《（北京专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 空间向量及其运算课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北京专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 空间向量及其运算课件 理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节空间向量及其运算总纲目录教材研读1.空间向量的有关概念考点突破2.空间向量中的有关定理3.空间向量的数量积及运算律考点二共线、共面向量定理的应用考点二共线、共面向量定理的应用考点一空间向量的线性运算空间向量的线性运算4.空间向量的坐标表示及其应用考点三利用空间向量证明平行或垂直考点三利用空间向量证明平行或垂直教材研读教材研读1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念2.空间向量中的有关定理空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数,使得b=a.推论如图所示,点P在l上的充要条件是=+ta(O为空间上任意一点).(*)其中a叫直线l的方向向量,t
2、R,在l上取=a,则(*)可化为=+t或=(1-t)+t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中x,yR,a,b为不共线向量,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O,有=+x+y或=u+v+w,其中u+v+w=1.(3)空间向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任意一向量,那么存在唯一一组实数1,2,3,使得a=1e1+2e2+3e3,其中e1,e2,e3叫做这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念(i)两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则AOB叫做
3、向量a与b的夹角,记作,其范围是0,若=,则称a与b互相垂直互相垂直,记作ab.(ii)两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cos叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cos.(2)空间向量数量积的运算律结合律:(a)b=(ab);交换律:ab=ba;分配律:a(b+c)=ab+ac.4.空间向量的坐标表示及其应用空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).5.两个重要向量两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线
4、l平面,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.1.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()A.2,B.-,C.-3,2D.2,2A答案答案Aab,b=ka(kR),即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),解得或2.若平面、的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.与相交但不垂直D.以上均不正确C答案答案C由题意知n1与n2不平行,又n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0,n1与n2不垂直,与相交但不垂直.故选C.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中
5、,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x,y的值分别为()A.x=1,y=1B.x=1,y=C.x=,y=D.x=,y=1C答案答案C易求=+,故x=y=.4.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)(a-b)的值为-13.答案答案-13解析解析(a+b)(a-b)=a2-b2=42+(-2)2+(-4)2-62+(-3)2+22=-13.5.下列命题:若A、B、C、D是空间任意四点,则有+=0;|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;若a、b共线,则a与b所在直线平行;对于空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(其中x,y,zR),
6、则P、A、B、C四点共面.其中不正确的命题是.答案答案解析解析正确;对于,|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充分不必要条件;对于,a与b所在的直线可能是同一条直线;对于,必须满足x+y+z=1,故错.考点一空间向量的线性运算考点一空间向量的线性运算考点突破考点突破典例典例1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3)+.解析解析(1)P是C1D1的中点,=+=a+=a+c+=a+c+b.(2)N是BC的中点,=+=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.(3)M是A
7、A1的中点,=+=+=-a+=a+b+c,又=+=+=+=c+a,+=+=a+b+c.方法技巧方法技巧用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.1-1在本例的条件下,若=xa+yb+zc,求x,y,z的值.解析解析=+=-+=-+=-a+b+c,x=-,y=1,z=.典例典例2已知点A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(+).(1)判断,三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.考点二考点二共线、共面向量定理的应用共线
8、、共面向量定理的应用解析解析(1)由已知得+=3,所以-=(-)+(-),即=+=-,所以,共面.(2)由(1)知,共面,又它们有公共点M,所以四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.方法技巧方法技巧1.证明点共线的方法证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A,B,C三点共线,即证明,共线,亦即证明=(0).2.证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如果证明P,A,B,C四点共面,只要能证明=x+y或对空间任一点O,有=+x+y或=u+v+w(u+v+w=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.2-1如图所示,已知斜三棱柱ABC-A
9、1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0k1).向量是否与向量,共面?解析解析=k,=k,=+=k+k=k(+)+=k(+)+=k+=-k=-k(+)=(1-k)-k,由共面向量定理知向量与向量,共面.典例典例3如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.考点三利用空间向量证明平行或垂直考点三利用空间向量证明平行或垂直证明证明(1)取BC的中点O,连接PO,平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形,PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原
10、点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).=(-2,-1,0),=(1,-2,-).=(-2)1+(-1)(-2)+0(-)=0,PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.=,=(1,0,-),=1+00+(-)=0,即DMPB.=1+0(-2)+(-)=0,即DMPA.又PAPB=P,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.方法技巧方法技巧1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:只需证明两直线
11、的方向向量是共线向量.(2)线面平行:证明直线的方向向量能用平面的两个基向量表示,或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(3)面面平行:证明两平面的法向量是共线向量.转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.3-1如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM平面BDE;(2)AM平面BDF.证明证明(1)以C为坐标原点,CD,CB,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBD=N,连接NE.则点N,E的坐标分别为,(0,0,1).=.又点A,M的坐标分别是(,0),=.=且NE与AM不共线.NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)由(1)知=,D(,0,0),F(,1),=(0,1).=0.同理可证.又DFBF=F,DF平面BDF,BF平面BDF,AM平面BDF.
