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1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及其应用 第十一章 三、全微分方程三、全微分方程 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左一、一、 格林公式格林公式建立平面区域建立平面区域D上的二重上的二重积分与分与D的的边界界曲曲线L上的曲上的曲线积分之分之间的的联系。系。预备知知识：定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有上具有连续一阶偏
2、导数连续一阶偏导数 ,或或注意公式成立的前提条件：注意公式成立的前提条件：1）L为封闭曲线；为封闭曲线；2）P，Q在在 D 上具有上具有连续一阶偏导数连续一阶偏导数 证明证明: 1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且则则即同理可证、两式相加得:2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式应用一应用一应用一应用一 : : 求区域求区域求区域求区域 D D 的面积的面积的面积的面积例例1、 求椭圆所围面积解：解：例例2 2. 设 L 是一条
3、分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令则利用格林公式 , 得应用二应用二应用二应用二 : : 简化二重积分与第二类曲线积分的计算简化二重积分与第二类曲线积分的计算简化二重积分与第二类曲线积分的计算简化二重积分与第二类曲线积分的计算 转化转化转化转化例例3. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有例例4. 计算其中L为圆的正向一周.解解: 令设L所围区域为D，由格林公式知例例例例5.5. 计算计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆
4、周区域为D , 则例例6. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得思考：如何计算二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明
5、说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)证明证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P
6、 dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;例例7. 计算其中L 为沿曲线从 A (, ) 到 B (, )的曲线弧. 解解: 因为所以积分与路径无关.取点则原式则原式 注意：计算第二类曲线积分时，若积分与路径无关，则可以选择较简单的路径，但是新老路径所围区域要满足条件：无奇点无奇点使得P、Q的偏导数不连续的点。问题：新路径为什么不选取直线段AB？例例9. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。例例10. 验证在右半平面
7、 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数或内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有思考与练习思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示提示:2. 设提示提示:2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
