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1、一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分(jfn)的概的概念与性质念与性质假设曲线形细长构件(gujin)在空间所占弧段为AB , 其线密度(md)为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.1.引例: 曲线形构件的质量采用第1页/共27页第一页，共28页。设 是空间中一条(y tio)有限长的光滑曲线,义在 上的一个(y )有界函数, 都存在(cnzi), 上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对第2页/共27页第二
2、页，共28页。如果如果L是是xOy面上面上(minshn)的曲线弧的曲线弧,如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共27页第三页，共28页。3.性质性质(xngzh)（, 为常数(chngsh)( 由 组成) ( l 为曲线(qxin)弧 的长度)第4页/共27页第四页，共28页。二、对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分(jfn)的的计算法计算法基本思路:计算(j sun)定积分转 化
3、定理(dngl):且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 第5页/共27页第五页，共28页。点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则第6页/共27页第六页，共28页。说明(shumng):因此积分(jfn)限必须满足(2) 注意(zh y)到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此第7页/共27页第七页，共28页。如果如果(rgu)曲线曲线L的方程为的方程为则有如果方程(fngchng)为极坐标形式:则推广(tugung): 设空间曲线弧的参数方程为则第8页/共27页第八页，共28页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng) L 是抛物
4、线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)第9页/共27页第九页，共28页。例例2.计算计算(jsun)曲线曲线积分积分其中(qzhng) 为螺旋的一段弧.解: 线第10页/共27页第十页，共28页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng) 为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知(k zh)第11页/共27页第十一页，共28页。思考思考(sko):例例5中中 改为改为计算(j sun)解: 令, 则圆 的形心在原点, 故, 如何(rh)利用形心公式第12页/共27页第十二页，共28页。例例4.计算计算(jsun)其中(qzhng) 为球面解: 化为参数(
5、cnsh)方程 则第13页/共27页第十三页，共28页。内容内容(nirng(nirng) )小结小结1. 定义(dngy)2. 性质(xngzh)( l 曲线弧 的长度)第14页/共27页第十四页，共28页。3.计算计算(jsun) 对光滑(gung hu)曲线弧 对光滑(gung hu)曲线弧 对光滑曲线弧第15页/共27页第十五页，共28页。练习题1. 设 C 是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求2. 已知椭圆(tuyun)周长为a , 求第16页/共27页第十六页，共28页。练习题练习题1. 设 C 是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求提
6、示: 分段(fn dun)积分第17页/共27页第十七页，共28页。2. 已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a , 求提示(tsh):原式 =利用对称性分析:第18页/共27页第十八页，共28页。第二节第二节一、对坐标的曲线积分的概念(ginin) 与性质二、 对坐标的曲线积分(jfn)的计算法 三、两类曲线(qxin)积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 第19页/共27页第十九页，共28页。一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念(ginin)与性质与性质1. 引例(yn l): 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下(rxi)变力作用在 xOy 平面内从点 A
7、沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第20页/共27页第二十页，共28页。1)“大化大化(dhu)小小”.2) “常代变”把L分成(fn chn) n 个小弧段,有向小弧段近似(jn s)代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第21页/共27页第二十一页，共28页。3)“近似近似(jns)和和”4) “取极限(jxin)”(其中(qzhng) 为 n 个小弧段的 最大长度)第22页/共27页第二十二页，共28页。2.定义定义(dngy).设 L 为xOy 平面(pngmin)内从
8、A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意(rny)分割和在局部弧段上任意(rny)取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作第23页/共27页第二十三页，共28页。若 为空间(kngjin)曲线弧 , 记称为对 x 的曲线(qxin)积分;称为对 y 的曲线(qxin)积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 第24页/共27页第二十四页，共28页。3.性质性质(xngzh)(1) 若 L 可分成(fn chn) k 条有向光滑曲线弧(2) 用L
9、表示(biosh) L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !第25页/共27页第二十五页，共28页。作业(zuy)P190 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质。第1页/共27页。设 是空间中一条有限长的光滑曲线,。义在 上的一个有界函数(hnsh),。若通过对 的任意分割。(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例。第3页/共27页。（, 为常数)。上点 O (0,0)。思考: 例5中 改为。圆 的形心在原点, 故。把L分成 n 个小弧段,。2. 定义.。若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,。在有向曲线弧 L 上。感谢您的欣赏第二十八页，共28页。
