《解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例_高等教育-微积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例_高等教育-微积分（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料 欢迎下载 解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法及其 MATLAB 简单实例 欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程( 即初值问题) 求解 分为前进 EULER 法、后退 EULER 法、改进的 EULER 法。 缺点： 欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。 改进欧拉格式： 为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。 算法为： 微分方程的本质特征是方程中含有导数项， 数值解法的第一步就是设法消除其导数值。 对于常
2、微分方程： xa,b y(a) = y0 可以将区间a,b 分成 n 段，那么方程在第 xi 点有 y(xi) = f(xi,y(xi)，再用向前差商近似代替导数则为： 在这里，h 是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据 xi 点和 yi 点的数值计算出 yi+1 来： i=0,1,2,L 这就是向前欧拉格式。 改进的欧拉公式： 将向前欧拉公式中的导数 f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即 精品资料 欢迎下载 上式便是梯形的欧拉公式。 可见， 上式是隐式格式， 需要迭代求解。 为了便于求解， 使用改进的欧拉公式： 数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta ）是用于模拟常微分方
3、程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。 实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。 龙格-库塔方法的基本思想： 在区间xn,xn+1 内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。 龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。 令初值问题表述如下。 则，对于该问题的 RK4由如下方程给出： 其中 这样，下一个值(yn+1) 由现在的值(yn) 加上时间间隔(h) 和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均： 题求解分为前进法后退法改进的法缺点欧拉
4、法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算当步数增多时误差会因积累而越来越大因此欧拉格式一般不用于实际计算改进欧拉格式为提高精度需要在欧拉格式的基础上进行改进采用导数项数值解法的第一步就是设法消除其导数值对于常微分方程可以将区间分成段那么方程在第点有用向前差商近似代替导数则为在这里是步长即相邻两个结点间的距离因此可以根据点和点的数值计算出来这就是向前欧拉格式改进上式是隐式格式需要迭代求解为了便于求解使用改进的欧拉公式数值分析中龙格库塔法是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法实际上龙格库塔法是欧拉方法的一种推广向前欧拉公式将导数项简单取为而改进的欧精品资料 欢迎下载 k1 是时间
5、段开始时的斜率； k2 是时间段中点的斜率， 通过欧拉法采用斜率 k1 来决定 y 在点 tn + h/2的值； k3 也是中点的斜率，但是这次采用斜率 k2 决定 y 值； k4 是时间段终点的斜率，其 y 值用 k3 决定。 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。 注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量) 都适用。 例子： 下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。 其中 y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4 级 4 阶龙格-库塔公式及精确解。 h=0.1; x=0:h:1; y1=
6、zeros(size(x); y1(1)=1; y2=zeros(size(x); y2(1)=1; y3=zeros(size(x); y3(1)=1; for i1=2:length(x) y1(i1)=y1(i1-1)+h*(y1(i1-1)-2*x(i1-1)/y1(i1-1); k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1); k2=y2(i1-1)+h*k1-2*x(i1)/(y2(i1-1)+h*k1); y2(i1)=y2(i1-1)+h*(k1+k2)/2; k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1); k2=y2(i1-1)+h*k1/2-2
7、*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k1/2); k3=y2(i1-1)+h*k2/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k2/2); 题求解分为前进法后退法改进的法缺点欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算当步数增多时误差会因积累而越来越大因此欧拉格式一般不用于实际计算改进欧拉格式为提高精度需要在欧拉格式的基础上进行改进采用导数项数值解法的第一步就是设法消除其导数值对于常微分方程可以将区间分成段那么方程在第点有用向前差商近似代替导数则为在这里是步长即相邻两个结点间的距离因此可以根据点和点的数值计算出来这就是向前欧拉格式改进上式是隐式格式需要迭
8、代求解为了便于求解使用改进的欧拉公式数值分析中龙格库塔法是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法实际上龙格库塔法是欧拉方法的一种推广向前欧拉公式将导数项简单取为而改进的欧精品资料 欢迎下载 k4=y2(i1-1)+h*k3-2*(x(i1-1)+h)/(y2(i1-1)+h*k3); y3(i1)=y3(i1-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6; end y4=sqrt(1+2*x); %plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) %legend(y1,y2,y3,y4) plot(x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3) legend(y1,y2,y
9、3) 题求解分为前进法后退法改进的法缺点欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算当步数增多时误差会因积累而越来越大因此欧拉格式一般不用于实际计算改进欧拉格式为提高精度需要在欧拉格式的基础上进行改进采用导数项数值解法的第一步就是设法消除其导数值对于常微分方程可以将区间分成段那么方程在第点有用向前差商近似代替导数则为在这里是步长即相邻两个结点间的距离因此可以根据点和点的数值计算出来这就是向前欧拉格式改进上式是隐式格式需要迭代求解为了便于求解使用改进的欧拉公式数值分析中龙格库塔法是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法实际上龙格库塔法是欧拉方法的一种推广向前欧拉公式将导数项简单取为而改进的欧
