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1、1.3.1 柱体、锥体、台柱体、锥体、台体的体的表面积与体积表面积与体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？导入新课导入新课 正方体和长方体是由平面图形围成的多面正方体和长方体是由平面图形围成的多面体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图是展开图的面积。的面积。543表面积为：表面积为：432+452+352=94求多面体表面积的方法：展成平面图形求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积，求面积。 正六棱
2、柱的侧面展开图是什么？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？如何计算它的表面积？棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱正棱柱的侧面展开图的侧面展开图ha棱锥的展开图是三角形棱锥的展开图是三角形。同理，棱台的展开图呢？同理，棱台的展开图呢？棱台的展开图是梯形棱台的展开图是梯形。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四，各
3、面均为等边三角形的四面体面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 。DBCAS分析：分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。因为因为BC=a，所以：所以： 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积：的表面积：解：解：先求先求SBC的面积，的面积，过过S作作SDBC，交交BC于于点点D。 例一例一圆柱的表面积圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的表面积圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形
4、圆锥的表面积圆锥的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环OO 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环OO 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么? 一个圆台形花盆盆口直径一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径，盆底直径为为15
5、cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁，盆壁长长15cm。那么。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.14，结果精确，结果精确到到1 cm2 ）？解：解：由圆台的表面积公式得由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 例二例二rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小探究探究 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？什么关系？2.柱体、椎体、台体的体积柱体、椎体、台体的体积 我们已经学习了特殊的棱柱我们已经学习了特殊的棱柱正方体、长方体正方
6、体、长方体以及圆柱的体积公式以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般柱体体积也是：一般柱体体积也是：其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高。为棱柱的高。一般柱体一般柱体思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体
7、叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？ 1 12 23 31 12 23 3圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：（其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）棱锥的体积公式：棱锥的体积公式：（其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的 思考
8、思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？ 高高h h底面积底面积S S 它是同底同高的柱体的体积的它是同底同高的柱体的体积的 。 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的等于底面面积乘高的 。探究探究如何求台体的体积？如何求台体的体积？ 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，因此用截成的，因此用两个锥体的两个锥体的体积差。得到体积差。
9、得到圆台圆台( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式: : 其中其中S，S分别为上、下底面面分别为上、下底面面积，积，h为圆台（棱台）为圆台（棱台）的高。的高。上底面上底面积积S S 高高h h下底面下底面积积S S p pC CB BA AD D柱体、锥体与台体的体积思考:你能发现三者之间的关系吗？上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？么关系？思考思考6:6:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？S=SS=SS=0S=0 有有一堆规格
10、相同的铁制（铁的一堆规格相同的铁制（铁的密密是是 ）六）六角螺帽共重角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽堆螺帽大约有多少个（大约有多少个（取取3.14）？）？例三例三 解：解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，体积之差，即即: :所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252个个 与定点的距离小于或等于定长的点的集合，与定点的距离小于或等于定长的点的集合，叫做叫做球体球体，简称，简称球球讲授新课
11、讲授新课1、球的概念、球的概念定点叫做球的定点叫做球的球心球心定长叫做球的定长叫做球的半径半径与定点的距离等于定长与定点的距离等于定长的点的集合，叫做的点的集合，叫做球面球面O O半径半径球心球心直径直径2、 球的表面积球的表面积o思考：思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？面积有什么关系？ 定理：半径为定理：半径为R的球的表面积是的球的表面积是球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的4 4倍倍3、 球的体积球的体积定理：半径为定理：半径为R的球的体积是的球的体积是例例2 2、如图、如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球
12、的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证: : (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. .O O证明证明: :R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,得得: :则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.(2)(2)222624RRRSppp=+=圆柱全圆柱全Q理论迁移理论迁移 如图，圆柱的底面直径与高都等于如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2
13、 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习例例3.3.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积和表面积求它的体积和表面积. .(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢
14、球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.“内径内径”是指内壁的直径，是指内壁的直径，“外径外径”是指外壁直径。是指外壁直径。( (变式变式2)2)把把直径为直径为5cm钢球放入一个正方体的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?解：当球内切于正方体时解：当球内切于正方体时用料最省时用料最省时此时棱长直径此时棱长直径5c
15、m答：至少要用纸答：至少要用纸150cm2两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切的各面相切.分析：用料最省时分析：用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体例例4.4.如图，正方体的棱长为如图，正方体的棱长为a,a,它的各个顶点都它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体合，则正方体体对角
16、线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都一个几何体的所有顶点都 在另一在另一个几何体的表面上。个几何体的表面上。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O323334222322343)2(aRVaRSaRaRpp pp=且 对角线长对角线长 球的直径等于正方体的体球的直径等于正方体的体 正方体内接于球正方体内接于球解：解：(变式)球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形球和长方体都是中心对称图形可知，
17、它们中心重合，则长方可知，它们中心重合，则长方体体体对角线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。pppp33233422222164216)3(23)2(=+=RVRSRR且体对角线长体对角线长球的直径等于长方体的球的直径等于长方体的长方体内接于球长方体内接于球解：OABC例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如解：如图，设球球O半径半径为R，截面截面 O的半径的半径为r，例题讲解例题讲解OABC例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、
18、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积例题讲解例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 81.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点
19、的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二课堂练习课堂练习例5、如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm)866185 515151111x/y/z/解：解：这个奖杯的体积为这个奖杯的体积为V=V正四棱台正四棱台+V长方体长方体+ V球球 其中其中 V正四棱台正四棱台V长方体长方体=6818=864V球球=所以这个奖杯的体积为V 1828
20、.76（cm3）l了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割求近似和化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小柱体、椎体、台体的表面积：柱体、椎体、台体的表面积：高考链接高考链接1.（2009 山东）一空间几何体山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（体的体积为（ ）俯视图 2 2 2 正(主)视图2 2 侧(左)视图 A.A.B.B.C.C.D.D.C C【解析解析】: :该空间几何体为一
21、圆柱和一四棱该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为锥组成的，圆柱的底面半径为1,1,高为高为2,2,体积体积为为 , ,四棱锥的底面边长为四棱锥的底面边长为 ，高为，高为所以体积为：所以体积为：所以该几何体的体积为：所以该几何体的体积为：2.（2009 辽宁）设某几何体的三视图（单位辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，（尺寸的长度单位为）如图所示，（尺寸的长度单位为m）.则该则该几何体的体积为几何体的体积为_。 3 34 m3正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图【解析解析】由三视图知其为三棱锥，由由三视图知其为三棱锥，由“主左主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽一样高
22、，主俯一样长，俯左一样宽”可知高可知高为为2 2，底面三角形的底面边长为，底面三角形的底面边长为4 4，高为，高为3 3，则，则所求棱锥体积为：所求棱锥体积为：课堂课堂练习练习 1. 圆柱的一个底面积为圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是正方形，那么这个圆柱的侧面积是_。4S2. 已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 a ，且它的侧面展，且它的侧面展开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为_。3. 若若圆台的上、下底面半径分别是圆台的上、下底面半径分别是1和和3，它的它的侧面积是两底面积和的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线倍，则圆台的母线长为长为_.54. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A . B . C . D . A5. 已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个倍，那么这个圆锥的侧面积展开图圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为扇形的圆心角为_度度。180
