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1、微积分（上册）第三章 导数与微分导数的基本概念第一节函数的求导法则第二节高阶导数第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第四节函数的微分及其应用第五节导数的基本概念导数的基本概念第 一节一、引例变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度1.设有一做直线运动的物体，其位置函数s=s(t)，当t=t0时，s0=s(t0).当由时刻t0变到t0+t时，物体在t这段时间内所走过的路程(见图3-1)为s=s(t0+t)s(t0)图图 3-1 3-1一、引例一、引例曲线切线的斜率曲线切线的斜率2.设曲线y=f(x)的图像如图3-2所示，点M(x0,y0)为曲线上一定点，在曲线上另取一点M1(x0+x,
2、y0+y)，点M1的位置取决于x，它是曲线上一动点.下面来求点M(x0,y0)处的切线的斜率.由图3-2易知割线MM1的斜率K为一、引例图图 3-2 3-2一、引例当点M1沿曲线趋向点M时，也就是当x0时，割线MM1的极限位置就是曲线在点M的切线MT.显然，这时割线MM1的倾角趋向于切线MT的倾角，则切线的斜率二、导数的定义上面两个实例的具体含义虽然不同，但是从抽象的数量关系来看，它们的本质是一样的，都归结为函数值的增量与自变量增量的比值的极限.我们把这种极限称为函数的导数.二、导数的定义函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的导数的概念的导数的概念1.定义定义1 1二、导数的定
3、义【例例1 1】二、导数的定义函数函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上的导数的概念上的导数的概念2.定义定义2 2若函数y=f(x)在(a,b)内每一点都可导，则称y=f(x)在(a,b)内可导.也就是说对于该区间内每一点x都有一个导数值f(x)与之对应，故f(x)是该区间上的一个函数，称为f(x)在该区间上的导函数，简称导数，记为f(x)，dy或者y，有时也记为df.显然，f(x)在x0处的导数f(x0)等于导函数f(x)在点x0处的函数值.二、导数的定义一般地，某函数的导数还是一个函数，我们称之为导函数；而函数在某一点的导数是一个数值，我们称之为函数在这点的导数值.注注二
4、、导数的定义由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f(x)，可以分为以下三个步骤：(1)求增量y=f(x+x)f(x)；下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数.二、导数的定义【例例2 2】二、导数的定义【例例3 3】二、导数的定义【例例4 4】二、导数的定义【例例5 5】这就是说余弦函数的导数是负的正弦函数.二、导数的定义【例例6 6】求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数.这就是指数函数的求导公式.特殊地，当a=e时，因lne=1，故有(ex)=ex.上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它本身，这是以e为底的指数函数的一个重要特性.二、导数的定义分段函数在分段点处的导数，
5、必须用导数的定义来求.注注二、导数的定义函数左、右导数的概念函数左、右导数的概念2.与函数y=f(x)在点x0的左、右极限概念类似，我们可以定义函数左、右导数的概念.二、导数的定义定义定义3 3二、导数的定义定义定义4 4显然，当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的.二、导数的定义(1)函数f(x)在a,b上是可导的，是指f(x)在开区间(a,b)内每一点可导，而且在左端点a处f+(a)存在，在右端点b处f(b)存在.(2)如果f(x)是分段函数，当x0是分段函数的分界点时，需要用定义计算出左导数f(x0)和右导数f+(x0).若f(x0)与f+(x0)都存在且相等
6、时，则f(x)在点x0可导，且有f(x0)=f(x0)=f+(x0)；若f(x0)f+(x0)时，则f(x)在点x=x0处不可导.注注二、导数的定义【例例9 9】二、导数的定义【例例1010】三、导数的几何意义设曲线y=f(x)如图3-3所示，M0N=x,NM=y,就是割线M0M的斜率.图图 3-3 3-3三、导数的几何意义当x0时，点M沿曲线y=f(x)趋于点M0，割线M0M趋于它的极限位置M0T，而直线M0T是曲线y=f(x)在点M0处的切线.很明显，当x0时，有，于是有因此，函数y=f(x)在点x0处的导数值f(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率，即k=tan=f
7、(x0).三、导数的几何意义【例例1111】求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.解由导数的几何意义知，y=x2的曲线在点(1,1)处的切线斜率为yx=1=21=2，所以，曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y1=2(x1)，即2xy1=0.四、函数的可导性与连续性的关系定理定理1 1也就是说函数在某点连续是在该点可导的必要条件而非充分条件.例如，函数f(x)=|x|在(,+)上连续，但x=0处的导数不存在.曲线f(x)=|x|在原点处没有切线.四、函数的可导性与连续性的关系【例例1212】设函数若要使f(x)为可导函数，应如何选择a,b？四、函数的可导性与连续性的关系解当x1和x0,
8、a1)的导数.二、反函数的求导法则【例例1919】求y=arcsinx的导数.二、反函数的求导法则【例例2020】求y=arctanx的导数.三、复合函数的求导法则定理定理6 6如果u=(x)在点x处可导，而y=f(u)在点u=(x)处可导，那么复合函数y=f(x)在点x处可导，并且其导数为或写成yx=yuux.证当x有增量x时，u有增量u，从而y有增量y.当u0时，有三、复合函数的求导法则由已知条件可得所以即yx=yuux.上述证明假定了当|x|足够小时，u0，如果该事实不成立，我们仍能证明该法则成立，证明过程请读者思考.三、复合函数的求导法则注注这个公式说明复合函数的导数等于复合函数对中间
9、变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则也称为链式法则，它可以推广到多个中间变量的情形.假设有函数y=f(x)，它是由y=f(u),u=(v),v=(x)复合而成的复合函数，那么复合函数y=f(x)的导数为三、复合函数的求导法则【例例2222】求下列函数的导数.(1)y=sin2x；(2)y=(1+2x)5；(3)y=tan(sinx)；(4)y=ln(x+1+x2).解(1)由y=sinu,u=2x,得y=yuux=cosu(2x)=2cos2x.(2)由y=u5,u=1+2x，得y=yuux=(u5)(1+2x)=5u42=10u4=10(1+2x)4.(3)在熟练掌握复合函数的求导法
10、则后，中间变量可以不必写出(默记在心里按法则逐步进行)，于是有y=tan(sinx)=sec2(sinx)(sinx)=sec2(sinx)cosx=cosxsec2(sinx).三、复合函数的求导法则注注对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各层求的导数的结果乘起来即可.三、复合函数的求导法则【例例2323】y=cosln(1+2x)，求y.解该复合函数从最外层看
11、是余弦函数，向里依次是对数函数、简单函数1+2x.按照上面的八字原则，需要分别对余弦函数、对数函数及函数1+2x求导，然后乘积即得三、复合函数的求导法则【例例2424】求函数y=sin22x的导数.解该函数是由幂函数、正弦函数、简单函数2x复合而成的复合函数.由复合函数的求导法则得y=2sin2xcos2x2=2sin4x.三、复合函数的求导法则【例例2525】【例例2626】已知y=f(x2)sinf(x),f为可导函数，求y.解y=f(x2)sinf(x)+f(x2)sinf(x)=2xf(x2)sinf(x)+f(x2)f(x)cosf(x).三、复合函数的求导法则关于求导记号的几点说明
12、：(1)对于复合函数y=f(x)，如果不设中间变量，y表明y对自变量x求导；如果设有中间变量u=(x)，求y对自变量x求导，应记成dydx或yx，否则就不容易区分y对自变量x求导还是对中间变量u求导；(2)(f(x)表示复合函数对自变量x求导；而f(x)表示函数f(u)对中间变量u求导，其中u=(x).注注高高 阶阶 导导 数数第 三 节第三节高阶导数当x变化时，f(x)的导数f(x)仍是一个关于x的函数，对于这个新的函数，如果可导，就可以将f(x)继续对x进行求导，从而得到“导了再导”的函数，这就是高阶导数.一、高阶导数的定义引列引列求变速直线运动物体的瞬时加速度.一、高阶导数的定义v分分析
13、析如果物体的运动方程为s=s(t)，则变速直线运动的瞬时速度v是路程s对时间t的导数，即而加速度a又是速度v对时间t的变化率，也就是速度v对时间t的导数，即于是这种导数的导数或(s)称为s对t的二阶导数，记为s(t).所以，物体运动的加速度就是路程s对时间t的二阶导数.一、高阶导数的定义一般地，如果函数y=fx的导数y=fx仍是x的可导函数，就称y=fx的导数为函数y=fx的二阶导数，记为相应地，把y=fx的导数f(x)称为函数y=fx的一阶导数.类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,记为三阶导数的导数称为四阶导数,记为一般地，fx的n1阶导数的导数称为fx的n阶导数，记为一、高阶导数的定义二阶
14、或二阶以上的导数统称为高阶导数.由高阶导数的定义知，求函数y=fx的高阶导数，只需连续多次求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.一、高阶导数的定义【例例2727】一、高阶导数的定义【例例2828】求指数函数y=ax(a0,a1)的n阶导数.解y=axlna,y=axln2a,y“=axln3a,y(n)=axlnna,即ax(n)=axlnna.特别地，ex(n)=ex.一、高阶导数的定义【例例2929】求正弦函数y=sinx的n阶导数.一、高阶导数的定义【例例3030】求幂函数y=x(R)的n阶导数.解y=x1，y=(1)x2，y=(1)(2)x3，y(4)=(1)(2)(3)x4
15、.一般地，可得y(n)=(1)(2)(n+1)xn，即x(n)=(1)(2)(n+1)xn.当=n时，得xn(n)=n(n1)(n2)321=n!,而xn(n+1)=0.一、高阶导数的定义【例例3131】设y=ln(1+x)，求y(n).一、高阶导数的定义【例例3232】一、高阶导数的定义【例例3333】设f(x)具有任意阶导数，且f(x)=f2(x)，求证：f(x)的n阶导数f(n)(x)=n!fn+1(x).证由f(x)=f2(x)，得f(x)=2f(x)f(x)=2!f3(x)，f(x)=2!3f2(x)f(x)=3!f4(x).假设f(n1)(x)=(n1)!fn(x)，则f(n)(x
16、)=(n1)!nfn1(x)f(x)=n!fn+1(x),所以原命题成立.二、莱布尼兹公式如果函数u=ux与v=vx都在点x处具有n阶导数，那么u(x)+v(x)与u(x)-v(x)在点x处都具有n阶导数，且u(x)v(x)(n)=u(x)(n)v(x)(n),但乘积u(x)v(x)的n阶导数却并不如此简单.由u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)首先得出u(x)v(x)=u(x)v(x)+2u(x)v(x)+u(x)v(x)，u(x)v(x)=u(x)v(x)+3u(x)v(x)+3u(x)v(x)+u(x)v(x).二、莱布尼兹公式用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼兹公式.二
17、、莱布尼兹公式【例例3434】设y=x2sinx,求y(20).解设u(x)=sinx,vx=x2,则由莱布尼兹公式知二、莱布尼兹公式【例例3535】年龄在0至36个月之间的男婴的平均体重可以表示成函数(t)=8.15+1.82t0.0596t2+0.000758t3，其中t用月来度量，而用磅(1磅=0.454千克)来度量，求一个标准男婴体重增长的加速度.解对(t)=8.15+1.82t0.0596t2+0.000758t3求导，得(t)=1.820.1192t+0.002274t2，(t)=0.1192+0.004548t,因此，一个标准男婴体重增长的加速度为(t)=0.1192+0.004
18、548t.隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所确定的函数的导数确定的函数的导数第 四 节一、隐函数的导数函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系有不同的表达方式.例如，y=sinx,y=1+x等，其特点是因变量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+yxy=0，2xy+1=0等.有些隐函数容易化为显函数,如3x2+2y5=0可化为y=12(3x25);有些隐函数则很难化为显函数,如由方程ex+y=xy所确定的函数.因此有必要找出直接由方程F(x,y)=
19、0求出它所确定的隐函数导数的方法.一、隐函数的导数设y=fx是由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则Fx,f(x)0.由于此式左端是将y=fx代入F(x,y)所得到的复合函数，因此，根据复合函数求导法则将等式两边同时对自变量x求导(函数y看成是x的函数,y的函数看成以y为中间变量的复合函数),得到一个关于的方程,然后从中解出即可.一、隐函数的导数【例例3636】求由方程x2+xy+y2=4所确定的隐函数的导数y.解这里要注意的是：y是x的函数，则xy或y2就是x的复合函数，只不过中间变量为y.将方程两边分别对x求导，得2x+y+xy+2yy=0，解方程求出y，得一、隐函数的导数【例例3737
20、】求由方程2x2y2+xcosy=12所确定的隐函数的导数.解方程两边同时对x求导，有一、隐函数的导数【例例3838】求抛物线y2=4x(见图3-4)在点(1,2)处的切线方程.图图 3-4 3-4一、隐函数的导数解先求切线的斜率.在方程两边对x求导得2yy=4，从而在点(1,2)处的切线的斜率于是所求的切线方程为y2=x1，即y=x+1.一、隐函数的导数【例例4040】求函数y=2xx的导数.一、隐函数的导数【例例4141】一、隐函数的导数本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低，从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘方、开方及幂指
21、函数的求导.注注二、由参数方程确定的函数的导数一般地，如果参数方程(3-1)确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程(3-1)确定的函数.在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所确定的函数的求导方法.二、由参数方程确定的函数的导数在参数方程(3-1)中，若函数x=(t)具有单调连续反函数t=1(x)，且此反函数能与函数y=(t)构成复合函数，那么由参数方程(3-1)所确定的函数可以看成是由函数y=(
22、t)，t=1(x)复合而成的函数y=1(x).现在，要计算这个复合函数的导数.为此再假定函数x=(t)，y=(t)都可导，而且(t)0.于是根据复合函数求导法则，则二、由参数方程确定的函数的导数(3-2)二、由参数方程确定的函数的导数【例例4242】二、由参数方程确定的函数的导数【例例4343】二、由参数方程确定的函数的导数【例例4444】三、相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x与y之间存在某种关系,则它们的变化率与之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题就是研究两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.注注三、相关
23、变化率【例例4545】设气体以100cm3/min的速率充入球状的气球，求在半径为10cm时，气球半径增加的速率(设气体压力不变).解设在时刻t气球的体积为V，半径为r,则函数的微分及其应用函数的微分及其应用第 五 节第五节函数的微分及其应用前面介绍的导数是描述函数在某点处的变化率.有时还需要考虑某点处当自变量有较小改变时，函数值相应的增量大小，而要精确计算函数值的增量往往很复杂，于是引入微分的概念.一、引例引列引列1 1求自由落体运动中，物体由时刻t到t+t所经过路程的近似值.一、引例v分分析析自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=12gt2，当时间从t到t+t时，路程s有相应的增量上式中
24、，gtt是t的线性函数，12g(t)2是当t0时比t高阶的无穷小.因此，当|t|很小时，可以把12g(t)2忽略，而得到路程增量的近似值sgtt.一、引例引列引列2 2一块正方形均匀铁板(见图3-5)，受热膨胀后边长由x0变到x0+x，问面积y改变了多少？图图 3-5 3-5一、引例v分分析析分析设此铁板的边长为x,则面积y是x的函数：y=x2.铁板受温度变化影响时，面积的增量可以看成是当自变量x自x0取得增量x时,函数y相应的增量y,即y=x0+x2-x20=2x0x+x2.上式中，2x0x是x的线性函数，它是y的主要部分；y的另一部分是x2，它是y的次要部分，当x很小时，x2比2x0x要小
25、得多，也就是说，当x很小时，面积增量y可以近似地用2x0x表示，即y2x0x,一、引例由此式作为y的近似值，略去的部分x2是比x高阶的无穷小.这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系上却具有相同的特点：函数的增量可以表示成两部分，一部分为自变量增量的线性函数，另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶的无穷小.据此特点，便形成了微分的概念.二、微分的定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+x在这区间内,如果函数的增量y=f(x0+x)f(x0)可表示为y=Ax+o(x),其中A是与x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称Ax为函数y=f(x)在点x0处相应于自
26、变量增量x的微分,记为dyx=x0,即dyx=x0=Ax.下面讨论可微与可导之间的关系.二、微分的定义定理定理7 7函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处可导，且当f(x)在点x0可微时，其微分dyx=x0=f(x0)x.证必要性.函数y=f(x)在点x0处可微,即y=Ax+o(x)，有二、微分的定义【例例4646】求函数y=1+3x2在x=1,x=0.01时的增量及微分.函数y=fx在任意点x的微分，称为函数的微分，记为dy或df(x)，即dy=f(x)x.为了统一记号，通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记为dx，即dx=x，于是函数y=fx的微分又可记
27、为dy=fxdx.二、微分的定义【例例4747】三、微分的几何意义下面我们来讨论微分的几何意义，这样大家能对微分有比较直观的了解.在直角坐标系中，已知曲线y=f(x)及其上一点M(x0,y0)和邻近点N(x0+x,y0+y)，由图3-6可见图图 3-6 3-6三、微分的几何意义MQ=x,QN=y，过点M作曲线的切线MT交QN于点P，它的倾角为，则QP=MQtan=f(x0)x，即dy=QP.由此可见，当自变量有增量x时，y=f(x)在点x0处的微分dy等于曲线在点M(x0,y0)处的切线的纵坐标的改变量.四、微分基本公式及运算法则由微分定义知，函数的微分是函数的导数f(x)乘以自变量的微分dx
28、，所以只要把导数表中的导数运算公式都乘以dx，就得到相应函数的微分表和微分的运算法则.四、微分基本公式及运算法则微分公式表微分公式表1.四、微分基本公式及运算法则微分的四则运算法则微分的四则运算法则2.四、微分基本公式及运算法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则3.与复合函数的求导法则相对应的复合函数的微分法则可推导如下.若u=(x)在点x处可导，y=f(u)在点u处可导，则dy=fuxdx=fudx=fudu.由此可见，对于y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分总保持同一形式dy=f(u)du，这一性质称为微分形式不变性.有时，利用微分形式不变性求复合函数的微
29、分比较方便.四、微分基本公式及运算法则【例例4848】y=cos(3x22)，求dy.解把3x22看成是中间变量u，则dy=d(cosu)=sinudu=sin(3x22)d(3x22).又由于d(3x22)=6xdx，所以有dy=6xsin(3x22)dx.四、微分基本公式及运算法则【例例4949】y=(a2x2)2，求dy.解把a2x2看成中间变量u，则dy=2udu=4x(a2x2)dx.【例例5050】四、微分基本公式及运算法则【例例5151】y=eaxcosbx，求dy.解dy=cosbxdeax+eaxd(cosbx)=acosbxeaxdxbeaxsinbxdx=eax(acos
30、bxbsinbx)dx.四、微分基本公式及运算法则【例例5252】在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.五、微分在近似计算中的应用这里只介绍微分在近似计算中的应用.我们知道，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么当x0时，函数的改变量y与微分dy只相差一个x高阶无穷小，因此，当精度要求不太高时，可用dy代替y作近似计算，即y=f(x0+x)f(x0)dy=f(x0)x(|x|很小)或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x.五、微分在近似计算中的应用如记x=x0+x，则有f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)(|x|很小).这个近似公式可以用来求解函数的近似值.只有f(x0)和f(x0)都容易计算，且x充分靠近x0时，我们才能采用此方法：用x的线性函数f(x0)+f(x0)(xx0)来近似求f(x).下面我们给出几个求函数近似值的实例.五、微分在近似计算中的应用【例例5353】利用微分计算cos3030的近似值.五、微分在近似计算中的应用【例例5454】计算31.02的近似值.解令f(x)=31+x,x=0.02，由近似公式五、微分在近似计算中的应用【例例5555】一个直径为10cm的金属球，球壳厚度为0.01cm，试求球壳体积的近似值.感谢聆听批评指导
