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1、全微分及其应用(7)一、全微分的定义一、全微分的定义全微分及其应用(7)连续全微分及其应用(7)全微分的定义全微分的定义例例全微分及其应用(7)事实上事实上全微分及其应用(7)二、可微的条件二、可微的条件全微分及其应用(7)证证总成立总成立,同理可得同理可得全微分及其应用(7)一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，全微分及其应用(7)则则当当 时，时，全微分及其应用(7)说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，全微分及其应用(7
2、)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加叠加叠加原理原理原理原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况全微分及其应用(7)解解所求全微分所求全微分偏导数连续，全微分存在。偏导数连续，全微分存在。全微分及其应用(7)解解全微分及其应用(7)解解偏导数连续，全微分存在，所求全微分：偏导数连续，全微分存在，所求全微分：全微分及其应用(7)
3、讨论函数可微的方法：讨论函数可微的方法：1. 总是先求（某点）的偏导；2. 如果偏导连续，则可微（充分条件）如果有一个偏导不存在连续，则不可微（必要条件）如果偏导存在但不连续（间断），则考虑是否是的高阶无穷小，即全微分及其应用(7)全微分及其应用(7)证证 1）令）令则则同理同理或或（无穷小乘有界量为无穷小）（无穷小乘有界量为无穷小）2）那么那么=0，有意义吗？全微分及其应用(7)不存在不存在.全微分及其应用(7)注意：若函数偏导存在时验证函数可微，关键是看注意：若函数偏导存在时验证函数可微，关键是看全微分及其应用(7)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可
4、微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分及其应用(7)全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成全微分及其应用(7)解解由公式得由公式得全微分及其应用(7)、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结全微分及其应用(7)xz y0 PQMN x yABdz=AB : 切面立标的增量切面立标的增量z= f (x ,y) z =AN ：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面的切平面：即即：dz z=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz全微分的几何意义全微分及其应用(7)思考题思考题全微分及其应用(7)练练 习习 题题全微分及其应用(7)全微分及其应用(7)全微分及其应用(7)练习题答案练习题答案全微分及其应用(7)
