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1、人教版高二数学推理与证明解读内容结构内容结构推理与证明推理与证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳类比类比直接证明直接证明间接证明间接证明综合法综合法分析法分析法数学归纳法数学归纳法反证法反证法思维方法思维方法数学文化数学文化推理推理证明证明考试大纲考试大纲2、能力要求、能力要求（1）思思维维能能力力：会会对对问问题题或或资资料料进进行行观观察察、比比较较、分分析析、综综合合、抽抽象象与与概概括括；会会用用类类比比、归归纳纳和和演演绎绎进进行行推推理理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。能合乎逻辑地、准确地进行表述。 数数学学是是一一门门思思维维的的科科学学，思思维维能能力力是是数数学学学学
2、科科能能力力的的核核心心。数数学学思思维维能能力力是是以以数数学学知知识识为为素素材材，通通过过空空间间想想象象、直直觉觉猜猜想想、归归纳纳抽抽象象、符符号号表表示示、运运算算求求解解、演演绎绎证证明明和和模模式式构构建建诸诸方方面面，对对客客观观事事物物中中的的空空间间形形式式、数数量量关关系系和和数数学学模模式式进进行行思思考考和和判判断断，形形成成和和发发展展理理性性思思维，构成数学能力的主体。维，构成数学能力的主体。 （5）创新意识：它是理性思维的最高层次表现。对数学问）创新意识：它是理性思维的最高层次表现。对数学问题的题的“观察、猜测、抽象、概括、证明观察、猜测、抽象、概括、证明”，
3、是发现问题和解决，是发现问题和解决问题的重要途径。问题的重要途径。 推推理理与与证证明明贯贯穿穿于于高高中中数数学学的的整整个个体体系系，它它的的学学习习是是新新课课标标教教材材的的一一个个亮亮点点，是是对对以以前前所所学学知知识识与与方方法法的的总总结结、归归纳纳，并并对对后后继继学学习习起到引领的作用。起到引领的作用。地位与作用地位与作用 合情推理合情推理 合合情情推推理理是是根根据据已已有有的的事事实实和和正正确确的的结结论论（包包括括定定义义、公公理理、定定理理等等）、实实验验和和实实践践的的结结果果，以以及及个个人人的的经经验验和和直直觉觉等等推推测测某某些些结结果果的的推推理理过过
4、程程。归归纳纳、类类比比是是合合情情推推理理常常用用的的思维方法思维方法。 推理过程为推理过程为:从具体问从具体问题出发题出发 观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想 归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想类比类比:由两类对象具有某些类似特征和其中一由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征类对象的某些已知特征,推出另一类也具推出另一类也具 有这些特征的推理有这些特征的推理。归纳归纳: 由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理征的推理, 或者由个别事实概括出一般结或者由个
5、别事实概括出一般结 论的推理。论的推理。归纳是部分到整体、个别到一般的推理。归纳是部分到整体、个别到一般的推理。类比是特殊到特殊的推理。类比是特殊到特殊的推理。类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算律(交换律和结合律)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程 有唯一解乘法的逆运算是除法,使得方程 有唯一解单位元例：类比实数的加法和乘法例：类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质。列出它们相似的运算性质。l 演绎推理演绎推理 演演绎绎推推理理是是根根据据已已有有的的事事实实和和正正确确的的结结论论（包包括括定定义义、公公理理、定定理理等等），按按照照严格的逻辑法则得到
6、新结论的推理过程。严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。例例 大前提大前提:马有四条腿马有四条腿;小前提小前提:白马是马白马是马;结论结论:白马有四条腿白马有四条腿.它是从一般到特殊的推理它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提、推出结论的三段论式推理是由大前提、小前提、推出结论的三段论式推理.用三段论证明用三段论证明三段论证明中需注意事项三段论证明中需注意事项:1、证明过程应表述清楚，防止随心所欲；、证明过程应表述清楚，防止随心所欲；2、避免大前提、小前提或推理形式之一错误，、避免大前提、小前提或推理形式之一错误， 而导致结论错误。而导致结论错误。例：
7、例：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形而菱形是所有边长都相等的凸多边形, 小前提小前提所以菱形是正多边形所以菱形是正多边形. 结论结论（1）上面的推理形式正确吗？）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？）推理的结论正确吗？为什么？l合情推理与演绎推理的作用合情推理与演绎推理的作用 合合情情推推理理具具有有猜猜测测和和发发现现新新结结论论、探探索索和和提提供供解解决决问问题题的的思思路路和和方方法法的的作作用用；演演绎绎推推理理则则具具有有证证明明结结论论，整整理理和和建建构构知知识识体体
8、系系的的作作用用，是是公公理理体体系系中中的的基本推理方法。基本推理方法。l合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系 合合情情推推理理和和演演绎绎推推理理之之间间联联系系紧紧密密、相相辅辅相相成成。数数学学中中数数学学结结论论、证证明明思思路路等等的的发发现现，主主要要靠靠合合情情推推理理；而而证证明明数数学学结结论论、建建立立数数学学体体系系主主要要通通过过演演绎绎推推理理, ,数数学学结结论论的的正正确确性性必必须须通通过过逻逻辑辑证证明明来来保保证证，即即在在前前提提正正确确的的基基础础上上，通通过过正确使用推理规则得出结论。正确使用推理规则得出结论。课标要求课标要求（1）合情推
9、理与演绎推理）合情推理与演绎推理 了了解解合合情情推推理理的的含含义义，能能利利用用归归纳纳和和类类比比等等进进行行简简单单的的推推理理，体体会会并并认认识识合合情情推推理理在在数数学学发发现现中的作用中的作用. 体体会会演演绎绎推推理理的的重重要要性性，掌掌握握演演绎绎推推理理的的基基本本方方法法和和一一般般方方法法，并并能能运运用用它它们们进进行行一一些些简简单单的的推理推理. 了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别. 二、省教学指导意见解读二、省教学指导意见解读（2）直接证明与间接证明）直接证明与间接证明 了了解解直直接接证证明明的的两两种种基基
10、本本方方法法：分分析析法法和和综综合合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。 了了解解间间接接证证明明的的一一种种基基本本方方法法反反证证法法；了了解反证法的思考过程与特点。解反证法的思考过程与特点。（3）数学归纳法）数学归纳法 (选修选修2-2) 了了解解数数学学归归纳纳法法的的原原理理，能能用用数数学学归归纳纳法法证证明明一一些简单的数学命题。些简单的数学命题。（4）数学文化）数学文化 通通过过对对实实例例的的介介绍绍（如如欧欧几几里里得得几几何何原原本本、马马克克思思资资本本论论、杰杰弗弗逊逊独独立立宣宣言言、牛牛顿顿三三定律），体会公理化思想。
11、定律），体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。基本要基本要求求1了解合情推理的含了解合情推理的含义、结构、和基本构、和基本类型。型。2结合已学合已学过的数学的数学实例和生活中的例和生活中的实例，了解合情推理的含例，了解合情推理的含义，能利用能利用归纳和和类比等比等进行行简单的推理，体会并的推理，体会并认识合情推理在数学合情推理在数学发现中的作用。中的作用。3结合已学合已学过的数学的数学实例和生活中的例和生活中的实例，体会演例，体会演绎推理的重要推理的重要性，掌握演性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它推理的基本模式，并能运用它
12、们进行一些行一些简单推理；推理；4通通过具体具体实例，了解合情推理和演例，了解合情推理和演绎推理之推理之间的的联系和差异。系和差异。发展要求1、了解不完全、了解不完全归纳法，并根据不完全法，并根据不完全归纳法猜想一些法猜想一些结论2、了解一般意、了解一般意义下的下的类比与比与归纳3、能回、能回顾整理一些已学的典型数学整理一些已学的典型数学结论说 明类比推理注意避免比推理注意避免“机械机械类比比”，即，即仅从表面相似或偶然相似的情况从表面相似或偶然相似的情况进行行类比。比。导致致错误。利用合情推理开展一些数学探究。利用合情推理开展一些数学探究。省教学指导意见解读省教学指导意见解读合情推理与演绎推
13、理基本基本要求要求1了解直接了解直接证明的两种基本方法：分析法明的两种基本方法：分析法和和综合法；了解分析法与合法；了解分析法与综合法的思考合法的思考过程与特点。程与特点。2了解了解间接接证明的一种基本方法明的一种基本方法反反证法；了解反法；了解反证法的思考法的思考过程与特点。程与特点。发展展要求要求了解了解综合法和分析法、比合法和分析法、比较法、反法、反证法的法的联系和区系和区别，了解放，了解放缩法。法。说 明明 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2 23 3数学数学归纳法法( (选修选修2-2)2-2)基本基本要求要求1了解数学了解数学归纳法的原理，法的原理，2能用数学能用数学归纳法法
14、证明一些明一些简单的数学命的数学命题发展展要求要求1了解其它数学了解其它数学归纳法的原理法的原理2灵活掌握数学灵活掌握数学归纳法在解决法在解决较复复杂的与自的与自然数然数n有关命有关命题中的中的应用。用。说 明明让学生学生经历 归纳、猜想、猜想、证明的数学探究明的数学探究过程程 通通过过对对已已学学知知识识的的回回顾顾，进进一一步步体体会会合合情情推推理理、演演绎绎推推理理以以及及二二者者之之间间的的联联系系与与差差异异；体体会会数数学学证证明明的的特特点点，了了解解数数学学证证明明的的基基本本方方法法，包包括括直直接接证证明明的的方方法法（如如分分析析法法、综综合合法法、数数学学归归纳纳法法
15、）和和间间接接证证明明的的方方法法（如如反反证证法法）；感感受受逻逻辑辑证证明明在在数数学学以以及及生生活活中中的的作作用用，养成严谨习惯。养成严谨习惯。三、教学定位三、教学定位四、课时分配四、课时分配（13课时）课时） （选修（选修1-2）2.1.1 合情推理合情推理2课时2.1.2 演演绎推理推理3课时2.2.1 综合法和分析法合法和分析法3课时2.2.2 反反证法法2课时小小结3课时课时分配（分配（8课时） （选修修2-2）2.1.1 合情推理合情推理1课时2.1.2 演演绎推理推理2课时2.2.11综合法合法1课时2.2.12分析法分析法1课时2.2.2 反反证法法1课时2.2.3 数
16、学数学归纳法法1课时小小结1课时2、重难点确立、重难点确立2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论三段论”进行简单的进行简单的推理。推理。 难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。作出简单的推理。2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法基本方法综合法、分析法，了解间接证明的一种方法综合法、分析法，了解间接证明的
17、一种方法反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。归纳推理归纳推理 归归纳纳推推理理是是针针对对一一类类事事物物S而而言言的的，如如图图所所示示： S 的的部部分分事事物物A和和B共共同同具具有有的的某某种种特特性性，是是否否可可以以推推广广到到整整个个S？这这就就是是一一个从局部到整体的推理过程。个从局部到整体的推
18、理过程。3 3、对几个重要知识板块教学思考、对几个重要知识板块教学思考平面几何中归纳法平面几何中归纳法代数中的归纳法代数中的归纳法4、如图，在圆内画、如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；条线段，将圆分割成两部分；画画2条相交线段，彼此分割成条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割条线段，将圆分割成成4部分；画部分；画3条线段，彼此最多分割成条线段，彼此最多分割成9条线段，条线段，将圆最多分割成将圆最多分割成7部分；画部分；画4条线段，彼此最多分割成条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成条线段，将圆最多分割成11部分。那么部分。那么（1）在圆内画）在圆内画5条线段，它们彼此最多分
19、割成多少条线段，它们彼此最多分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？条线段，将圆最多分割成多少部分？（2）猜想：圆内两两相交的）猜想：圆内两两相交的n条线段，它们彼此最多条线段，它们彼此最多分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？类比推理类比推理 类类比比推推理理是是针针对对的的两两类类事事物物，如如图图所所示示，在在A和和B两两类类事事物物中中，A类类中中有有性性质质P成成立立，B类类中中也也有有性性质质P成成立立，A类类中中还还有有性性质质Q成成立立，那那么么B类类中中是是否否也也具具有有性性质质Q成成立立呢呢？通通过过两两类类事事物物的的类类
20、比比可可以以对对事事物物的的性性质质有有更更深深刻刻的的理理解解，并并且且可可以以帮助进行逻辑推理。帮助进行逻辑推理。 实轴实轴 虚轴虚轴 长轴长长轴长2a 短轴长短轴长2b类比的风险类比的风险类比类比“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”得到猜想得到猜想“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”类比的风险类比
21、的风险直接证明直接证明综合法综合法 从已知条件和某些数学定义、定理、从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发，通过一系列的推理论证，公理等出发，通过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论。最后推导出所要证明的结论。框图表示：框图表示：直接证明直接证明综合法综合法所证结论所证结论直接证明直接证明分析法分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等。知条件、定义、定理、公理等。框图表示：框图表示：得
22、到一个得到一个明显成立明显成立的条件的条件直接证明直接证明分析法分析法在已知条件下新结果是否成立要证明的结论要证明的结论否定要证明的结论否定要证明的结论把把“否定要证明的结论否定要证明的结论”作为条件作为条件结合相关公理、定理或已得的结论结合相关公理、定理或已得的结论得出新的结论得出新的结论结束结束是否与已知条件、是否与已知条件、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是间接证明间接证明反证法反证法 直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法 4 4、整体把握、整体把握l演绎推理与合情推理并重演绎推理与合情推理并重l以实际问题与已学问题为以实际问题与已学问题为主要素材开展教学主要素材开展教学l长期渗透、控制难
23、度长期渗透、控制难度（1 1）推理教学的重点在于通过具体实例理）推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念的解合情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。抽象表述。（2 2）证明的教学应引导学生认识各种证明）证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的的技巧性不宜作过高的要求，技巧性不宜作过高的要求，对证明的问对证明的问题难度也要加以控制。题难度也要加以控制。（3 3）讲清数学归纳法的原理，但只需用）讲清数学归纳法的原理，但只需用数数学归纳法证明一些简单的数学命题。学归纳法证明一些简单的数学命题。（4）注意文理差异。）注意文理差异。5、教学建议、教学建议
