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1、复变函数论复变函数论湖南第一师范学院数理系湖南第一师范学院数理系Functions of one complex variable1第二章第二章 解析函数解析函数1.解析函数的概念解析函数的概念 与柯西与柯西黎曼方程黎曼方程2.初等解析函数初等解析函数3.初等多值函数初等多值函数21.解析函数的概念与柯西解析函数的概念与柯西-黎曼方程黎曼方程1.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分 设函数设函数w=f(z)定义域区域定义域区域D, z0为为D中中的一点，点的一点，点z0+z不出不出D的范围的范围. 那么就称函数那么就称函数w=f(z)在在 z0可导，这个可导，这个极限值称为极限值称为f(z
2、)在在z0的导数值的导数值.记作记作3在定义中应注意在定义中应注意: 即即z0+z在区域在区域D内以任何方式趋于内以任何方式趋于z0时，比值时，比值都趋于同一个常数都趋于同一个常数. 如果函数如果函数w=f(z)在区域在区域D内处处可导内处处可导, 我们就称我们就称f(z)在区域在区域D内可导内可导.4例例1 求函数求函数 f (z) = z2 的导数的导数.解解 5解解例例2 讨论讨论 f (z)=Im z 的可导性的可导性.6 当点沿不同的方向使当点沿不同的方向使z0时，极限时，极限值不同值不同.故故 f (z)=Im z 在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导.72 可导与连续可导与连
3、续 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一处一定连续定连续, 但函数但函数 f(z) 在在 z0 处连续不一处连续不一定在定在 z0 处可导处可导.证证使得当使得当 时有时有 由在由在 z0 处可导的定义，处可导的定义，8则则 因为因为所以所以 即函数即函数 f (z) 在在 z0 处一定连续处一定连续.令令 93.求导法则求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中一样, 因
4、而实变函数中的求导法则因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.(c为复常数为复常数).10114.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致元实变函数的微分概念完全一致.定义定义 设函数设函数f (z) 在在z0可导，则可导，则 线性主要部分线性主要部分 叫做叫做f(z)在在z0处处的微分，记作的微分，记作12特别地特别地, 当当 f (z) = z 时，时， 函数函数w =f (z) 在在z0可导与在可导与在z0可微是等价的可
5、微是等价的. 如果函数如果函数w=f(z)在区域在区域D内处处可微内处处可微, 我们就称我们就称f(z)在区域在区域D内可微内可微.132. 解析函数的概念解析函数的概念 定义定义 如果函数如果函数f (z) 在在z0及及z0的邻域内的邻域内处处可导，那么称处处可导，那么称f (z) 在在z0解析解析. 点点z0叫叫做做f (z) 的解析点的解析点. 如果函数如果函数f(z)在区域在区域D内处处解析内处处解析, 我我们就称们就称f(z)在区域在区域D内解析内解析.或称或称f(z)是区域是区域D内的解析函数内的解析函数(全纯函数、正则函数全纯函数、正则函数). 一个解析函数的所有解析点的集合一个
6、解析函数的所有解析点的集合是一个开集是一个开集. 14 根据定义可知根据定义可知: 函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是等价的是等价的. 但是但是, 函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处一点处可导可导是不等价的概念是不等价的概念. 即函数在一点处可即函数在一点处可导导, 不一定在该点处解析不一定在该点处解析. 函数在函数在一点处解析一点处解析比在比在该点处可导该点处可导的要求要高得多的要求要高得多. 定义定义 如果函数如果函数f (z) 在在z0不解析，但不解析，但在在z0的任意邻域内总有解析点，那么称的任意邻域内总有解析点，那么称点点z0为为f (z) 的
7、的奇点奇点.15解解 由例由例1和例和例2知知:例例3 讨论函数讨论函数 f (z) = z2 、 g (z)=Im z 、h(z)=|z|2 的解析性的解析性.函数函数 f (z) = z2 在复平面上处处解析在复平面上处处解析.函数函数 g (z)=Im z在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.16 令令z0+z沿直线沿直线y-y0=k(x-x0)趋向于趋向于z0 ,时，时， 时，时，17不趋向于一个固定的常数，不趋向于一个固定的常数，这时这时 不存在，不存在， 因此因此h(z) = |z|2 仅在一点仅在一点z = 0处可导，处可导，从而在复平面上处处不解析从而在复平面上处处不解析.
8、18解解例例4研究函数研究函数 的解析性的解析性. 所以该函数在复平面上除所以该函数在复平面上除 z = 0 外处外处处解析，处解析， z = 0 是它的奇点是它的奇点.193. Cauchy-Riemann方程：方程：20证明证明 (必要性必要性)：设设f (z)在在z=x+iy 处可导，记处可导，记 由导数定义可得由导数定义可得 21证明证明(充分性充分性) :所以所以 即即 f(z) 在在 z=x+iy 处可导处可导.22 和数学分析中的结论不同，此定理表和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数明解析函数(可导函数可导函数)的实部和虚部不是的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西完全独立
9、的，它们是柯西-黎曼方程的一组黎曼方程的一组解；解； 柯西柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；条件而非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式解析函数的导数有更简洁的形式：23复变函数的解析条件复变函数的解析条件 1.实部实部u(x,y)和虚部和虚部v(x,y)在区域在区域D内处内处处可微；处可微； 定理定理2.4 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为 2.实部实部u(x,y)和虚部和虚部v(x,y)在区域在区域D满足满足柯西柯西-黎曼方程黎曼方程24反例：反例：定义定义
10、u(x,y)、v(x,y)如下：如下： 令令f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在点，则在点z=0满足满足: 但但u(x,y)与与v(x,y) 在点在点z=0不连续，故不连续，故f(z)在点在点z=0不连续，从而不可导不连续，从而不可导.2526例例1 讨论下列函数的可导性和解析性讨论下列函数的可导性和解析性: 所以所以C-R方程在整个复平面上不成立，方程在整个复平面上不成立，从而从而w = Re z 在整个复平面上不可导，即在整个复平面上不可导，即处处不解析处处不解析.272829303132本讲结束本讲结束33作作 业业Page 90 习题习题: 2, 6(2), 8(1)(2).34
