《2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线 3.3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修2-1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线 3.3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修2-1.ppt（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3.2 2双曲线的简单性质知识拓展1.等轴双曲线:实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=a2.等轴双曲线有两个非常明显的特征:(1)离心率e=;(2)两条渐近线互相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件.2.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.互为共轭的双曲线具有如下性质:(1)它们具有相同的渐近线;(2)它们的四个焦点共圆;记忆方法:将 中的1改为0即为渐近线,1改为-1即为共轭双曲线.【做一做1】 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=x,则该双曲线的离心率e等于()答案:C 解析:由题意知
2、a2=16,即a=4,又e=2,所以c=2a=8,则m=c2-a2=48.答案:48判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. ()(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. ()(3)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. () 探究一探究二探究三思维辨析双曲双曲线线的的简单简单性性质质【例1】 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.思维点拨:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量.探究一探究二探究三思维辨析反思
3、感悟已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是不是标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,再由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 () 答案:(1)D(2)C 探究一探究二探究三思维辨析由双曲由双曲线线的性的性质质求双曲求双曲线线方程方程 思维点拨:双曲线焦点不确定,可分情况讨论;也可由共渐近线的双曲线系方程求解,这样可避免讨论.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三
4、思维辨析解:(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时, 探究一探究二探究三思维辨析直直线线与双曲与双曲线线的位置关系的位置关系【例3】 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线:(1)有两个公共点?(2)有一个公共点?(3)没有公共点?当4-k2=0,即k=2时,方程(*)无解;当4-k20时,=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2),当0,即-2k2时,方程(*)有两解;当0,即k2时,方程(*)无解;当=0,且4-k20时,不存在这样的k值.综上所述,(1)当-2k2时,直线与双曲线有两个公共点;探究一探究二探究三思维辨析(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点
5、的k值;(3)当k-2或k2时,直线与双曲线没有公共点.反思感悟直线与双曲线的位置关系的判断思路:利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题,要注意讨论转化以后的方程的二次项系数.即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式,得到直线与双曲线的公共点个数.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.(1)求线段AB的长;(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?探究一探究二探究三思维辨析x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)
6、+1=0,经检验a=1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.探究一探究二探究三思维辨析因忽视二次项系数是否为零而致误【典例】 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且仅有一个公共点,则k的值为.易错分析:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也只有一个交点.探究一探究二探究三思维辨析当1-k20,即k1时,上述方程为二次方程.直线和双曲线有且仅有一个公共点,当k=1时,直线和双曲线的渐近线平行,此时有且仅有一个公共点.纠错心得将直线与双曲线方程联立,当二次项系数为0时,所得直线与双曲线的渐近线平行,此时交点个数为一个,当二次项系数不为0时,由=0,得此时直线与双曲线相切,交点个数为一个.
7、探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练直线l:ax-y-1=0与双曲线C:x2-2y2=1相交于P,Q两点.(1)当实数a为何值时,|PQ|=2 ;(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 探究一探究二探究三思维辨析由弦长公式,得 与已知联立,得a2=1.故所求的实数a=1.(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则由OPOQ,得x1x2+y1y2=0,从而得a2=-2,这与实数的性质矛盾,故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆过坐标原点.123451.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于() 解析:曲线mx2+y2=1是双曲线,m0,b0)的两焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为()答案:A 1234512345答案:3 123455.求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
