达式：即可写成:（1-23）（1-24a）在二维空间中，即有 v=KJ 渗透系数是对称张量，即Kxy=Kyx，Kxz=Kzx，Kyz=Kzy。在各向异性介质中，水力坡度与渗流方向不一致，但在三个方向上两者是平行的，而且这三个方向称为主方向。主渗透系数（主值）是指沿主方向测得的渗透系数，用 K1、K2、K3表示，有Kxx=K1，Kyy=K2，Kzz=K3，此时：（1-24b）（1

45、-25）（1-26）3 层状岩状岩层的等效渗透系数的等效渗透系数(1)水流平行水流平行层面面 特点：水流为稳定流，岩层水平分布，各段流量之和等于各部分流量之和，且各段具有统一的水头，各段具有相同的水力坡度。 在自然界中很常见的非均质岩层多是由许多透水性各不相同的薄层相互交替组成的层状岩层。当每一分层的渗透系数Ki和厚度面Mi i已知时，可求出平行于层面的渗透系数Kp和垂直于层面的渗透系数Kv。图图1-11 层状岩层中平行于层面的渗流层状岩层中平行于层面的渗流根据达西定律有： 若把其视为整体时，有 故 水平岩层的等效渗透系数为：等效导水系数为垂直方向岩性渐变时，有（1-27）（1-28）1-12

46、 层状岩层中垂直于层面的渗流层状岩层中垂直于层面的渗流（1-29） (2)水流垂直层面特点：水流垂直层面运动，每段水流具有相同的单宽流量，且每段水力坡度不同。由 ，由此推导出，依次类推，有 可见，取决于Ki最小的分层（阻力最大），Ki=0， 则 Kv =0。另外，总是有 。 （1-30） 4 突突变界面的水流折射定律界面的水流折射定律 根据水流连续性条件，当水流斜向由一种介质进入另一种介质时，会发生折射。 如图所示：水流由K1介质进入 K2介质中，二者交界面上某一点的渗流速度和水头在两介质中的值依次为V1、V2和H1、H2。对于界面上的任一点应满足以下条件： 由图中(见下页）几何条件有： 则有

47、（1-31） 讨论上式可以的出以下结论： （1）若K1=K2，则， 表明在均质介质中水流不发生折射。（2）若K1K2，而且K1，K2均不为0时，如 ，表明水流垂直通过界面时水流不发生折射。因为 ，则得到水流水流折射定律折射定律（渗流折射时必须满足的方程）：（1-32） （3）若K1K2，且K1，K2均不为0， ，表明水流平行于界面时水流不发生折射。 （4）当水流斜向通过界面时，介质的渗透系数越大，值也越大，流线也越靠近界面。介质相差越大，两角的差值也越大。 根据水流折射原理和达西定律，可以帮助分析流场的水动力条件的变化。The angles of refraction (and the spa

48、cing of flow lines in adjacent aquifers and confining beds) are proportional to the differences in hydraulic conductivities (K) such that 作作 业业课本P51页思考题1、2、3、4、5、6题1.4 流网及其应用流网及其应用 1 流网的概念流网的概念 (1)流网流网：渗流场中由一组流线与由一组等势线（当容重不变时为一组等水头线）相交组成的网格。对各向同性介质组成正交网。Flow Net A graphical representation of flow li

49、nes and Equipotential Lines for two-dimensional, steady-state ground-water flow. 流流线（Streamline）渗流场内处处与渗流速度矢量相切的曲线。Streamline (Flowline) (1) A line that is parallel to the direction of flow of a fluid at a given instant. (2) The path followed by a particle of water as it moves through a saturated so

50、il mass.地下水动力学中流线的概念和水力学中的概念是完全一致的。流线应是一根处处和渗流速度矢量相切的曲线。因此，流线簇就代表渗流区内每一个点的水流方向。2 流函数方程流函数方程 (1) 流线的方程根据上述定义，没有水流穿越流线。现在来研究描述流线的方程式。如图，在任一流线上取任意两点M(x, y)和M (x+dx, y+dy)。M点的渗流速度矢量为v，它与它的两个分量Vx，Vy构成一个三角形MAB。自M 点作垂线Mb，并延长至a。图图1-13 流线流线当M与M 无限逼近时，弧线 MM 可用切线Ma来代替，故有Mb= dx，ab=dy。因为 MABMab，有以下等式成立-流线方程 ：(1-

51、33a) M和M是任意流线上任选的两点。因此，上式对流线上的任一点都是正确的，可以把它看成是流线的方程，用它来描述流线。上面的流线方程无论对各向同性和各向异性介质都是适用的。在各向异性介质中，如果选取的坐标轴(直角坐标系)的方向分别与渗透系数的主方向一致，则上式变为： 对于各向同性介质，则式中的Kxx=Kyy=K。由于（1-33b）式只涉及一个点的水流情况，故也适用于非均质介质。 (1-33b)(2) 流函数方程 设有二元函数(x,y)，其全微分为: 若取这样一种函数，使 对其积分得： c =常数。表明沿同一流线，函数为常数，不同的流线则有不同的函数值。称函数c为流函数流函数，又称Lagran

52、ge流函数流函数，量刚为L2T-1。 (1-34)则则(1-35) （3）流函数的物理意义在无限接近的两条流线和上沿某等水头线取两个点a(x,y)和b(x+dx,y+dy)。自a、b分别做垂线和水平线，相交于c。见下图1-14。 把式（1-34）和（1-35）代入上式，则得到： 通过两流线之间的单宽流量dq可看作是通过ac和bc的流量的代数和。将渗流速度分解则有：dq=vxac+vybc，但 ac=dy，bc=-dx，所以有 dq=vxdy-vydx(1-36)将（35）式在C1和C2区间积分得：由（1-37）可以得出：在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。在同一

53、条流线上，d=0，q=0，C=常数。由达西定律和（1-34）式，有：将（1-38）中第一式对y求导，第二式对 x求导，得到：(1-37)(1-38)整理得： (1-39) 表明在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 (4) 流函数的特性流函数的特性 对于一给定的流线，流函数是常数。不同的流线有不同的常数值。流函数决定于流线。Y=c 在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。q=Y2-Y1 在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程；而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出

54、某一瞬时的流线图。只有对不可压缩的液体的稳定流动，流线才有实际意义。 2. 流网的性流网的性质（1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。 由（1-38）式，得： 消去K，得： 等水头线 流线 式中i，j单位矢量。(1-40)(1-41) 在非均质各向同性介质中，上式亦成立。（2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。 式中dl相邻流线的间距； ds等势线的间距。 通常取ds/dl=1，流网为曲边正方形。 (1-42)(1-43)(1-44)（3）若流网中各相邻流线的流函数差值相同，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相同。 式中 网格相邻两等势线间

55、的平均长度； 网格相邻两流线间的平均宽度。若上下游总水头差Hr=H1-H2，则m个水头带中每一网格的水头差为(1-45)(1-46)(1-47) （4）若两个透水性不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一个介质时则变成曲边矩形。当 ，且 时 ，3 流网的绘制与应用a. 流网的绘制 可采用解析法、各种模型试验法、徒手绘渐进法绘制流网。（1）确定边界条件 河渠的湿周为一条等水头线。 平行于隔水边界可绘制流线。 无入渗补给及蒸发排泄，有侧向补给，做稳定运动时，地下水面是一条流线。 有入渗补给时，地下水面既不是流线也不是等水头线。（2）根据已经确定的边界条件，根据流网的性质可

56、以判定另一条件，作出流网。（3）根据流网的性质绘制，各向同性含水层中，流线与等水头线处处正交，网格边长比为常数。（4）在同一渗流区内，除奇点外，流线与等水头线各自不能相交；如遇透水性大的透镜体时，则流线向该点汇集，反之则绕行。流线穿越突变界面时，应用水流折射定律绘制。b. 流网的应用（1）定量计算渗流区中的渗流运动要素 水头H、渗透压强P 水力梯度J、渗流速度v (1-48) (1-49) 流量q 式中m、n水头带数目、流带的数目。 （2）定性分析渗流区的水文地质条件及其变化。 （3）主要用于解决稳定渗流问题。 (1-50)Figure . Gravity dam on pervious fo

57、undation of finite depth (Courtesy of McGraw-Hill Book Company ) From Seepage Analysis and Control for Dams，Engineer Manual，19931.5 渗流连续方程渗流连续方程 1 含水含水层的状的状态方程方程含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 1）地下水的状态方程 Hooke定律： 式中：E体积弹性系数（体积弹性模量），20时， E=2.1105N/cm2。其倒数为压缩系数。等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为（

58、1-51）Compressibility of Water Fluids are compressible, e.g., an increase in pressure dp will lead to a decrease in the volume of a given mass of water (Vw). The compressibility of water () is defined as: where dVw is the change in the volume of the water, Vw is the original volume of the water, and

59、dp is the change in pressure. The negative sign is necessary to ensure a positive 积分（pp0，VV0）改写得：体积：密度：按Taylor级数展开，得到近似方程：和 因 （质量守恒），故有（1-52）（1-53）（1-54）（1-55）（1-56） 2 ）多孔介质的状态方程多孔介多孔介质压缩系数系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在压强变化时的压缩性的指标，用表示。 多孔介质压缩系数的表达式为：式中，VbVs+Vv多孔介质中所取单元体的总体积； Vs单元体中固体骨架（s

60、olid matrix）体积； Vv为其中的孔隙（voids）体积。 介质表面压强；（1-57）Compressibility of a Porous Medium The compressibility of a porous medium, , is defined as where VT is the total volume of the porous medium, dVT is the change in the volume of the porous medium, and de is the change in effective stress. Recall that VT

61、 = Vs + Vv, where Vs is the volume of the solids and Vv is the volume of the water-saturated voids. An increase in effective stress de leads to a reduction dVT in the total volume of the porous medium. In granular materials the reduction in the total volume of the porous medium is almost entirely du

62、e to grain rearrangement. In general, VT = Vs + Vv but the volume change for individual grains due to the change in effective stress is negligible (in other words, individual grains are almost incompressible). VvnVb；Vs(1-n)Vb式中 多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，sp； 多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibility of the

63、 pores of a porous medium），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。 n多孔介质的孔隙度。因 ，故 。(1-58)(1-59) 2. 渗流渗流连续方程方程 由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的六面体，体积为 ，称为特征特征单元体元体，设单元体无限小，但保证单元体穿过介质骨架和空隙。设vx x，vy y，vz z分别为该点在X、Y、Z方向上的渗流速度。Abcd面中点 。沿X轴方向流入：流出：利用Taylor级数展开

64、，略去二阶导数以上的高次项，有：单元体本身水质量在t时间内的变化量为液体密度。 由质量守恒定律,得到渗流的连续性方程渗流的连续性方程:=同理 或 上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律。 若把含水层看作刚体，=constant，n不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为（1-65）（1-66） 上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体积，即体积守恒。连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运动的微分方程都

65、是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立起来的。1.6 渗流基本微分方程渗流基本微分方程1. 承压水运动的基本微分方程基本假设：（1）单元体体积无限小，为承压含水层；（2）含水层侧向受到限制，x、y为常量,z为变量,存在垂向压缩，水的密度、孔隙度n和随压力p而变化；（3）由引起的变化 远小于单元体内液体质量的变化量（含） ，可忽略不计；（4）水流服从Darcys Law；（5）K不因 的变化而变化；（6）s和K也不受n变化（由于骨架变形）的影响。 流体的质量： 由于含水层的侧向受到限制，可假设x、y为常量，只 考虑垂向压缩。于是，只有水的密度.孔隙度n和单元体高 度z三个量随压力而变化，于

66、是有： 由含水层状态方程，=（1-67）因为 所以有 ，Z为定值，则 则可得到：于是连续性方程（1-65）变为：又则 （1-68）（1-69）（1-70）令 则根据连续性原理有：则有：即：将 代入整理得：所以有上式为三维流微分方程，也可写成：物理意物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。（1-71）基本微分方程(Basic Differential Equation)是研究承压含水层中地下水运动的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一

67、时间内单位体积含水层弹件释放(或弹性贮存)的水量（右端）。它还通过应用Darcy定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。在柱坐标系中，基本微分方程为（1-72a）或由地下水流基本微分方程（1-71），在均质各向同性介质中，方程简化为：对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质的主方向定为一致，则有在二维流情况下，基本微分方程可表示为：（1-72b）（1-73）（1-74）（1-75） 上式即为承压水平面二维流微分方程，该方程是研究承压水含水层中地下水运动的

68、基础，反映了承压水含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或贮存）的水量。 在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中的左端中通过加、减W项，通常把该项称为源汇项。所谓的源项表示在垂直方向上有水流入含水层，此时W为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层，此时W为负。此时（1-71）式变成：（1-76）二维流情况下：在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则均质各向同性含水层基本微分方程为：非均质各向同性含水层中的稳定流运动：均质各向同性含水层中的稳定流运动：（1-77）（1-78）（1-79）（1-80

69、） 上式也称Laplace方程。稳定运动方程的右端都等于零，意味着同一时间内流入单元体的水量等于流出的水量。这个结论不仅适用于承压含水层，也适用于潜水含水层和越流含水层。2 越流含水层中地下水运动的基本微分方程在自然界中，存在以下情况，承压含水层的上、下岩层并不是绝对隔水的，其中一个或两个可能是弱透水层(Aquitard)。虽然含水层会通过弱透水层和相邻含水层发生水力联系，但它还是处于承压状态，将其称为半承压含水层(Semi-confined aquifer)。当该含水层和相邻含水层间存在水头差时，地下水就会从高水头含水层通过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为越流(Leakage)。半承压

70、含水层称为越流含水层(Leakage aquifer)。 假设：主含水层渗透系数K远远大于若透水层的渗透系数K1；主含水层弹性释放的水量、弱透水层的越流量远远大于弱透水层弹性释放的水量。主含水层中的水流近似地看作二维流问题， 对于均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程(continuty equation)： （1-81） 式中，v1，v2分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越流强度，即其中，H1(x, y, t)和H2(x, y, t)分别为上含水层和下含水层中的水头，如T表示主含水层的导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的

71、基本微分方程：对于均质各向同性介质来说，有：（1-82）（1-83）（1-84）式中分别称为上、下两个弱透水层的越流因素。越流因素B (Leakage Factor)的量纲为L。弱透水层的渗透性愈小，厚度越大，则B越大，越流量越小。在自然界中，越流因素值的变化很大，可以从几米到若干公里。对于一个完全隔水的覆盖层来说，B为无穷大。另一个反映越流能力的参数是越流系数s 。其定义为：当主含水层和供给越流的含水层间的水头差为一个长度单位时，通过主含水层和弱透水层间单位面积界面上的水流量。因此，K1、m1分别为弱透水层的渗透系数和厚度。 s越大，相同水头差下的越流量越多。（1-85）（1-86）3 潜水

72、运动的基本微分方程 1) Dupuit 假设在潜水面上任意取一点P，有：图图1-16 Dupuit假设假设（1-87）该点的流速v方向与潜水面相切，则由达西定律有：vs=-KJ=-Ksin。 当很小时，tg=sin。此时，(1) 潜水面比较平缓，等水头面呈铅直，水流基本水平，可忽略渗流速度的垂直分量vZ；图 tg 、sin与角度的关系（2）隔水底板水平，铅垂剖面上各点的水头都相等，各点的水力坡度和渗流速度都相等，可以近似地用代替，此即著名的Dupuit 假设。 渗流速度： ，H=H(x) 通过宽度B的铅直平面的流量为 ，H=H(x)式中Qxx方向的流量； h潜水含水层厚度；h=H（隔水层水平时

73、）。（1-88） （1-89）对于更一般情况，H=H(x，y)有：则得： 由于Dupuit假设的引入，将垂直方向的水流速度忽略，减少了z变量，简化了计算，但会产生一定的误差，经验证明当时， 产生的误差很小，误差表达式为：（1-90）（1-91）（1-92） 用tg 代替sin的误差(略）Dupuit假设无效的地区：(1)存在入渗的潜水分水岭地段；(2)渗出面附近。渗出面(seepage surface)是在下游边界面上，潜水面以下、下游水面以上的地段。渗出面上潜水面往往和边界面相切，有较大的垂向分速度。(3)垂直的隔水边界附近。图图1-17 Dupuit假设无效的地区假设无效的地区2 ）Bou

74、ssinesq方程 根据Dupuit假设，可建立有关潜水含水层中的地下水流方程。图图1-18 潜水的非稳定运动潜水的非稳定运动（1）潜水一维流方程（沿x方向运动）在t时间内，上、下游流入、流出单元体的水量差为： 在该段时间内，垂直方向的补给量为，故t时段水量总的变化量为 由于水量的变化引起潜水面的升降，设其变化的速率为则在t时段，由于潜水面的变化而引起的小土体内的水体积的增量为 则有将 （均质各向同性）代入上式，可以得到有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的一维流方程，又称为Boussinesq方程：式中K、 潜水含水层的渗透系数、给水度； W含水层单位时间、单位面积上的垂向补排 量，补给

75、为正，排泄为负。(2)潜水二维流方程均质各向同性含水层，Boussinesq方程为：式中h=H-Z，Z=0时，h=H。（1-93）（1-94）非均质含水层，Boussinesq方程为：在推导潜水基本微分方程时应用了Dupuit假设，忽略了弹性储存，所选的单元体是一个包括了整个含水层厚度在内的土柱，这与承压水非稳定运动时选取的无限小的单元体不同。所以，应用潜水运动基本方程得到的H(x，y，t) 只能代表该点整个含水层厚度上平均水头的近似值，不能用来计算同一垂直剖面上不同点的水头变化。(3)潜水三维流方程若不用Dupuit假设，Boussinesq方程的一般形式：（1-95）（1-96） 在上面的

76、潜水基本运动微分方程中右端项为贮水率而不是给水度，其原因在于，当不考虑Dupuit假设时，单元体位于渗流区内部，其贮存量的变化只能是弹性释水而不是疏干排水，因此推导出的潜水非稳定运动方程和承压水非稳定运动方程形式一样。在这种情况下，地下水非稳定运动的特点由边界条件来反映。 对于各向异性介质，坐标轴方向同主方向，有： 假设固体骨架是不可压缩的， ，同时假设忽略水的压缩性,即常数，有：（1-97）（1-98）或（4）潜水稳定运动的微分方程没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为：非均质或 均质 （5）地下水运动基本微分方程的统一形式： （1-99）（1-100）（1-101）（1-102）式中Z含

77、水层底板标高。1.7 数学模型的建立及求解数学模型的建立及求解1 数学模型的有关概念同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。而且对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。这些信息包括：（1）微分方程中的有关参数， 当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。（2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。（3）边界条件(boundary conditions

78、)：表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。（4）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。将边界条件和初始条件并称为定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。 数学模型数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反

79、映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。建立模型是指建立数学模型的过程。2 定解条件定解条件 1 ）定解条件定解条件指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。定解条件包括边界条件和初始条件。 2）边界条件边界条件是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（

80、或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。(1) 第一第一类边界条件界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界(设为Sl或1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为:或 给定水头边界不一定就是定水头边界。可以作为第一类边界条件来处理的情况： 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时，水头是一个由河湖水位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界

81、条件来处理。（1-103）（1-103）在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界

82、(设为S2或2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q时，称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为:或式中，n为边界S2或2的外法线方向。q1和q2则为已知函数，分别表示S2上单位面积和2上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件： 隔水边界（流线、分水岭）：（1-105）（1-106）（1-107） 抽水井或注水井： 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。（3）第三类边界条件：某边界上H和 的线性组合是已知 的，即有： 又称混合边界条件，为已知函数。边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1），（1-108）（1-109）在s3上,在 上,浸润曲

83、线的边界条件：当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量q为：式中，为给水度，为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。（1-110）（1-111）（1-112）（1-113） 3) 初始条件初始条件:某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。或 其中，H0为D上的已知函数。3 渗流数学模型的分渗流数学模型的分类(1)线性、非线性模型模型由线性方程所组成，称为线性模型，如均质各向同性承压二维流方程。模型由非线性方程所组成，称为非线性模型，如潜水模型方程。（1-114）（1-115） (2)静态、动态模型 根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若未知变量与时间无关，如稳定流模

84、型，称为静态模型，反之，则为动态模型。 (3)集中、分布参数模型模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模型。(4)确定性与随机性模型确定性模型确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学关系的模型。 随机性模型随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。 用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件： 有一个(或一组)能描述这类地下水运动规律的偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。 给出相应的定解条件。对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过

85、抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件(1)和(2)直至满意拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。 经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。 解(即满足条件和的解)是存在的(存在性)； 解是唯一的(唯一性)；要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。 解对原始数据是连续依赖的(稳定性)。即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解

86、的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。 适定问题（Well posed problem ）是指数学模型满足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解对原始数据是连续依赖的（稳定性）这三个条件的问题。只要有一条不满足就是不适定问题。正问题是根据数学模型、给定的含水层水文地质参数和定解条件求解水头的问题，又称水头预报问题。逆问题（inverse problem）是根据数学模型、动态观测资料或抽

87、水试验资料反过来确定含水层水文地质参数的问题。4. 建立数学模型的基本要点建立数学模型的基本要点(1)确定研究区的范围及渗流区的边界；(2)确定渗流区的水力特征（包括埋藏条件、渗流状态、介质特征）；(3)确定渗流区的边界条件；(4)确定渗流区的源汇项；(5)选择微分方程；(6)确定渗流区的初始条件。 5 渗流数学模型的解法渗流数学模型的解法 (1)解析法（analytic method） 用参数分析及积分变换等方法直接求解数学模型解的方法。其解为精确解，使用简单，但该方法存在一定的局限性，只适用于含水层几何形状规则、方程式简单、边界条件单一的情况。 解析解（Analytic solution）

88、又称精确解，是用解析方法求解数学问题所得到的解析表达式。(2)数值法(numerical method) 用数值方法（离散化方法）求解数学模型的方法，其解为近似解。该方法是求解大型地下水流问题的主要方法。它把整个渗流区分割成若干个形状规则的小单元，每个小单元近似处理成均质的，然后建立每个单元地下水流动的关系式。把形状不规则的、非均质的问题转化为形状规则的均质问题。根据研究需要，确定单元划分数量，对于非稳定流还要对时段进行划分。最后，把局部整合起来，加上定解条件。数值解(Numerical solution)是 用数值方法求得的数值解，是一种近似解。(3)模拟法：利用物理现象与水流的相似性，在实验室内采用模拟的方法求解。