矢量场的旋度

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1、1.3 矢量场的旋度矢量场的旋度一、矢量的环流：1 、定义：、定义：线在在矢量矢量 的场中，矢的场中，矢量量 沿某一闭合路径沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环流。沿此闭合路径的环流。环量是一个标量；可正、可负。2 、有旋场、有旋场、无旋场无旋场（保守场）：（保守场）： 在某一矢量在某一矢量 的场中，的场中，矢量矢量 沿沿任意任意闭合路径的线闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场积分，恒等于零，则该矢量场为为无旋场无旋场；反之，为；反之，为有旋场有旋场。二、旋度：二、旋度：1 、环流密度：、环流密度：v 在矢量场在矢量场 中来研究其中来研究其 M点的性点的性质

2、，取包含此点的一个面元质，取包含此点的一个面元 ，其，其边界为边界为 C，保持面元保持面元 的的 方向不方向不变，而变，而 以以任意方式任意方式趋近于零。则趋近于零。则环流密度环流密度环量环量线线环量面密度环量面密度v 讨论：讨论： 与与 的边界的边界 C 保持一致，保持一致，取最大值取最大值 与与 有一夹角有一夹角 ，则，则 v 当当 ， 时，（有旋矢量场时，（有旋矢量场 与面元与面元 的法向分量的法向分量 垂直），垂直），环流密度有最大值环流密度有最大值，此即被，此即被称为称为 的的旋度旋度大小；大小； 的方向就称为的方向就称为 旋度的方旋度的方向。向。与与 不在同一平面上不在同一平面上2

3、、旋度的定义：、旋度的定义：矢量矢量 的旋度的旋度。记作。记作故故即即任意方向的环流密度任意方向的环流密度、旋度的物理意义、旋度的物理意义 旋度的计算旋度的计算 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数；，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度； 在直角坐标系下：在直角坐标系下：故故例：求矢量场例：求矢量场 在在点点 M（1，0，1）处的旋度及沿处的旋度及沿方向的方向的环流密度环流密度。解：矢量场解：矢量场 的旋度的旋度在点在点 M（1，0，1）处的旋度处的旋度在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流

4、密度三、矢量场旋度的重要性质旋度的散度恒旋度的散度恒等于零。等于零。证明：证明： 旋旋度与散度的度与散度的定义都与坐标系无关。定义都与坐标系无关。应用：应用：斯托克斯定理：斯托克斯定理：证明：证明：将将 S 分成许多面元分成许多面元其其相应面元的边界为相应面元的边界为对每对每一个面元一个面元 ，其边界，其边界 的环绕方向的环绕方向均取与大回路均取与大回路 C一致的环绕方向。一致的环绕方向。则：相邻两面元则：相邻两面元 、 的边界的边界 、 在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。又又故故证毕证毕例例1.4 已知已知 。现有一个在。现有一个在 面内的面内的闭合路径闭合路径C，此闭合路径由，此闭合路径由 和和 之间的一段抛物之间的一段抛物线线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。求：（求：（1 1）矢量场的）矢量场的A A旋度；旋度； （2 2）计算环流）计算环流 。积分区域。积分区域为如图所示的闭合路径为如图所示的闭合路径C C； （3 3）验证斯托克斯定理。）验证斯托克斯定理。解 （1）（2）（3）斯托克斯定理成立。