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1、第四章第四章 函数的连续性函数的连续性4.1 连续性概念连续性概念 连续函数的性质连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 4.24.1连续性概念连续性概念一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该
2、区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,例例3 3证证例例4 证明证明 证证只须证明只须证明二、函数的间断点二、函数的间断点1.在x0 及其附近定义;2.极限存在1.跳跃间断点跳跃间断点例例5 5解解2.可去间断点可去间断点例例6 6解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点3.第二类间断点第二类间断点例例7 7解解第一类间断点第
3、二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义、值太高值太高、值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀, ,不好不好! !有个有个洞洞, , 还没有还没有支撑支撑， 我掉下去了我掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.哎呀哎呀, ,不好不好! !有个有个洞洞, , 还没有还没有支撑支撑， 我掉下去了我掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀, ,太高太高了了! !够够不着，又
4、有个不着，又有个洞洞, , 我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀, ,太低太低了了! !跳跳不上去，唉，只不上去，唉，只能在下面呆着了能在下面呆着了! 注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀, ,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊， 我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点. 这点放哪儿能接上呢？哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未
5、知世界去了！这种间断点称为无穷间断点：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例9 9解解例例10 讨论讨论若有若有间断点判别其类型，并作出图形间断点判别其类型，并作出图形解解三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.(见下图见下图)第第一一类类间间断断点点oyx可去型可去型oyx跳跃型跳跃型第第二二类类间间断断点点oyx无穷型无穷型oyx振荡型振荡型思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但
