《土木工程制图-画法几何：第4章 换面法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《土木工程制图-画法几何：第4章 换面法（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 4.1 换面法换面法一、换面法的概念一、换面法的概念 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？解决方法：解决方法：更换投影面。更换投影面。 物体本身在空间的位置不动，而用某一物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置置，然后将物体向新投影面进行投射。，然后将物体向新投影面进行投射。VHAB a b abV1 a 1b 1 二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择
2、原则1 1有利于解题有利于解题 如：新投影面如：新投影面 或或 几何元素几何元素 ( (应熟练掌握特殊位置几何元素的特性应熟练掌握特殊位置几何元素的特性) ) 2 2新投影面须垂直某一原投影面新投影面须垂直某一原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系以构成一个相互垂直的两投影面的新体系VHAB a b abV1 a 1b 1 VHA a aaxX 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系V1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a， a A点的两个投影：点的两个投影：a， a1 VHXV1HX1 a aa1 axax1.三、点的投影变换规律三、点
3、的投影变换规律新投影体系的建立新投影体系的建立V V1 H H X1V1a1ax1 VHA a aaxX VHXV1HX1 a aa1 axax1.投影规律投影规律点的新投影和与保留投影的连线，必垂直点的新投影和与保留投影的连线，必垂直 于新投影轴。于新投影轴。 aa 1 X1点的新投影到新投影轴的距离等于被代换点的新投影到新投影轴的距离等于被代换 投影到旧投影轴的距离。投影到旧投影轴的距离。a 1ax1 = a axV V1 H H X1V1a1ax1 XVHaa ax VHXV1HX1aa X1H1V a1axax1ax1a1.作图步骤作图步骤更换更换V V面面 由点的不变投影向新投影轴作
4、垂线，由点的不变投影向新投影轴作垂线， 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于在垂线上量取一段距离，使这段距离等于 被代替的投影到原投影轴的距离。被代替的投影到原投影轴的距离。更换更换H H面面 更换两次投影面更换两次投影面先把先把VV1， V1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:V1HX1 V1再把再把HH1， H1 V1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 H1按次序更换按次序更换AaVH a axXX1V1a1ax1H1X2ax2a1 新投影体系的建立新投影体系的建立Oax2 a aXVHa1X1HV1X2V1H1a1 axax1 .作图方法作图方法 作图规律作图规律 a1a
5、1 X2 轴轴 a1ax2 = aax1VHAB a b ab四、换面法的四个基本作图问题四、换面法的四个基本作图问题1. 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用V V1 1面代替面代替V V面，在面，在V V1 1/H/H投影体系中，投影体系中，AB/VAB/V1 1。X1HV1V1a1b1空间分析：空间分析： 换换H H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？b1与与abab平行。平行。 .a1X1a1b1VH a aXB b bA2.2
6、.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1HV1V1H1X2作图：作图：X1V1a1b1X2H1二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X X2 2轴的位置？轴的位置？a1 b1 .与与a a1 1b b1 1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；a1 b1 一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？3. 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面空间分析：空间分析： 在平面内取
7、一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？若变换若变换H H面面，需在面内，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！如果把平面内的一条直线变换成新投影面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。的垂直面。VH a b c abcABCXdD d V1X1c1b1 a1 d1 a c b abcXVH例：例：把把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成
8、投影面垂直面。HV1X1作作 图：图：1.1.在平面内取一条水平线在平面内取一条水平线ADAD。d d2.2.将将ADAD变换成新投影面的变换成新投影面的 垂直线。垂直线。c1a1 d1b1 反映平面对哪个反映平面对哪个投影面的夹角？投影面的夹角？.V1X1H1一次换面一次换面, 把一般位置平面变换成投影面垂直面；把一般位置平面变换成投影面垂直面；二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。空间分析：空间分析：一次变换能否实现？一次变换能否实现？为什么？为什么？作图方法：作图方法： 经一次变换把经一次变换把ABC变换成辅助投影面的垂直变换成辅助投影面
9、的垂直面后，再面后，再选取一个新投影选取一个新投影面，使其既垂直于面，使其既垂直于辅助辅助平平面，又平行于面，又平行于ABC，这这样，样，ABC在新投影面体在新投影面体系中就成为辅助投影面系中就成为辅助投影面P2的平行面了。的平行面了。 4. 4. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面a1 b1X2V1H1ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线a1c1b1c1X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HV1.与其平行与其平行例：把例：把 ABC变变换换成投影面平行面。成投影面平行面。 b1X1V1H五、换面法的应用五、换面法的应用 作图
10、作图: :c1a1例例1 1：试过点：试过点A作作直线与已知直线直线与已知直线BC垂直相交垂直相交。Hc c b a bXVHc c b abXVd1dd 空间及投影分析：空间及投影分析： 当直线当直线BC平行于某投平行于某投影面时，由直角投影定理可影面时，由直角投影定理可知知, 与与BC垂直的直线在该投垂直的直线在该投影面上的投影反映其垂直关影面上的投影反映其垂直关系。系。 1.1.将直线将直线BCBC转换成转换成V V1 1面的平行线面的平行线; ;2.2.求出点求出点A A在在V V1 1面的投影面的投影a a1 1; ;3.3.过过a a1 1作作BCBC投影垂线，投影垂线，ADAD即
11、为所求。即为所求。 讨论：讨论：有否其它变换方法？有否其它变换方法？ 将将点点A及直线及直线BC看成同看成同一平面一平面，将平面，将平面ABC换成新换成新投影面平行面，则在该面上投影面平行面，则在该面上作出点作出点A到到BC距离。距离。例例1 1：试过点：试过点A作作直线与已知直线直线与已知直线BC垂直相交垂直相交。求求点点A到到已知直线已知直线BC距离。距离。b1X1V1Hc1a1Hc b a bXVHc c b abXVd1dd Hc c b a bXVHc c b abXV 此方法可解决同一平面此方法可解决同一平面内的定位、度量问题，如平内的定位、度量问题，如平行两直线距离、夹角，作角行
12、两直线距离、夹角，作角平分线等。平分线等。 空间及投影分析空间及投影分析 只有只有AB 与与CD都平都平行于投影面即行于投影面即AB与与C点点构成的平面平行于投影构成的平面平行于投影面时，其投影的夹角才面时，其投影的夹角才反映真实大小（反映真实大小（60）因此因此, 需将需将AB与与C点所点所确定的平面变换成投影确定的平面变换成投影面平行面。面平行面。例例2 2: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。ab a c b XVHc60ABD Cabdc例例2 2: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。 d X1HV1X2V1H1ab a c b XVHc
13、作图：作图：c1c1a1 b1a1b1 几个解？几个解？两个解！两个解！60D D点的投影如何返回？点的投影如何返回？.1.1.将面将面ABCABC变换成变换成V V1 1面的垂面面的垂面; ;2.2.将面将面ABCABC变换成变换成H H1 1面的平行面面的平行面; ;d如何选择如何选择X X2 2轴？轴？3.3.过过c c1 1作作c c1 1d d1 1与与a a1 1b b成成6060角角, ,得得d d1;1;4.4.将将d d1 1投影返回。投影返回。dd1dd1 d160ABD Cabdc 空间及投影分析空间及投影分析 若平面若平面P是投影面垂是投影面垂直面，则垂线直面，则垂线K
14、L就是该就是该投影面的平行线，距离投影面的平行线，距离可直接求出。可直接求出。 aVXHkkpbacdbcdV1Kk1PLl1例例3 3：求点求点K到平面到平面P（ ABCD）的距离。）的距离。例例3 3：求点求点K到平面到平面P（ ABCD）的距离。）的距离。V1X1HVXHp1k1l1llkk 作图：作图：abacdbcd1.1.将将P P面换成面换成V V1 1面的垂直面面的垂直面P P1 1; ; 与与X X1 1轴平行轴平行2.2.作出作出K K点在点在V V1 1面上的投影面上的投影K K1 1;3.3.过过 K K1 1点向点向P P1 1面作垂线面作垂线KLKL 即为所求距离。
15、即为所求距离。4.4.作出垂线作出垂线KLKL的投影。的投影。 请注意请注意L点的投影如何返回？点的投影如何返回？pV1Kk1PLl1水平线水平线c d b a dacbVHX例例4 4：求平面求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。 由几何定理知：两面角为两平面同时与第由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。空间及投影分析：空间及投影分析：在投影图中在投影图中, 两平面的交线垂两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。的投影积
16、聚成直线，直线间的夹角为所求。H1V1X2H V1X1c d b a dacbd1c1a1b1VHX作图：作图：.1.1.将交线将交线ABAB换成换成V V1 1面的平行线面的平行线; ;2.2.将交线将交线ABAB换成换成H H1 1面的垂直线面的垂直线; ;d13.3.角角c c1 1a a1 (b(b1)d)d1 1即为所求。即为所求。例例4 4：求平面求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。a1 b1c1空间及投影分析空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公交叉二直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新投影面垂直线时，
17、公垂线必为该投影面的投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的平行线，反映实长，且与另一直线投影垂平行线，反映实长，且与另一直线投影垂直，据此可确定公垂线位置。直，据此可确定公垂线位置。例例5 5: 求交叉二直线求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。之间的距离及公垂线的投影。ab a c b XVHd d cAMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1 例例5 5: 求交叉二直线求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。之间的距离及公垂线的投影。X1HV1ab a c b XVH作图：作图：c1n1 c1 d1 a1db1m1X2H1 V1 d ca1b1d1m1n1mn m
18、 n 1.1.将直线将直线CDCD经过两次换面变经过两次换面变 成成H H1 1面的垂直线，得面的垂直线，得n n1 1; ;2.2.作另一直线作另一直线ABAB在在H H1 1面上的面上的 投影投影a a1 1b b1 1; ;3.3.过过n n1 1作作a a1 1b b1 1垂线垂线m m1 1n n1 1，即为，即为 公垂线实长；公垂线实长；4.4.逆变换返回，求出公垂线逆变换返回，求出公垂线 的投影；的投影；讨论：讨论： 如何求出点到直线的距离，如何求出点到直线的距离，如何求出两平行直线间距离？如何求出两平行直线间距离？AMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1b a abcd
19、例例6 6：已知两交叉直线已知两交叉直线ABAB和和CDCD的公垂线的长度为的公垂线的长度为MNMN，且，且ABAB 为水平线，求为水平线，求CDCD及及MNMN的投影。的投影。MNm d nVHXHV1X1m1n1c1d1n m 空间及投影分析空间及投影分析 当直线当直线AB垂直于投影面时垂直于投影面时MN平行于投影面，这时它的投平行于投影面，这时它的投影影m1n1=MN, 且且m1n1c1d1。作图：作图：请注意各点的投请注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m m点是难点点是难点。.MNc V1ACDNMc1d1a1m1b1n1B d1 c1 n1. a1b1m1 一、一、 换面法就是
20、换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件， 即必须使即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规，这样才能使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础， 四个基本四个基本 问题是解题的基本作图方法问题是解题的基本作图方法 必需熟练掌握。必需熟练掌握。
21、小小 结结 换面法的四个基本作图问题：换面法的四个基本作图问题： 2.2.把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1.1.把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3.3.把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4.4.把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面（需先在面内作一条投影面平行线）（需先在面内作一条投影面平行线）四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空
22、间情况，弄清原始条件中分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些条件，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。抽象成几何元素（点、线、面等）。 根据要求的结果，确定出有关几何元素根据要求的结果，确定出有关几何元素对新投对新投 影面应处于什么样的特殊位置影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）（垂直或平行） 据此选择正确的解题思路与方法。据此选择正确的解题思路与方法。 作图时，要注意新投影与原投影在变换作图时，要注意新投影与原投影在变换 前后的关系，前后的关系， 既要在新投影体系中正确既要在新投影体系中正确 地求得结果，又能将结果地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投 影体系中去。影体系中去。 小小 结结 作业：作业：T4-1,2,3,4,5,6,7,8
