2.4.2 抛物线的几何性质 梁2.4.2 抛物线的几何性质 梁

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1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形，探的标准方程和图形，探索其几何性质索其几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0，yR关于关于x轴对称，对称轴又叫抛物线的轴轴对称，对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点，原点（抛物线和它的轴的交点，原点（0，0）。）。(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径始终为常数始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+

2、p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2p例题解析例题解析例例1. 抛物线顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且抛物线顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且过点过点M(2, ),求它的标准方程，并画出草图。求它的标准方程，并画出草图。当焦点在当焦点在x(y)轴上，开口方向不定时，设方程轴上，开口方向不定时，设方程为为y2=mx(m 0)(x2=my (m0)，可避免讨论。，可避免讨论。例例2. 斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F，且与抛物线相交于且与抛物线相交于A，B两点，求线段两点，求线段AB的长。的长。y2 = 4x焦点弦的长度焦点弦的长度方程方程图图形形范围范围

3、对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点特点1. 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；无限延伸，但它没有渐近线；2. 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3.抛物线只

4、有一个顶点、一个焦点、一条准线；抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；4.抛物线的离心率是确定的，为抛物线的离心率是确定的，为1；5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响。对抛物线开口的影响。P越大，开口越开阔越大，开口越开阔例例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径已知灯的圆的直径60cm，灯深为，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。求抛物线的标准方程和焦点位置。所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是 解解:如图，在探照灯的轴截面所在平面内建

5、立直如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点即抛物线的顶点)与原点重合，与原点重合，x轴垂直于灯口直径。轴垂直于灯口直径。设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 . 由已知条由已知条件点件点A (40,30)，代入方程得，代入方程得:焦点坐标是焦点坐标是 yOxBA例例5. 求证求证: : 以抛物线的焦点弦为直以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切径的圆与抛物线的准线相切. .A1M1B1AXyOFBlM练习练习:1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为y2 = 8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.课堂小结课堂小结1.1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质: :范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径、焦半径、焦点弦离心率、通径、焦半径、焦点弦; ;2.2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题。程、焦点坐标及解决其它问题。