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1、第八章 参数估计8.1 估计量的优劣标准8.2 获得估计量的方法点估计8.3 区间估计研究参数估计，要解决两个方面的问题：1.怎样估计参数，即用什么样的办法对参数进行估计；2.对估计出的参数值用什么标准衡量其优劣程度。参数估计的概念参数估计的概念 定义定义 设总体X X的的分布函数F(F(x; ; ) )的形式为已的形式为已知知, , 。其中为未知参数, 为参数空间, , X X1 1， ， X Xn n是总体X X的一个样本，若统计量f(Xf(X1 1， ， X Xn n) )可作为 的一个估计,则称其为的一个估计量，记为注：注：X X的分布函数的分布函数F(xF(x; ; ) )也可用分布
2、律或密度函数代替.若x1， ， xn是样本的一个观测值。在不致混淆的情况下统称估计量与估计值为估计估计8.1 估计量的优劣标准（一一） 一致估计一致估计 定义8.1 一致性是对于极限性质而言的，它只在样本容量较大时才起作用。（二）无偏估计（二）无偏估计例1 从总体中 取一样本（ X1, ,Xn ），E = ,D = 2 , 试证样本平均数 分别是及2的无偏估计。证 样本均值X是的无偏估计。S2是2的无偏估计如果从总体中随机取出两个相互独立的样本（ X11 , ,X1n1 ）及（X21 , ,X2n2），则可以证明分别是总体中和2的无偏估计量。其中， 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而
3、且无偏性仅仅表明所有可能取的值按概率平均等于，可能它取的值大部分与相差很大。为保证的取值能集中与附近，自然要求的方差越小越好。（三）有效估计由定义可知，一个无偏估计量取的值是在可能范围内最密集与未知参数的真值 附近摆动。定义8.3 设和都是的无偏估计，若样本容量为 n, 的方差小于的方差，则称是比有效的估计量。如果在的一切无偏估计量中, 的方差达到最小，则称为的有效估计量。实际上，样本平均数X是总体期望值的有效估计量。例2 比较总体期望值的两个无偏估计的有效性。解：利用不等式8.2 获得估计量的方法点估计 点估计就是以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值的一种估计方法若x x1 1， ，
4、 x xn n是样本的一个观测值。 由于f (x1， ， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计 ， 故称这种估计为点估计点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估极大似然估计法计法。( (一）矩估计法（简称一）矩估计法（简称“矩法矩法”） 关键点关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即2.约定：若 是未知参数的矩估计，则f()的矩估计为f( ), 矩法是求估计量的最古老的方法。具体的做法是：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。常用的是用样本平均数 估计总体期望值 。例1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命实验，得数据
5、如下（单位：小时）问该天生产的灯泡平均寿命是多少？ 矩法比较直观，求估计量有时也比较直接，但它产生的估计量往往不够理想。1050110010801120120012501040113013001200解 计算出X1147，以此作为总体期望值的估计。（二）最大似然估计法（二）最大似然估计法1、最大似然思想、最大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.2,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？ 一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大
6、的那一个。这就是最大似然最大似然思想思想 最大似然法是要选取这样的，当它作为 的估计值时，使观察结果出现的可能性最大。设为连续性随机变量，它的分布函数是F(x;),概率密度是 其中是未知参数，可以是一个值，也可以是一个向量。由于样本的独立性，则样本对于连续型的随机变量就是估计概率密度中的。对于离散型的随机变量就是估计概率函数中的参数；的联合概率密度联合概率密度是对每一个取定的样本值 是常数，L是参数 的函数，称L为样本的似然函数（如果 是一个向量，则L 是多元函数）。设为离散型随机变量，有概率函数 则似然函数定义8.4 如果 在 处达到最大值，则称是 的最大似然估计。式子右边的表示函数关系。问
7、题是如何把的最大似然估计求出来，由于 L与L同时达到最大值，故只需求 L的最大值点即可。 与样本有关，它是样本的函数，即如果是一个向量，即 一般情况下， L在最大值点 的一阶偏导数等于0，即 是上面方程组的解。要求最大似然估计，首先要解这个似然方程组。考虑方程组：1.设总体设总体X为离散型随机变量，它的分布律为为离散型随机变量，它的分布律为现有样本观察值x1,x2,xn,其中xi取值于xi, i=1,2问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计?例例5.设设X1， ， Xn为取自参数为为取自参数为 的泊松分的泊松分布布总体的样本，求总体的样本，求 的极大似然估计的极大似然估计2.设总体X
8、为连续型随机变量，概率密度(x; )现有样本观察值x1,x2,，xn,问：问：根据极大似然思想，如何用根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计估计?2、似然函数与极大似然估计、似然函数与极大似然估计为该总体的似然函数。为该总体的似然函数。3、求极大似然估计的步骤、求极大似然估计的步骤(1) 做似然函数做似然函数(2) 做对数似然函数做对数似然函数(3) 求导数，列似然方程求导数，列似然方程若该方程有解，则其解就是的最大似然估计。(4) 解似然方程解似然方程例例6 6：设X X1 1， ， X Xn n为取自 N(,2 ) 总体的样本，求参数 ,2 的极大似然估计。例2 已知为 的一组样本观
9、察值，求的最大似然估计。解 似然函数 解似然方程 x 就是 的最大似然估计。例3 某电子管的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布（概率密度见例2），今抽取一组样本，其具体数据如下；问如何估计 ？162950681001301402702803404104505206201902108001100解 根据例2的结果，参数用样本平均数估计为的估计值。为的一组样本观察值，用最大似然估计法估计 的值。解例4 已知服从正态分布解似然方程组解似然方程组P164 2、3、47、8、11、15、16、198.3 3 区间估计区间估计 P P157157一、概念一、概念 定义：定义： 设总体X的分布
10、函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1, , Xn确定的两个统计量 使则称随机区间随机区间 为的置信度置信度为1的的置信区置信区间间注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。估计未知参数所在的范围估计未知参数所在的范围的方法称为区间估计的方法称为区间估计单正态总体参数的区间估计单正态总体参数的区间估计1、 2已知，估计已知，估计/2/21-可取(1-)1-的置信度为1的置信区间为注：注：的1置信区间不唯一。都是的1置信区间.但可以证明=1/2时区间长最短. (1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含要求仅含待估参数且分布已知待估参数且分布已知； (2)令该函数落在由分位点
11、确定的区间里的概率为给定的置信度1 ，要求要求区间按几何对称或概区间按几何对称或概率对称；率对称； (3)解不等式得随机的置信区间； (4)由观测值及 值查表计算得所求置信区间。求正态总体参数置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间的解题步骤：例2 若灯泡寿命服从正态分布N( ,8),从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时）试估计平均寿命所在范围（a=0.05）.1050110010801120120012501040113013001200解：已知总体方差2，估计总体期望对于给定的，查表确定解：已知总体方差2，估计总体期望对于给定的0.05，查表确定根据样本值计算的置信度为1
12、- 0.95的置信区间是 （1145.25，1148.75）例例3 3 已知某炼铁厂的铁水中含碳量在正常情况下服从正态分布，其方差2 = 0.1082 .现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.按此资料计算该厂铁水平均含碳量的置信区间，并要求有95% 的可靠性。解：已知总体方差2，估计总体期望对于给定的置信系数1-0.95，查表确定根据样本值计算的置信系数为1- 0.95的置信区间是（4.413，4.555） 2、总体方差、总体方差 2未知，估计期望未知，估计期望的1置信区间为1-即得即得/2/2例4 假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名婴儿，测其体重为3100，252
13、0，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试以0.95的置信系数估计新生婴儿的平均体重（单位：g） 解: 方差 2未知，估计 的置信区间对于给定的，查表确定的置信度为0.95置信区间是根据样本值计算：对于给定的置信系数1-0.95，查表确定3 3、单正态总体方差的置信区间、单正态总体方差的置信区间假定假定 未知，估计未知，估计2s2的置信度为1的置信区间为例5 根据例4测的数据对新生男婴儿体重的方差进行区间估计（=0.05）. 解: 未知，估计方差 2的置信区间对于给定的0.05，查表确定则s2的置信度为1的置信区间为（70752，405620）4 4、双正态总体均值差的置信区间、双正态总体均值差的置信区间可解得 1 1- - 2 2 的置信区间5 5、双正态总体方差比的置信区间双正态总体方差比的置信区间假定假定 1， 2未知未知一、点估计：1.矩法估计2.最大似然估计 二、区间估计1.已知总体方差2 ，估计期望2.未知总体方差2 ，估计期望3.未知总体期望，估计方差2 4、双正态总体均值差的置信区间5、双正态总体方差比的置信区间小结小结
