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1、第第2章函数章函数2.1函数的概念函数的概念2.1.1函数的概念和图象函数的概念和图象第第1课时函数的概念课时函数的概念1.函数的概念定义:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记法:从A到B的一个函数通常记为y=f(x),xA.交流交流1如何理解符号“y=f(x)”?提示符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,也可以是图象、表格或文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一个具体数值时,相
2、应的y值与之对应.“y=f(x)”仅仅是函数符号,还可用“y=g(x)”“y=F(x)”“y=G(x)”等来表示函数关系.2.函数的定义域、值域定义域:在函数y=f(x),xA中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域.值域:若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.交流交流2求下列函数的定义域和值域:提示(1)定义域:(-,0)(0,+),值域:(-,0)(0,+);(2)定义域:1,+),值域:3,+).3.函数的三要素包括函数的定义域、值域和对应法则.交流交流3定义域和值域都相同的函数是同一
3、函数吗?提示定义域和值域分别相同的两个函数,它们不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数y=x+1与y=x-1,其中定义域都是R,值域都是R,也就是说,这两个函数的定义域和值域都分别相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一函数.由于值域可以由定义域和对应法则唯一确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.典例导学即时检测一二三一、函数的概念下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是().(导学号51790028)C.f(x)=1,g(x)=1(x0)D.f(x)=x-1,g(x)=|x-1|思路分析只有当
4、两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,即定义域不同,两个函数不同;对应法则不同,两个函数也不同.答案:B典例导学即时检测一二三解析:若两个函数能表示同一个函数,则必须满足:(1)定义域相同;(2)对应法则相同.对于A,两函数的定义域不同,其中f(x)的定义域为x|xR,g(x)的定义域为x|x0;对于B,定义域、值域和对应法则都相同,所以f(x)与g(x)表示同一函数;对于C,定义域不同,其中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x0;D的对应法则不同.典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三解(1) 定义域中不含元素0,g(x)=1的定义域为R,所以两个函
5、数的定义域、对应法则均不同.故不是同一函数.(2)f(x)=x0的定义域为x|x0,而g(x)=1的定义域为R,它们的定义域不同,不是同一函数.(3)虽然两个函数的自变量一个用x表示,一个用t表示,但它们的定义域、对应法则相同,所以是同一函数.(4)f(x)的定义域与g(x)的定义域不同,故不是同一函数.典例导学即时检测一二三(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后,其值域随之确定,所以两个函数当且仅当定义域和对应法则都相同时,才为同一函数.(2)讨论函数是否为同一函数时,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应法则是否相同,若对应法则不同,也不是同
6、一函数.典例导学即时检测一二三思路分析给定函数时,要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三一般地,求函数的定义域要用到以下结论:(1)解析式是整式的函数,其定义域为R;(2)解析式是分式的函数,其定义域为使分母不为零的实数的集合;(3)解析式是偶次根式的函数,其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合;(4)如果解析式是由实际问题得出的,则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合.典例导学即时检测一二三三、求函数的值域求下列函数的值域: (
7、导学号51790030)(1)y=2x+1,x1,2,3,4;(2)y=1-x2;思路分析求函数值域就是求函数值的取值集合.根据解析式的不同特点,采用不同的方法来求解,但需注意的是在求值域前一定要求定义域.典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三1.求函数值域的常用方法:(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;(2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;(4)换元法:即运用新
8、元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.2.求值域时应注意的事项:(1)求值域时,一定要注意定义域对值域的影响.(2)在利用换元法求解函数的值域时,一定要注意换元后新元取值范围的变化.典例导学即时检测1234561.对于函数y=f(x),以下说法中正确的有().y是x的函数;对于不同的x,y的值也不同;f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B解析:依据函数定义知正确;因为函数可以多个变量对应一个函数值,故错.典例导学即时检测123456典例导学即时检测123456A.2,+)B.2,3)C.(-,3)(3,+)D.2,3)(3,+)答案:D典例导学即时检测123456典例导学即时检测1234565.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为.答案:0,-1,3解析:分别将定义域中的元素代入求得函数的值域.典例导学即时检测123456
