《线性代数：4-5 向量空间（最简版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：4-5 向量空间（最简版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 一、向量空间的定义一、向量空间的定义一、向量空间的定义一、向量空间的定义主要内容主要内容 二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数第五节第五节 向量空间向量空间 三、向量的坐标三、向量的坐标三、向量的坐标三、向量的坐标一、实向量空间的定义一、实向量空间的定义定义定义1 设设设设 V V 为为为为 n n 维实向量的集合维实向量的集合维实向量的集合维实向量的集合如果如果如果如果V V非空非空非空非空, , 且且且且 V V 对于向量的加法及数乘两种运算对于向量的加法及数乘两种运算对于向量的加法及数乘两种运算对于向量的加法及数乘两种运算封闭封闭封闭
2、封闭 , , 则称集合则称集合则称集合则称集合 V V 为为为为实向量空间实向量空间实向量空间实向量空间.所谓所谓封闭封闭封闭封闭, 是指在集合是指在集合 V 中可以进行加法及中可以进行加法及数乘两种运算数乘两种运算. 则则 a + b V; 若若 a V, R, 则则 a V. 具体地说具体地说, 若若 a V, b V,注：注：向量空间必含有零向量向量空间必含有零向量。回忆：回忆：齐次齐次线性方程组解集的特点？线性方程组解集的特点？ n 维实向量的全体维实向量的全体 Rn 是一个向量空间是一个向量空间. 零向量集零向量集0是一个向量空间是一个向量空间, 称为称为零空间零空间。设设V 是任一
3、是任一 n 维实向量空间维实向量空间，则则最大的实向量空间最大的实向量空间最小的向量空间最小的向量空间 例例 1 非空集合非空集合V = x = (0, x2 , , xn)T | x2 , , xn R 是是一个向量空间一个向量空间. b = ( 0 , b2 , , bn )T V , 则则 a + b = ( 0 , a2 + b2 , , an + bn)T V , a = ( 0 , a2 , , an )T V .因为若因为若 a = ( 0 , a2 , , an )T V,例例 2 非空集合非空集合V = x = (1 , x2 , , xn )T | x2 , , xn R
4、不是不是向量空间向量空间. 2a = (2 , 2a2 , , 2an )T V.因为若因为若 a = (1 , a2 , , an )T V , 则则例例 3 齐次齐次线性方程组的线性方程组的解集解集S = x | Ax = 0 是是一个向量空间一个向量空间(称为齐次线性方程组的称为齐次线性方程组的解空间解空间).因为由齐次线性方程组的解的因为由齐次线性方程组的解的知：知：解集解集 S 对解向量的线性运算封闭对解向量的线性运算封闭.例例 4 非非齐次线性方程组的齐次线性方程组的解集解集S = x | Ax = b , b00不是不是向量空间向量空间 .当当 S 为空集时，为空集时，S 不是向
5、量空间不是向量空间.当当 S 非空时，若非空时，若 S，则，则A(2 ) = 2b b，知知 2 S .当当方程组无解时方程组无解时r r 维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间. .定义定义 2 设设设设 V V 为向量空间为向量空间为向量空间为向量空间 , , 如果如果如果如果 r r 个向量个向量个向量个向量a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r V V , , 且满足且满足且满足且满足(i)(i) a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r 线性无关线性无关线性无关线性无关; ;(ii)(ii) V V中任一向量都可由中任一向量都可由中
6、任一向量都可由中任一向量都可由 a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r 线性表示线性表示线性表示线性表示. .那么那么那么那么, , 向量组向量组向量组向量组 a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r 就称为向量空间就称为向量空间就称为向量空间就称为向量空间 V V 的的的的 一个一个一个一个基基基基, , r r 称为向量空间称为向量空间称为向量空间称为向量空间 V V 的的的的维数维数维数维数, ,并称并称并称并称 V V 为为为为二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数思考思考:除了零空间，向量空间必含有除了零空间，向量空间必含有无穷
7、多无穷多向量向量. (?)如：如：如：如： 基本向量组基本向量组 为为 Rn 的一个基的一个基 (称为称为 Rn 的的自然基自然基), 故故 Rn 的空间维数为的空间维数为 n . （1）若把向量空间若把向量空间 V 看做向量组看做向量组, 则则向量空间向量空间V 的的基基就是就是向量组向量组V 的的最大无关组最大无关组, 向量空间向量空间V 的的【注意注意】（2）零空间零空间0没有基没有基, 规定其规定其维数维数为为 0 .（3）向量空间的）向量空间的基不唯一基不唯一, 但其但其维数唯一维数唯一确定确定.维数维数就是向量组就是向量组V 的的秩秩. （4）设）设 向量组向量组 1 , 2 ,
8、, r是向量空间是向量空间V 的一的一个基，则个基，则V 可表示为可表示为（即（即向量空间向量空间V 的结构的结构）三、向量的坐标三、向量的坐标定义定义 3 如果在向量空间如果在向量空间如果在向量空间如果在向量空间 V V 中取定一个基中取定一个基中取定一个基中取定一个基a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r , , 那么那么那么那么 V V 中任一向量中任一向量中任一向量中任一向量 x x 可可可可唯一地表唯一地表唯一地表唯一地表示示示示为为为为x = x = 1 1a a1 1 + + 2 2a a2 2 + + + + r ra ar r , ,有序数组有序数组
9、有序数组有序数组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 称为向量称为向量称为向量称为向量 x x 在基在基在基在基 a a1 1 , , a a2 2 , , , , a ar r 下的下的下的下的坐标坐标. .下的坐标下的坐标就是该向量的就是该向量的分量分量. 【特别情形特别情形特别情形特别情形】向量空间向量空间 Rn的向量的向量 x 在在自然基自然基 因为以因为以 a1 , a2 , , an 为分量的向量为分量的向量 x 可表示为可表示为例例6 设设验证验证 a1 , a2 , a3 是是 R3 的一个基的一个基, 并求并求 b1 , b2 在这在这个基下的坐标个基下的坐标.例
10、例5 求向量求向量 = (d1 , d2 , , dn)T在基在基 1 = (1, 0, , 0)T, 2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 下的坐标下的坐标. 注：在注：在R3中取定一个中取定一个基基 a1 , a2 , a3 , 再取一个新基再取一个新基b1, b2, b3, 则则b1, b2, b3可由可由a1, a2, a3线性表示线性表示,且且表示式为表示式为(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P 称称 (b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P 为为基变换公式基变换公式，其中系数矩阵其中系数矩阵
11、P = A- -1B 称为从旧基称为从旧基a1 , a2 , a3到到新基新基b1 , b2 , b3的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵.B = (b1 , b2 , b3) .其中系数矩阵其中系数矩阵 P = A- -1B， A = (a1 , a2 , a3) , 思考：思考：1. 过渡矩阵必是可逆矩阵。过渡矩阵必是可逆矩阵。2. 若由基若由基 a1 , a2 , a3 到基到基 b1 , b2 , b3的过渡矩阵是的过渡矩阵是的过渡矩阵是的过渡矩阵是P ,则由基则由基 b1 , b2 , b3 到基到基a1 , a2 , a3 的过渡矩阵是的过渡矩阵是的过渡矩阵是的过渡矩阵是P -1。
12、例例7 设设R3 的两个基为的两个基为(1) 求由基求由基 到基到基的过渡矩阵；的过渡矩阵；的过渡矩阵；的过渡矩阵；(2)设向量设向量c 在基在基下的坐标为下的坐标为-2,1,2, 求求c 在基在基下下的坐标。的坐标。的坐标。的坐标。(3) 设向量设向量c 在基在基下的坐标为下的坐标为-2,1,2, 求求c 在基在基 下下 的的的的坐标。坐标。坐标。坐标。解解(1) 设求由基设求由基 到基到基的过渡矩阵为的过渡矩阵为的过渡矩阵为的过渡矩阵为P P，则，则，则，则(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,令令 A = (a1 , a2 , a3) , B = (b1 , b2 , b3) ，则，则P = A- -1B B = AP， c 在在基基下下的坐标的坐标的坐标的坐标为为y1 , y2 , y3 , 则则（2）已知向量）已知向量 c 在基在基下下的坐标的坐标的坐标的坐标为为-2,1,2 ，设向量，设向量故向量故向量 c 在基在基下下的坐标的坐标的坐标的坐标为为13 , -3 , -2 .(3) 提示：提示：
