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1、定积分的概念定积分的概念v两个实例两个实例v定积分的定义定积分的定义v定积分的存在定理定积分的存在定理v定积分的几何意义定积分的几何意义v定积分的性质定积分的性质1abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、两个实例一、两个实例2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）3解决步骤解决步骤 :1) 分割分割:在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲
2、边梯形;2) 近似近似:在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得43) 求和求和:4) 取极限取极限:令则曲边梯形面积51 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 积零为整积零为整yxoy=f (x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f ( i).64 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3
3、积零为整积零为整f ( i) 曲边梯形的面积曲边梯形的面积74 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 积零为整积零为整f ( i)A =.A.ab 曲边梯形的面积曲边梯形的面积8 实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得的路
4、程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。路程的精确值。9tOT1T2 t0t1tn1 tn=titi1 第第i段路程值段路程值第第i段某时刻的速度段某时刻的速度10 11曲边梯形的面积曲边梯形的面积 （1）分割（2）近似 （3）求和（4）取极限变速直线运动的路程变速直线运动的路程12(i1, 2, n), 作和maxDx1, Dx2,Dxn; 在小区间xi1, xi上任取一点i 记Dxi=xi-xi1 (i1, , n), 个分点: ax0x1x2 xn1xnb; 设函数f(x)在区间a, b上有界. 极限存在, 且 极 限 值 与 区 间 a , b 的分
5、法和i的 取 法 无 关, 则 称 此 极 限 为 函 数f( x ) 在区间 a , b 上的定积分, 记为 即 二、定积分的定义二、定积分的定义在区间a, b内插入n-1如果当0时, 上述和式的此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .13被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限积分和积分和读作“从a到b函数f(x)的定积分”14曲边梯形面积曲边梯形面积A：变速运动的路程变速运动的路程 S：记为记为记为记为15关于定积分的说明：关于定积分的说明：求导有如下的式子：求导有如下的式子：（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积（）定
6、积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积记号无关，即记号无关，即（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，它们分别对它们分别对分变量的分变量的16例例1 1 计算计算(1)(1)分割分割等分(2)(2)近似近似取矩形面积(3)(3)求和求和17(4)取极限18定理定理1 1定理定理2 2三、定积分的存在定理三、定积分的存在定理19四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义20几何意义：几何意义：ab21定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用1428173220xy-33定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用23 例例2 用定积分表示下列图中
7、阴影部分的面积用定积分表示下列图中阴影部分的面积24 例例3 3 用定积分表示由用定积分表示由1o解：平面图形如右图所示解：平面图形如右图所示 所围平面图形的面积。所围平面图形的面积。25 例例4 用定积分表示由用定积分表示由 所围所围 平面图形的面积。平面图形的面积。1o解：平面图形如右图所示解：平面图形如右图所示A2A1由图可知由图可知 因为因为所以所以26若若 是奇函数，则是奇函数，则若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a对称区间上的定积分对称区间上的定积分-aa27对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限在下面的性质中，假定定积
8、分都存在，且不考虑积分上下限的大小的大小五、定积分的性质五、定积分的性质28证证性质性质1 129证证性质性质2 230补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 331证证性质性质4 4性质性质5 532性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）33证证性质性质5 5的推论：的推论：（2）34例例5 5比较下列各对积分值的大小：比较下列各对积分值的大小：(1)(1)因为在因为在(2)和(2)和解解上上由推论知由推论知35证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6 演示演示36性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式 几何解释几何解释37
