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1、2.3幂幂函函数数问题引入问题引入(1) 如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付p= 元元(2) 如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,那么正方形的面积那么正方形的面积 (3) 如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积 (4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形那么这个正方形的边长的边长 (5)如果某人如果某人t s内骑车行进了内骑车行进了1 km,那么他骑车的平那么他骑车的平均速度均速度 我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题: 若将它们的自变量全部用若将它们的自
2、变量全部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来来表示表示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是:w你能说出幂函数与指数函数的区别吗你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意注意: :幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是 的形式，的形式， 其特征可归纳为其特征可归纳为“系数为，只有项系数为，只有项”一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function) ，其中其中 为自变量，为自变量， 为常数。为常数。 式子式子 名称名称 a x y 指数函数指数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对
3、比判断一个函数是幂函数还是指数函数判断一个函数是幂函数还是指数函数关键关键看看看看自变量自变量x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数指数指数指数指数函数函数判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 判一判 在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这五五个幂函个幂函数的图象数的图象. 下面结合图象，研究幂函数性质：定义域、下面结合图象，研究幂函数性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。我值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。我们只讨论们只讨论 =1 ,2,3， ，-1时的情形时
4、的情形4321-1-2-3-4-2246(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)从图象能得出他从图象能得出他们的性质吗们的性质吗? y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在 R R上上 增增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在在 R R上上 增增在在0 0，+）上增，）上增，在（在（-，00上减上减, ,在在0 0，+）上增，）上增，在在(0(0
5、，+)+)上减上减幂函数的性质幂函数的性质: :.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义, ,并且函数图并且函数图象都通过点象都通过点(1,1(1,1);. .如果如果 0,0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ;幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中 的不同而各异的不同而各异. . .如果如果 0,0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(1,1),(1,1),并在并在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数; ; 方法技巧
6、方法技巧: :分子有理化分子有理化证明幂函数证明幂函数 在在0 0，+）上是增函数）上是增函数. 证法二证法二: 任取任取x1 ,x2 0，+）,且且x1 x2 ； (1)(1)作差法作差法: :若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子, ,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法: :证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数, ,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2) )。即即所以所以例例2 比较下列两个代数式值的大小：比较下列两个代数式值的大小： 解：（解：（1）考察幂函数）考察幂函数 在区间在区间0,
7、+)上单调增上单调增函数函数. 因为因为 所以所以 （2）考察幂函数考察幂函数 在区间在区间(0, +)上是单调减函上是单调减函数数. 因为因为 所以所以练习：练习： 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 ( 3 )解解:(1)y= x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5例例题题3 ：如如果果函函数数 是是幂幂函函数数，且且在在区区间间（0，+）内内是是减减函函数数，求求满满足条件的实数足条件的实数m的集合。的集合。解解:依题意依题意,得得解方程解方程,得得 m=2m=2或或m=-1m=-1检验检验:当当 m=2m=2时时,函数为函数为符合题意符合题意.当当m=-1m=-1时时,函数为函数为不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=2m=2练习：练习：幂函数幂函数定义定义五个特殊幂函数五个特殊幂函数图象图象基本性质基本性质本节知识结构本节知识结构: 课堂小结：课堂小结：
