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1、第第4 4章章 概率基础概率基础宁波大学商学院 数学定律不能百分之百确切地用在现实生活里；能百分之百确切地用数学定律描述的，就不是现实生活 AlberEinstein统计名言本章主要内容推断统计学的理论基础1概率的基本概念概率的基本概念2随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3随机变量的数值特征和独立性随机变量的数值特征和独立性4大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理中奖的可能性有多大？ 很多想在彩票市场上赚大钱，这可以理解，但赢得大奖的人总是少数。山东的一打工者为了碰运气，半个小时花去了1000元钱，买了500张即开型福利彩票，结果也没撞上大奖。有人曾做过统计，最赚钱的彩票，中彩的概
2、率最高是500万分之一，有的达到1000万分之一甚至更低。假定每张彩票面值是2元，大奖的奖金额是500万元，中将概率是500万分之一，你花掉1000万元购买500万张彩票，即使中了500万的大奖，你仍然亏损500万。况且，从概率的意义上看，即使你购买500万张彩票，也不能肯定就中大奖。法国人就有这样的俗语：“中彩的机会比空难还少。”对于多数人来说，彩票只是一种数字游戏，是社会筹集闲散资金的一种方式，而不是一种投资，更不是赌博。相信有了本章介绍的概率方面的知识，你就不会再跟彩票较劲。1 概率的基本概念概率的基本概念l 随机事件与事件域随机事件与事件域l事件发生的频率事件发生的频率l事件发生的概率
3、事件发生的概率l条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性随机试验(Random experiment)(Random experiment)为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。这些试验都具有以下的特点：可重复性：可重复性：可在相同条件下重复进行可预知性：可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定 所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试
4、验的所有可能结果；随机性：随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种 结果出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机随机试验试验(Random experiment)，表示，表示为为E事件（Event)Event)必然事件必然事件 ：某件事情在一次试验中一定发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同张，其中有两张花色是不同” 就是必然事件。就是必然事件。不可能事件不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。就是不可能事件。
5、随机事件随机事件（A,B,C,) ：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生 如：如：“掷一枚硬币，出现正面朝上掷一枚硬币，出现正面朝上” “扔一枚骰子，出现扔一枚骰子，出现6点点”“掷得1点”“掷得2点”“掷得3点”“掷得4点”“掷得5点”“掷得6点”“掷得奇数”“掷得偶数”基本事件基本事件（ ）：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件一般的事件由基本事件复合而成。 例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种基本事件复合事件 例：对于试验E： 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记“正面”为H， “反面”为T， 则基本事件有：HHH, HHT,
6、 HTH, THH，HTT，THT，TTH ， TTT 随机事件： A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 样本空间样样本点本点：随机试验E的每一个可能结果样样本空本空间间：样本点的全体，即随机试验E的所有可能结果组成的集合，记为 。例：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：“正面向上”，“反面向上”两个，则样本空间为：事件可以看作是样本空间的子集事件可以看作是样本空间的子集 事件事件A不发生不发生 不是不是A中的点中的点事件事件A发生发生 是是A中
7、的点中的点事件事件A 子集子集A A基本事件、样本点基本事件、样本点 点（元素）点（元素）不可能事件不可能事件 空集空集必然事件、样本空间必然事件、样本空间 空间空间概率论解释概率论解释集合论解释集合论解释符号符号事件间的关系与运算（1）事件的包含与相等）事件的包含与相等若若“A发发生必生必导导致致B发发生生”记为记为若若,则则称称事事件件A与与B相等相等,记为记为A=B.（2）事件的和（并）事件的和（并）“事件事件A与与B至少有一个至少有一个发发生生”,记记作作AB（3）事件的）事件的积积事件事件A与与B同同时发时发生，生，记记作作ABABn个事件个事件A1,A2,An同时发生，记同时发生，
8、记作作 A1A2An （4）事件的差）事件的差事件事件A发发生而生而B不不发发生生,记为记为AB（5）互斥事件）互斥事件若事件若事件A与与B不能同不能同时发时发生生,即即AB=,则则称事件称事件A与与B互互斥斥,或互不相容或互不相容 （6）逆事件）逆事件设设 A， B为为 两两 事事 件件 ,若若AB=且且AB=,则则称称事事件件A与与B互互为为逆逆事事件件或或对对立事件立事件.记记作作，称称为为B是是A的的对对立事件立事件A事件的运算律 在在进进行事件的运算行事件的运算时时，经经常要用到下述定律，常要用到下述定律，设设A，B，C为为事件，事件，则则有有（1）交）交换换律：律：AB=BA，AB
9、=BA（2）结结合律：合律：A(BC)=(AB)C=ABCA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：）分配律：A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)=ABAC（4）摩根律：）摩根律：AB=AB、AB=AB事件的频率(Frequency)(Frequency) 定义：定义：定义：定义：设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中为其中 任一事件，任一事件，在相同条件下，把在相同条件下，把E E独立的重复做独立的重复做n次，次，nA表示事表示事件件A在这在这n次试验中出现的次数次试验中出现的次数( (即频数即频数) )。 比值比值 称为事件称为事件A在这在这n次试验中出现的频率次
10、试验中出现的频率(Frequency).(Frequency).频率的性质非非负负性：性：0fn(A)1；规规范性：范性：fn()1，fn()=0；可加性：若可加性：若AB，则则fn(AB)fn(A)fn(B).稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率. 实践证明：频率稳定于概率（1 1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。硬币时，出现正反面的机会均等。（2）男女性）男女性别别比率比率稳稳定于定于0.51一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从
11、人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.51。人口普查人口普查总人数（亿）总人数（亿）男性人数男性人数比例比例第一次（第一次（1953）5.823.020.518第二次（第二次（1964）6.953.570.513第三次（第三次（1982）10.085.190.515第四次（第四次（1990）11.345.850.516第五次（第五次（2000）12.666.530.516概率( (probabilityprobability) )1. 1.设设有有随随机机试试验验，若若当当试试验验的的次次数数充充分分大大时时，事事件件的的发发生生频频率率稳稳定定在在某某数数附附近近摆摆
12、动动，则则称称该该数数为为事事件件的的概概率率(Probability)(Probability)，记为，记为P P( (A A) )：注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 概率的统计定义只是描述性的。 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值（monto calo方法的基本思想）概率的性质概率概率P P( (A A) )的取值范围的取值范围1)必然事件必然事件B一定一定发发生生,则则P(B)=12)不可能事件不可能事件C一定不一定不发发生生,则则P(C)=03)随机事件随机事件A发发生的概率生的概率为为0P(
13、A)14)若若AB,则则P(A)P(B)概率的运算: 1.互补事件的概率如如果果今今天天下下雨雨的的概概率率是是10，则则今今天天不不下下雨雨的的概概率率就就是是90。如如果果你你中中奖奖的的概概率率是是0.0001，那那么么不不中中奖奖的的概概率率就就是是10.0001=0.9999。这这种种如如果果一一个个不不出出现现，则则另另一一个个肯肯定定出出现现的的两两个个事事件件称称为为互互补补事事件件（complementaryevents，或或者者互互余余事事件件或或对立事件对立事件）。）。概率的运算: 1.互补事件的概率按按照照集集合合的的记记号号，如如果果一一个个事事件件记记为为A，那那么
14、么另另一一个个记为记为A（称为（称为A的余集或补集）。的余集或补集）。显显然然互互补补事事件件的的概概率率之之和和为为1，即即P(A)+P(A)=1，或或者者P(A)1P(A)。在在西西方方赌赌博博时时常常常常爱爱用用优优势势或或赔赔率率（odds）来来形形容容输赢的可能。输赢的可能。它它是是互互补补事事件件概概率率之之比比，即即P(A)/P(A)P(A)/1-P(A)来表示。来表示。概率的运算: 2.概率的加法如如果果两两个个事事件件不不可可能能同同时时发发生生，那那么么至至少少其其中中之之一一发生的概率为这两个概率的和。发生的概率为这两个概率的和。比比如如“掷掷一一次次骰骰子子得得到到1或
15、或者者2点点”的的概概率率是是“得得到到1点点”的概率与的概率与“得到得到2点点”的概率之和，即的概率之和，即1/6+1/6=1/3。概率的加法公式概率的加法公式 ( ( 互斥事件时同时发生的概率互斥事件时同时发生的概率) )当事件当事件A与与B互斥互斥时时,AB发发生的概率生的概率为为P(AB)=P(A)+P(B)P(C)=p(AB)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3C=ABAB概率的运算: 2.概率的加法再再假假定定掷掷骰骰子子时时，一一个个事事件件A为为“得得到到偶偶数数点点”（有有3种种可可能能：2、4、6点点），另另一一个个事事件件B为为“得得到到大大于于或或等等于于3点点
16、”（有（有4种可能：种可能：3、4、5、6点）；点）；这这样样，事事件件A的的概概率率显显然然等等于于3/6=1/2，即即P(A)=1/2。而事件而事件B的概率为的概率为P(B)=4/6=2/3。但但是是，“得得到到大大于于或或等等于于3点点或或者者偶偶数数点点”的的事事件件的的概概率率就不是就不是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了；了；概率的运算: 2.概率的加法这显然多出来了。概率怎么能够大于这显然多出来了。概率怎么能够大于1呢？呢？按按照照中中学学时时关关于于集集合合的的记记号号，该该事事件件称称为为A和和B的的并并，记记为为AB。刚刚才才多多出出来来的的部部分分就就是是A和和
17、B的的共共同同部部分分AB（称为（称为A和和B的交）的概率（这个概率算了两遍）；的交）的概率（这个概率算了两遍）；它它为为“得得到到既既是是偶偶数数，又又大大于于等等于于3”的的部部分分，即即4和和6两两点。出现事件点。出现事件4或者或者6的概率为的概率为1/6+1/6=1/3。概率的运算: 2.概率的加法于于是是应应该该把把算算重重了了的的概概率率减减去去。这这样样“得得到到大大于于或或等等于于3点点或或者者偶偶数数点点”的的事事件件AB的的概概率率就就是是P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+2/3-1/35/6。这这种种P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)的的公公式式也也
18、适适用用于于两两个个不不可可能能同同时时发发生生的的事事件件；但但因因为为那那时时P(AB)=0，所所以以只只剩剩下下P(AB)P(A)+P(B)了。了。这这种种交交等等于于空空集集（AB=F F，这这里里F F表表示示空空集集或或空空事事件件）的的事事件件为为两两个个不不可可能能同同时时发发生生的的事事件件，称称为为互互不不相相容容事事件件（mutuallyexclusiveevents）。概率的运算: 3.概率的乘法如如果果你你有有一一个个固固定定电电话话和和一一个个手手机机，假假定定固固定定电电话话出出毛毛病病的的概概率率为为0.01，而而手手机机出出问问题题的的概概率率为为0.05，那
19、么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？那么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？0.010.05=0.0005但但是是这这种种乘乘法法法法则则，即即P(AB)P(A)P(B)，仅仅仅仅在在两个事件两个事件独立独立(independent)时才成立。时才成立。概率的运算: 3.概率的乘法如如果果事事件件不不独独立立则则需需要要引引进进条条件件概概率率(conditionalprobability)。比比如如三三个个人人抽抽签签，而而只只有有一一个个人人能能够够抽抽中中，因因此此每每个人抽中的机会是个人抽中的机会是1/3。假假定定用用A1、A2和和A3分分别别代代表表这这三三个个人人抽抽中中的的事事
20、件件，那么，那么，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3。概率的运算: 3.概率的乘法但是由于一个人抽中，其他人就不可能抽中，但是由于一个人抽中，其他人就不可能抽中，所以，这三个事件不独立。刚才的乘法规则不成立；所以，这三个事件不独立。刚才的乘法规则不成立；这这时时，P(A1A3)P(A1A2)P(A2A3)0；如如错错误照搬乘法规则会得到错误的误照搬乘法规则会得到错误的(1/3)2=1/9。概率的运算: 3.概率的乘法但但是是可可以以计计算算条条件件概概率率，比比如如第第一一个个人人抽抽到到（事事件件A1），则则在在这这个个条条件件下下其其他他两两个个人人抽抽到到的的概概率率都都为为0；
21、记为；记为P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。如如第第一一个个人人没没有有抽抽到到（事事件件A1），那那么么其其他他两两人人抽抽到的概率均为到的概率均为1/2，记为，记为P(A2|A1)=P(A3|A1)=1/2。概率的运算: 3.概率的乘法一一般般地地，在在一一个个事事件件B已已经经发发生生的的情情况况下下，事事件件A发发生的条件概率定义为（贝叶斯公式）生的条件概率定义为（贝叶斯公式）概率计算的实例（1）如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张扑克牌中随机抽取一张张,那么取到红心那么取到红心(事件事件A)的概率是的概率是1/4,取到方片取到方片(事件事件B)的概
22、率为的概率为1/4.问问:(1)取到红色牌取到红色牌(事件事件C)的概率是多少的概率是多少?(2)取到黑色牌取到黑色牌(事件事件D)的概率是多少的概率是多少?解解:(1)因为因为C=AB，且，且A与与B不会同时发生，不会同时发生，所以所以A与与B是互斥事件。是互斥事件。根据概率的加法公式，得根据概率的加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=1/2（2）同理）同理C与与D也是互斥事件，又也是互斥事件，又CD为必然为必然事件，故事件，故C与与D为对立事件。所以，为对立事件。所以，P(D)=1-P(C)=1/2概率计算的实例（2）从字母从字母a,b,c,d,e中任意取出两个不同字母，中任意取出两个
23、不同字母，（1）试列出所有可能的情况？）试列出所有可能的情况？（2）同时取到）同时取到a,b的概率有多大？的概率有多大？解解（1）所有可能的情况有：）所有可能的情况有：a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,ed,e共有共有10种种（2）所有情况是等可能的）所有情况是等可能的,都是都是1/10，故取到故取到a,b的概率为的概率为1/10概率计算的实例（3）在在110这这10个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被）取到的数能被2或或3整除的概率，整除的概率，（2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2也不能被也不能被3整除的概率，整除的概率，（3
24、）取到的数能被）取到的数能被2整除而不能被整除而不能被3整除的概率。整除的概率。解解:设设A=“取到的数能被取到的数能被2整除整除”;B=“取到的数能被取到的数能被3整除整除”。则则P(A)=1/2P(B)=3/10P(AB)=1/10(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10(2)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5古典概率“古典概古典概型型”是最是最简单简单、最直、最直观观的概率模型。的概率模型。定定义义：若某：若某实验实验E满满足：足：1.有限性有限性：样样本空本空间间1,2,n2.等可能性等可能性：P(1)=P(2)=P(n)。则则称称E为
25、为古典概型也叫等可能概型。古典概型也叫等可能概型。设设在古典概型中，在古典概型中，试验试验E共有共有n个基本件，个基本件，事件事件A包含了包含了m个基本事件，个基本事件，则则事件事件A的概率的概率为为例：任意投例：任意投掷掷两枚均匀的硬两枚均匀的硬币币，求，求A“恰好恰好发发生生一个正面向上一个正面向上”的概率。的概率。解：解：试验试验的所有的所有结结果：果：（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）根据硬根据硬币币的均匀性、的均匀性、对对称性、抛的任意性，四种称性、抛的任意性，四种结结果具有果具有等可能性，等可能性，这这是一个古典概型。是一个古典概型。A
26、（正、反）（反、正）（正、反）（反、正）所以，概率所以，概率P=2/40.5例：有三个子女的家庭，例：有三个子女的家庭，设设每个孩子是男是女的每个孩子是男是女的概率相等，概率相等，则则至少有一个男孩的概率是多少至少有一个男孩的概率是多少?解：解：设设H=“某个孩子是男孩某个孩子是男孩”，A=“至少有一个男孩至少有一个男孩”试验试验所有所有结结果果为为：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT事件事件A=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT从而，从而，n=8，m=7P(A)=m/n=7/8几何概型1.几何概型几何概型：若一个：若一个试验试验具有两个特征：具
27、有两个特征：（1）每次）每次试验结试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的果有无限个，且全体可以用一个有度量的几何区域来表示几何区域来表示（2）每次）每次试验试验的各种的各种结结果等可能的。果等可能的。则则称称这样这样的的试验试验是几何概型。是几何概型。2.几何概率几何概率：设设几何概型的几何概型的样样本空本空间间可表示成有度量的区可表示成有度量的区域，域，记为记为，事件，事件A所所对应对应的区域的区域记为记为A，则则定定义义事件事件A的的概率概率为为：例：某人例：某人发现发现他的表停了，他打开收音机想听他的表停了，他打开收音机想听电电台台报时报时，试试求它等待的求它等待的时间时间不超不超过
28、过10分分钟钟的概率。的概率。解：因解：因为电为电台每隔台每隔60分分钟钟(即即1小小时时)报时报时一次一次,因此，可因此，可认认为为此人打开收音机的此人打开收音机的时时刻刻处处在在0，60上任何一点都是等可上任何一点都是等可能的，其能的，其样样本点有无限多个，本点有无限多个，样样本空本空间间就是区就是区间间=0，60。设设事件事件A=“等待等待时间时间不超不超过过10分分钟钟”，则导则导致事件致事件A发发生的生的样样本点是打开收音机的本点是打开收音机的时时刻刻处处于区于区间间50，60上的上的任一点。任一点。这这个区个区间长间长度度为为10(单单位位:分分)。而。而的的长长度度为为60(单单
29、位位:分分)。由几何概率的定。由几何概率的定义义，条件概率引例 思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红红球，十人依次从袋中各取一球球，十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问问：第一个人取得第一个人取得红红球的概率是多少？球的概率是多少？第二个人取得第二个人取得红红球的概率是多少？球的概率是多少？若已知第一个人取到的是若已知第一个人取到的是红红球，球，则则第二个人第二个人取到取到红红球的概率又是多少？球的概率又是多少？条件概率已知事件已知事件A发发生的条件下，事件生的条件下，事件B发发生的概率称生的概率称为为A条件下条件下B的条件概率的条件概率，记记作
30、作P(B|A)定定义义：设设A、B为为两个事件，且两个事件，且P(B)0，则则事件事件B已已经发经发生的条件下，事件生的条件下，事件A发发生的条件概率生的条件概率P(B|A)定定义为义为：例：甲乙两市都位于例：甲乙两市都位于长长江下游，根据一百多年来的气象江下游，根据一百多年来的气象记记录录知道一年中雨天的比例占知道一年中雨天的比例占20，乙市占，乙市占14，两地同，两地同时时下雨占下雨占12，试试求：求：（1）甲市下雨的条件下，乙市出）甲市下雨的条件下，乙市出现现雨天的概率雨天的概率（2）乙市出）乙市出现现雨天的条件下，甲市下雨的概率雨天的条件下，甲市下雨的概率（3）甲市或乙市下雨的概率）甲
31、市或乙市下雨的概率解：解：记记A=“甲市出甲市出现现雨天雨天”，B=“乙市出乙市出现现雨天雨天”根据根据题题意，意，P(A)=0.20，P(B)=0.14，P(AB)=0.14从而，在乙市下雨的条件下，甲市有从而，在乙市下雨的条件下，甲市有85.7的可能要下雨，的可能要下雨，可能性很大。可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携携带带雨具。雨具。例例设设某种某种动动物物由由出生起活出生起活20岁以上的概率为岁以上的概率为80%，活，活25岁以上的概率为岁以上的概率为40%.如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物，问岁
32、的这种动物，问它能活它能活25岁以上的概率？岁以上的概率？解：解：设设事件事件A=能活能活20岁以上岁以上；事件事件B=能活能活25岁以上岁以上。由条件概率定由条件概率定义义乘法公式设设A、B，P（A）0,则则P(AB)P(A)P(B|A).上上式式就就称称为为事事件件A、B的的概概率率乘乘法公式。法公式。上式上式还还可推广到三个事件的情形：可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)例例在一批由在一批由90件正品，件次品件正品，件次品组组成的成的产产品中品中,
33、不不放回接放回接连连抽取两件抽取两件产产品，品，问问第一件取正品，第二件第一件取正品，第二件取次品的概率。取次品的概率。解解设设事件事件A=第一件取正品第一件取正品；事件事件B=第二件取次品第二件取次品。由乘法公式由乘法公式事件的独立性设设A，B是两个事件，一般而言是两个事件，一般而言，这这表示事件表示事件B的的发发生生对对事件事件B的的发发生概率有影响，生概率有影响，只有当只有当P(B)P(B|A)时时才可以才可以认为认为A的的发发生与否生与否对对B的的发发生毫无影响，生毫无影响，这这是就称两事件是独立的。是就称两事件是独立的。这时这时，由条件概率可知，由条件概率可知，例例：两两门门高射炮彼
34、此独立的射高射炮彼此独立的射击击一架一架敌敌机，机，设设甲甲炮炮击击中中敌敌机的概率机的概率为为0.9，乙炮，乙炮击击中中敌敌机的概率机的概率为为0.8，求，求敌敌机被机被击击中的概率？中的概率？解解设设A=甲炮甲炮击击中中敌敌机机，B=乙炮乙炮击击中中敌敌机机，因因为为A与与B相互独立，所以，有相互独立，所以，有2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布随机变量的概念随机变量的概念随机变量的概率分布随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布随机变量(random variables)(random variables)
35、1.事先不知道会出现什么结果投掷两枚硬币出现正面的数量一座写字楼，每平方米的出租价格一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好 2.一般用 X，Y，Z 来表示3.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量(discrete random variables)(discrete random variables)1.随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2，2.以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查100100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个
36、月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾顾客数客数销销售量售量顾顾客性客性别别0,1,2, ,1000,1,2, ,1000,1,2, 0,1,2, 0,1, 2,0,1, 2,男性男性为为0, 0,女性女性为为1 1离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示X=xix1，x2 ，xnP(X =xi)=pip1，p2 ，pn离散型随机变量的概率分布4.P P( (X X = =x xi i)=)=p pi i称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数5.常用的有几何分布、常用的有几何
37、分布、0-10-1分布、超几何分布、二项分布等分布、超几何分布、二项分布等例例：一一部部电电梯梯在在一一周周内内发发生生故故障障的的次次数数X X及及相相应应的的概率如下表概率如下表离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 故障次数X=xi0 01 12 23 3概率P(X=xi) pi0.100.100.250.250.350.35 (1) (1) 确定确定 的的值值 (2) (2) 求正好求正好发发生两次故障的概率生两次故障的概率 (3)(3)最多最多发发生二次故障的概率生二次故障的概率 (4) (4)求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 解
38、：解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1 所以， =0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X1)=0.35+0.30=0.65二项试验(Bernoulli(Bernoulli试验试验) ) 1.二项分布建立在Bernoulli试验基础上2.贝努里试验满足下列条件一一次次试试验验只只有有两两个个可可能能结结果果，即即“成成功功”和和“失败失败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一一次次试试验验“成成功功”的的概概率率为为p ，失失败败的的概概率率为为q =1-p，且概率且概率p对
39、每次试验都是相同的对每次试验都是相同的试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可以重复进行可以重复进行n次次在在n次次试试验验中中，“成成功功”的的次次数数对对应应一一个个离离散散型随机变量型随机变量X二项试验(Bernoulli(Bernoulli试验试验) )下面试验可看成为下面试验可看成为Bernoulli试验：试验：每一个进入某商场的顾客是否购买某商品每一个进入某商场的顾客是否购买某商品每个被调查者是否认可某种产品每个被调查者是否认可某种产品每一个新出婴儿的性别。每一个新出婴儿的性别。根根据据这这种种简简单单试试验验的的分分布布，可可以以得得到到基基于于这这个个试试验的更加复杂事件的概
40、率。验的更加复杂事件的概率。二项分布(Binomial distribution)(Binomial distribution)1. 1.重重复复进进行行n次次Bernoulli试试验验，出出现现“成成功功”的的次次数数的概率分布称为二项分布，记为的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p)2. 2.设设X为为n 次次重重复复试试验验中中出出现现成成功功的的次次数数，X取取x的的概率为概率为二项分布 (例题分析) 例例例例：已已已已知知知知一一一一批批批批产产产产品品品品的的的的次次次次品品品品率率率率为为为为4%4%，从从从从中中中中任任任任意意意意有有有有放放放放回回回回地地地地抽抽抽抽取取
41、取取5 5个。求个。求个。求个。求5 5个产品中个产品中个产品中个产品中(1)(1)没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？ (2)(2)恰好有恰好有恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？ (3)(3)有有有有3 3个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？ 二项分布 ( (用用ExcelExcel计计算概率算概率)第第1 1步：步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第第2 2步步：在【选选择择类类别别】中点击【
42、统统计计】，并在【选选择择函函数数】 中点击【BINOMDIST】，然后单击【确定】第第3 3步：步：在【Number_sNumber_s】后填入试验成功次数(本例为1) 在【TrialsTrials】后填入总试验次数(本例为5) 在【Probability_sProbability_s】后填入试验的成功概率(本例为 0.04) 在【CumulativeCumulative】后填入0(0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值) 超几何分布(hypergeometric distribution)(hyperg
43、eometric distribution)1.采用不不重重复复抽抽样样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等2.总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布3.概率分布函数为超几何分布 (例题分析)例例例例：假假定定有有10支支股股票票，其其中中有有3支支购购买买后后可可以以获获利利，另另外外7支支购购买买后后将将会会亏亏损损。如如果果你你打打算算从从10支支股股票票中中选选择择4支支购购买买，但你并不知道哪但你并不知道哪3支是获利的，哪支是获利的，哪7支是亏损的。求支是亏损的。求(1)有有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？支能获利的
44、股票都被你选中的概率有多大？(2)3支可获利的股票中有支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？支被你选中的概率有多大？ 解：解：解：解：设设N N= =1010，MM=3=3，n n=4=4超几何分布 (用Excel计算概率)第第1 1步：步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第第2 2步步：在【选选择择类类别别】中点击【统统计计】，并在【选选择择函函数数】 中点击【 HYPGEOMDISTHYPGEOMDIST】，然后单击【确定】第第3 3步：步：在【Sample_s Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3) 在【Number_sampleNumbe
45、r_sample】后填入样本容量n(本例为4) 在【Population_sPopulation_s】后填入总体中成功的次数M(本例 为3) 在【Number_popNumber_pop】后填入总体中的个体总数N (本例为10)泊松分布(Poisson distribution)(Poisson distribution)1.1837年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出 2.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布3.泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大
46、损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数 泊松分布(概率分布函数) 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数泊松分布 (例题分析)例例例例：假假定定某某航航空空公公司司预预订订票票处处平平均均每每小小时时接接到到42次次订订票票电电话话，那那么么10分分钟钟内内恰恰好好接接到到6次次电电话话的的概概率率是多少？是多少？ 解：解：解：解：设设X X= =1010分钟内航空公司预订票处接到的电话次数分钟内航空公司预订票处接到的电话次数 泊松分布 (用
47、Excel计算概率)第第1 1步：步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第第2 2步步：在【选选择择类类别别】中点击【统统计计】，并在【选选择择函函数数】 中点击【POISSONPOISSON 】，然后单击【确定】第第3 3步：步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6) 在【MeansMeans】后填入泊松分布的均值 (本例为7) 在【CumulativeCumulative】后填入0 0( (或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)连续型随机变量(continuous random v
48、ariables(continuous random variables)1.通俗的讲,连续型随机变量就是取值可以值可以连续地充满某个区间的随机变量. 2.所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点3.连续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查一批一批电电子元件子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长长度度使用寿命使用寿命(小小时时)半年后完工的百分比半年后完工的百分比测测量量误误差差(cm)X 00 X 100X 0连续型随机变量的概率分布1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特
49、定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率5.用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述连续变量的分布想想象象连连续续变变量量观观测测值值的的直直方方图图；如如果果其其纵纵坐坐标标为为相相对对频频数数，那那么么所所有有这这些些矩矩形形条条的的高高度度和和为为1；完完全全可可以重新设置量纲，使得这些矩形条的面积和为以重新设置量纲，使得这些矩形条的面积和为1。不不断断增增加加观观测测值值及及直直方方图图的的矩矩形形条条的的数数目目，直直方方图图就会越来越像一条光滑曲线，其下面的面积和为就会越来越像一条光滑曲线，其下面的面积和为1。该该曲曲线线即即所所谓谓
50、概概率率密密度度函函数数(probability densityfunction，pdf)，简简称称密密度度函函数数或或密密度度。下下图图为为这这样样形成的密度曲线。形成的密度曲线。逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。类似的密度曲线。 连续变量的分布连连续续变变量量落落入入某某个个区区间间的的概概率率就就是是概概率率密密度度函函数数的的曲曲线线在在这这个个区区间间上上所所覆覆盖盖的的面面积积；因因此此，理理论论上上，这个概率就是密度函数在这个区间上的积分。这个概率就是密度函数在这个区间上的积分。 定定义义对对于随机于随机变变量量X，若存在非，
51、若存在非负负函数函数f(x)，(- x+ )，使，使对对任意任意实实数数x，都有，都有则则称称X为连续为连续型随机型随机变变量，量，f(x)为为X的的概率密度函概率密度函数数，简简称概率密度或密度函数称概率密度或密度函数.常常记为记为Xf(x),(- x+ )连续型随机变量的密度函数概率密度函数的性质 (1) 非非负负性性f(x) 0，(- x )；(2)归归一性一性这这两两条条性性质质是是判判定定一一个个函函数数f(x)是是否否为为某某个个随随机机变变量量X的的概概率率密密度度函函数数的的充充要要条条件件.(3)X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率1注意注意对于任意可能值对于任意可能值a
52、 ,连续型随机变量取连续型随机变量取a 的概率等于零的概率等于零.即即连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关由此可得由此可得这是因为这是因为常用连续型概率分布1.由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出正态分布(normal distribution)(normal distribution)Carl Friedrich GaussBorn:30Apr.1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Fe
53、b.1855inGttingen,Hanover(nowGermany)正态分布(normal distribution)(normal distribution)2 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布, ,例如例如：测量测量误差误差, , 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; ;正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸: :直径、长度、重量直径、长度、重量、高度高度等都近似服从正态分布等都近似服从正态分布. .概率密度函数f(x) = 随机变量 X 的频数 = 正态随机变量X的均值 = 正态随机变量X的方差 = 3.14159
54、26; e = 2.71828x = 随机变量的取值 (- x 0）的泊松分布，求）的泊松分布，求它的数学期望它的数学期望解：解：由于由于，k=0，1，2，因而因而离散型随机变量的方差(variance)(variance)1.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或D(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为4.方差的平方根称为标准差，记为 或 D(X)离散型数学期望和方差 (例题分析) 例例：一一家家电电脑脑配配件件供供应应商商声声称称，他他所所提提供供的的配配件件100个个中中拥拥有有次次品品的的个个数数及及概概率率如如下下表表。求求该该供供应应商
55、次品数的数学期望和商次品数的数学期望和标标准差。准差。次品数X=xi0 01 12 23 3概率P(X=xi) pi0.750.750.120.120.080.080.050.05解：解：连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的期望值2.方差例例：某种化合物的某种化合物的pHpH值值X是一个随机变量，它的概是一个随机变量，它的概率密度是率密度是 求求pHpH值值X的数学期望的数学期望E( (X). ). 解：解： 几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在的，下面来计算它们的数学期望的，下面来计算它们的数学期望 例例：设设随机随机变变量量X服从服从(
56、a，b)上的均匀分布，求上的均匀分布，求E(X) 解：解：由于均匀分布的概率密度为由于均匀分布的概率密度为 例例：设设随机随机变变量量X服从参数服从参数为为 （ 0）的指数分布，）的指数分布，求求E(X) 解：解：由于指数分布的概率密度为由于指数分布的概率密度为 因而因而例例：设设随机随机变变量量X服从正服从正态态分布分布,求求E(X)解：解：因为因为是必然事件，所以是必然事件，所以例：已知在a,b上服从均匀分布，即 ，解求 .因为，即 的密度函数为 所以 例例:设设随机随机变变量量X服从指数分布，其概率密度服从指数分布，其概率密度为为求求Var(X).解解：0-1分布 设 服从0-1分布，则
57、 二项分布 设 ，则 泊松分布 设 ，则 均匀分布 设 ，则 正态分布 设 ，则 特别地，当特别地，当 时，时， 协方差记记记记随机随机随机随机变变变变量量量量X X、Y Y的期望分的期望分的期望分的期望分别别别别是是是是E E( (X X)=)=mm1 1, ,E E( (Y Y)=)=mm2 2X X的方差是的方差是的方差是的方差是( (X X- -mm1 1) )与与与与( (X X- -mm1 1) )的乘的乘的乘的乘积积积积的期望，即的期望，即的期望，即的期望，即V(V(X X)=E()=E(X X- -mm1 1)( )(X X- -mm1 1) )数学期望数学期望数学期望数学期望
58、E E( (X X- -EXEX)( )(Y Y- -EYEY) )称称称称为为为为随机随机随机随机变变变变量量量量X X与与与与Y Y的的的的协协协协方差方差方差方差，记记记记做：做：做：做：COV(COV(X X) )。相关系数当比当比较较两个随机两个随机变变量的离散程度量的离散程度时时常用相关系数常用相关系数.注：注：相关系数是刻划相关系数是刻划线性相关线性相关的程度的程度.4 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律大数定律中心极限定理与正态逼近中心极限定理与正态逼近大数定律的定义大数定律的定义Def.一、大数定律一、大数定律定理（定理（契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）契
59、比雪夫契比雪夫注解注解Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia关于定理的说明关于定理的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数.定理的另一种叙述定理的另一种叙述:伯努利伯努利定理（定理（伯努利大数定律伯努利大数定律）Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in B
60、asel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明: 故而当故而当n很大很大时时,事件事件发发生的生的频频率与概率有率与概率有较较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小.在在实际应实际应用中用中,当当试验试验次数次数很大很大时时,便可以用事件便可以用事件发发生的生的频频率来代替事件的率来代替事件的概率概率.二、中心极限定理二、中心极限定理定理（定理（林德贝格林德贝格-列维列维中心极限定理中心极限定理）定理表明定理表明:中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后
61、面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实. 例：例：设设某种某种电电器元件的寿命服从均器元件的寿命服从均值为值为100小小时时的指的指数分布，数分布，现现随机取得随机取得16只，只，设设它它们们的寿命是相互的寿命是相互独立的独立的,求求这这16只元件的寿命的只元件的寿命的总总和大于和大于1920小小时时的概率。的概率。感谢欣赏GONGWEINBU.EDU.CNGONGWEINBU.EDU.CN
