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1、几何证明角平分线模型几何证明角平分线模型( (中级中级) )【知识要点】、角平分线：、角平分线：1角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等作用：证明两条线段相等；2逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线。2 2、角平分线常见用法或辅助线作法：、角平分线常见用法或辅助线作法：垂两边：垂两边：如图 1，BP平分ABC，过点P作PA AB，PC BC，那么PA PC。截两边：截两边：如图 2，BP平分MBN，点A BM上，在BN上截取BC BA，那么ABPCBP。角平分线角平分线+ +平行线等腰三角形：平行线等腰
2、三角形：如图 3，BP平分ABC，PA/ /AC，那么AB AP；如图 4，BP平分ABC，EF / /PB，那么BE BF。B BP PC CMMA AA AA AP PB BC CN NA AP PB BC CB BE EP PC CF F (1) (2) (3) (4)三线合一利用角平分线三线合一利用角平分线+ +垂线等腰三角形垂线等腰三角形：如图 5，AD平分BAC，且AD BC，那么AB AC，BD CD。B BD DC CA A53 3、角平分线比例定理、角平分线比例定理如图 6，AD为ABC的角平分线，那么A AABBDABAC或。ACCDBDCDB BD DC C6【经典例题】
3、供学习参考例例 1 1、如图，ABC中，BC AC，AD平分CAB，假设C 90，求证：AB AC CD；例例 2 2、如图，在RtABC中，ACB 90，CD AB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EG/ AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？C CF FE EA AD DG GB B例例 3 3、如图，ABC中，BC AC，AD平分CAB，假设C 108，求证：AB AC BD；例例 4 4、如图：I是ABC的内心，DI / /AB交BC于点D，EI / /AC交BC于E。求证：DIE的周长等于BC。A AI IB BD DE EC C例例 5 5、如图：在ABC中，
4、ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DEBC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF BE FC。供学习参考A AE EF FD DB BC CMM例例 6 6、如图，ABC中BAC 90 , AB AC,CD垂直于ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE 2CD。A AD DE EB BC C【提升训练】【提升训练】1、如图，ABC的周长是21,OB,OC分别平分ABC和ACB，OD BC于D，且OD 3，求ABC供学习参考的面积A AO OB BD DC C2如图， ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60其三条角平分线交于点 O，那么 S ABO：S
5、 BCO：S CAO=3如图，AOB=30，OP 平分AOB，PCOB，PDOB，如果 PC=6，那么 PD 等于4如图，AD 是 ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG， ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39，求 EDF 的面积5 如图在 ABC 中， ACB=90， CDAB 于 D， A 的平分线交 CD 于 F， BC 于 E， 过点 E 作 EHAB 于 H 求证：EC=CF=EH6：如图，平行四边形 ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形供学习参考7如图，等边 ABC 中，AO 是BAC 的角平分线，D 为 AO
6、 上一点，以CD 为一边且在 CD 下方作等边 CDE，连接 BE1求证： ACDBCE；2延长 BE 至 Q，P 为 BQ 上一点，连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5，假设 BC=8 时，求 PQ 的长8如图，在 ABC 中，B=90，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离都相等，那么这个距离是多少？9：如图在 ABC 中，C=90，AD 平分BAC，交 BC 于 D，假设 BC=32，且 BD：CD=9：7，求：D 到 AB边的距离10如图， ABC 中，点 D 在 BC 上，记 ABD 的面积为 S1， ACD 的面积为 S2，假设 S1：S2=AB：AC，那么
7、AD 是 ABC 的角平分线请说明理由11、如图， 在ABC中，分别以AC,BC为边向外作正BCE、正ACD，BD与AE交于M，求证： 1AE BD。2MC平分DME。供学习参考D DC CE EMMA AB B12、 ： 如图，AP、CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线， 它们交于点P， 求证：BP为MBN的平分线。MMA AP PB BC CN N13、如图，AB 2AC,BAD DAC,DA DB，求证：DC AC。A AB BC CD D14、如图，ACBD、EA、EB分别平分CAB和DBA,CD过点E，求证：AB AC BD。C CE ED DA AB B15、如图，ABC中，
8、AD是A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且EDF BAF 180，求证：DE DF。供学习参考A AE EF FC CB BD D16、：AC平分BAD，CE AB，B D 180，求证：AE AD BE。C CD DA AE EB B17、，在ABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF / BC交AB于E，交AC于F。求证：EF BE CF。A AE EP PF FB BC C18、如图，AD平分BAC，AC AB BD，求证：B 2C。A AB BD DC C19、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CE AB于E，并且AE 证：ABC ADC 180。1(AB A
9、D)，求2供学习参考D DC CA AE EB B20、ABC中，AB AC，GE过A且GE/BC，B的平分线与AC和GE分别交于D、E，C的平分线与AB和GE分别交于F、G。求证DE FG。G GA AE EF FD DB BC C21、如图，线段ABCD，AD与BC相交于点F，BE平分ABC，AE 1AD，猜想线段AB、2C CF FE ED DBC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。A AB B22、如图，ABC中，CE平分ACB，且AE CE，AEDCAE 180，求证：DE/BC。A AD DE EB BC C23如下列图，在四边形 ABCD 中，A=90，AD
10、=4，连接 BD，BDCD，ADB=C假设 P 是 BC 边上一动点，那么 DP 长的最小值为供学习参考24如下列图，过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN，使 AMBN，MAB 和NBA 的平分线交于点 E，过点 E 作一直线垂直于 AM，垂足为点 D，交 BN 于点 C1观察 DE、EC，你有什么发现？请证明你的结论；2请你再研究 AD+BC 与 AB 的关系，并给予证明25：如下列图，AQ，BM，CN 是 ABC 的三条角平分线试说明 AQ，BM，CN 交于一点26如图， ABC 中，C=90，AD 是角平分线，AC=8，AD=，求B、BC、AB27如图，BAC=90，ADBC 于点
11、 D，1=2，EFBC 交 AC 于点 F试说明 AE=CF28如图，点 B，C 分别在射线 AN，AM 上，MCB 与NBC 的平分线交于点 P1求证：AP 平分BAC；2假设ACB=90，PC=4，PB=5，AB=7，求 AP 的长供学习参考29如图， ABC 中，AC=BC，AD 平分BAC，假设 AC+CD=AB，求C 的度数30如图，在 ABC 中，C=90，M 为 AB 的中点，DMAB，CD 平分ACB，求证：MD=AM31如图， ABC 中，D 为 BC 的中点，DEBC 交BAC 的平分线于 E，EFAB，交 AB 于 F，EGAC，交AC 的延长线于 G，试问：BF 与 C
12、G 的大小如何？证明你的结论32 ： 点 P 为EAF 平分线上一点， PBAE 于 B， PCAF 于 C， 点 M、 N 分别是射线 AE、 AF 上的点， 且 PM=PN1当点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 的延长线上时如图 1，求证：BM=CN；2在1的条件下，AM+AN=AC；3当点 M 在线段 AB 的延长线上时如图 2，假设 AC：PC=2：1，PC=4，求四边形 ANPM 的面积供学习参考33：DAB=120，AC 平分DAB，B+D=1801如图 1，当B=D 时，求证：AB+AD=AC；2如图 2，当B D 时，猜想1中的结论是否发生改变并说明理由34、如图，MAN 120，AC平分MAN，ABC ADC 90，那么能得如下两个结论：DC BC；AD AB AC；(1) 请你证明结论；2在图2中，把1中的条件“ABC ADC 90改为ABC ADC 180，其他条件不变，那么1中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由。MMMMC CC CD DD DA A(1)(1)B BN NA A(2)(2)B BN N供学习参考
