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1、新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习总复习总复习第十二单元第十二单元坐标系与方程坐标系与方程知识体系考纲解读1.坐标系坐标系.(1)理解坐标系的作用理解坐标系的作用.(2)了了解解在在平平面面直直角角坐坐标标系系伸伸缩缩变变换换作作用下平面图形的变化情况用下平面图形的变化情况.(3)能能在在极极坐坐标标系系中中用用极极坐坐标标表表示示点点的的位位置置，理理解解在在极极坐坐标标系系和和平平面面直直角角坐坐标标系系中中表表示示点点的的位位置置的的区区别别，能能进进行行极极坐坐标标与与直角坐标的互化直角坐标的互化.(4)能能在在极极坐坐标标系系中中给给出出简简单单图图
2、形形（如如过过极极点点的的直直线线、过过极极点点或或圆圆心心在在极极点点的的圆圆）的的方方程程，通通过过比比较较这这些些图图形形在在极极坐坐标标系系和和平平面面直直角角坐坐标标系系中中的的方方程程，理理解解用用方方程程表表示示平平面面图图形形时时选选择择适适当当的的坐标系的意义坐标系的意义.(5)了了解解柱柱坐坐标标系系、球球坐坐标标系系中中表表示示空空间间中中点点的的位位置置的的方方法法，并并与与空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示点点的的位位置置的的方方法法相相比比较较，了解它们的区别了解它们的区别.2.参数方程参数方程.(1)了解参数方程，了解参数的意义了解参数方程，了解参数的意义.
3、(2)能能选选择择适适当当的的参参数数写写出出直直线线、圆圆和和圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程.(3)了了解解平平摆摆线线、渐渐开开线线的的生生成成过过程程，并能推导出它们的参数方程并能推导出它们的参数方程.(4)了了解解其其他他摆摆线线生生成成过过程程，了了解解摆摆线线在在实实际际中中的的应应用用，了了解解摆摆线线在在表表示示行行星星运运动轨道中的作用动轨道中的作用.极坐标系及简单的极坐标方程极坐标系及简单的极坐标方程第第80讲讲极坐标系及简单的极极坐标系及简单的极坐标方程坐标方程 能能在在极极坐坐标标系系中中用用极极坐坐标标表表示示点点的的位位置置，能能进进行行极极坐坐标标与与直直角
4、角坐坐标标的的互互化化，掌掌握握直直线线与与圆圆的的极坐标方程极坐标方程.1.已已知知点点M(,)，则则M点点关关于于极极点点对对称称的的点点N的极坐标是的极坐标是( ) AA.(,+) B.(,-)C.(,-) D.(,2-)2.已已知知点点M的的直直角角坐坐标标为为(2,-2)，则则其其极极坐坐标是标是( )BA.(2 , ) B.(2 ,- )C.(2 , ) D.(2 , )3.在在极极坐坐标标系系中中，过过点点M(2, )，且且平平行行于于极轴的直线的极坐标方程是极轴的直线的极坐标方程是 .sin=2 如如图图,设设P(,)为为直直线线上上任任意意一一点点，在在RtOMP中中，cos
5、( -)=2,即即sin=2.4.极坐标方程为极坐标方程为=2cos的圆的半径是的圆的半径是 . 15.极极坐坐标标方方程程分分别别是是=cos和和=sin的的两两个个圆的圆心距是圆的圆心距是 . =cos是是圆圆心心为为( ,0)，半半径径为为 的的圆圆;=sin是是圆圆心心为为（ , ）,半半径径为为 的的圆圆，故故两圆的圆心距为两圆的圆心距为 .1.坐标系的类型坐标系的类型(1)直直线线上上的的点点的的坐坐标标;(2)平平面面直直角角坐坐标标系系;(3) 系系;(4)柱柱坐坐标标系系;(5)球球坐坐标系标系.2.坐标之间互化坐标之间互化(1)极极坐坐标标M(,)化化为为平平面面直直角角坐
6、坐标标M(x,y): . .极坐标极坐标x=cosy=sin(2)空空间间点点P的的直直角角坐坐标标（x,y,z）与与柱柱坐标坐标(,z)之间的变换公式为：之间的变换公式为：x=cosy=sinz=z.柱柱坐坐标标系系又又称称半半极极坐坐标标系系，它它是是由由平平面面极极坐坐标标系系及及空空间间直直角角坐坐标标系系的的一一部部分分建立起来的建立起来的.(3)空空 间间 点点 P的的 直直 角角 坐坐 标标（x,y,z）与与球球坐坐标标（r,）之之间的变换关系为间的变换关系为x=rsincosy=rsinsinz=rcos.3.直线与圆的极坐标方程直线与圆的极坐标方程曲线曲线位置位置极坐标方程极
7、坐标方程直角坐标方程直角坐标方程直直线线过极点，并且与过极点，并且与极轴所成的角为极轴所成的角为= .不过极点不过极点,和极轴和极轴所成的角为所成的角为，到极点的距离为到极点的距离为p . . xsin-ycos =py=xtansin(-)=p直直线线平行于极轴，到平行于极轴，到极轴的距离为极轴的距离为b .y=b垂直于极轴，和垂直于极轴，和极点的距离为极点的距离为acos=a .过点过点(1,1)，和，和极轴所成的角为极轴所成的角为 . .y-1sin1=tan(x-1cos1) sin=bx=a圆圆圆心在极点圆心在极点,半径半径为为r .x2+y2=r2圆心为圆心为(r,0),半半径为径
8、为r=2rcos .圆心为（圆心为（r, ),半径为半径为r . .x2+y22ry=0=rx22rx+y2=01111=2rsin题型一题型一 点的极坐标表示点的极坐标表示例例1 点点P（- , ）与与曲曲线线C:=sin 的的关关系系是是 . 因为点因为点P(- , )与点与点P( , )是同一点是同一点,且且sin =sin = ,所以点所以点P在曲线在曲线C:=sin 上，上，故点故点P( , )在曲线在曲线C:=sin 上上. 点点A(，)（0），则则点点A的的极极坐坐标标的的一一般般形形式式为为A(,+2k)或或(-，+(2k+1)(kZ). 点点A（5， ）在条件：）在条件：(1
9、)0,(-2,0)下的极坐标是下的极坐标是 ;(2)0，- 0，- 且且0).所所以以点点P的的轨轨迹迹是是与与AB垂垂直直且且与与A的的距距离离为为5的一条直线（除去垂足）的一条直线（除去垂足）.题型四题型四 极坐标及极坐标方程的应用极坐标及极坐标方程的应用例例4 已已知知A、B两两点点的的极极坐坐标标分分别别为为(-3, )、(5,- ),求求|AB|和和AOB的面积（其中点的面积（其中点O为极点）为极点）. 在在AOB中中，因因为为A、B两两点点的的坐坐标标分分别别为为(-3， )、(5,- ),则则A、B两两点点的的坐坐标标可可化为化为(3, )、(5, ),因而因而OA、OB两边长分
10、别为两边长分别为3、5，夹角夹角AOB= - = ,所以所以|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|OB|cosAOB=34+15 ,所以所以|AB|= ,SAOB= ABsinAOB= 35sin = . 有有关关在在极极坐坐标标系系中中求求线线段段的的长长或或平平面面图图形形面面积积等等问问题题的的求求解解，关关键键是是应应用用点点的的极极坐坐标标的的几几何何意意义义，同同时时应应注注意意：若若0，且且点点M(,)与与P(,)关于极点对称关于极点对称. 已知曲线已知曲线C1与与C2的极坐标方程的极坐标方程分别为分别为cos=3，=4cos(0, 0 )，则曲丝，则曲丝C1与与C2的交
11、点的极的交点的极坐标为坐标为 . cos=3 =4cos =2 =联立方程组联立方程组(0,0 ),解得解得,即两曲线的交点为即两曲线的交点为(2 ， ).(2 ， ) 已已 知知 圆圆 的的 极极 坐坐 标标 方方 程程 为为2+2(cos+ sin)-5=0,求求 直直 线线 = 截圆所得弦截圆所得弦AB的长度的长度. (方方 法法 一一 )圆圆 的的 直直 角角 坐坐 标标 为为(x+1)2+(y+3)2=9,直直线线的的直直角角坐坐标标方方程程为为y=- x,即即 x+y=0.又圆心又圆心(-1,- )到直线到直线 x+y=0的距离为的距离为d= = ，则弦长为则弦长为2 =2 . =
12、 2+2(cos+ sin)-5=0,解得解得2-2-5=0，解得，解得1=1+ ,2=1- ,从而弦长为从而弦长为|1-2|2 .(方法二方法二)由由1.极坐标系和极坐标的理解极坐标系和极坐标的理解.极极坐坐标标系系和和直直角角坐坐标标系系的的最最大大区区别别在在于于：平平面面直直角角坐坐标标系系中中，平平面面上上的的点点与与有有序序数数对对之之间间的的对对应应关关系系是是一一一一对对应应的的；而而极极坐坐标标系系中中，对对于于给给定定的的有有序序数数对对(,),可可以以确确定定平平面面上上的的一一点点，但但是是平平面面内内的的一一点点的的极极坐标，却不是惟一的坐标，却不是惟一的.一一 般般
13、 的的 ， 若若 (,)是是 点点 M的的 极极 坐坐 标标 ， 则则 (,+2k)(kZ),(-,+2k)(kZ)也也都都是是点点M的的极极坐坐标标.总总之之 ， 点点 M(,)的的 极极 坐坐 标标 可可 以以 是是(,+2k)(kZ).当当规规定定0,02以以后后，平平面面内内的的点点（除除极极点点外外）与与有有序序数数对对就就可可以以一一一一对对应应了了.2.极坐标与直角坐标的互化注意事项极坐标与直角坐标的互化注意事项.(1)极坐标和直角坐标的互化公式是极坐标和直角坐标的互化公式是 x=cos 2=x2+y2y=sin tan= (x0).这这两两组组公公式式必必须须满满足足下下面面的
14、的“三三个个条条件件”才才能能使使用用：()原原点点与与极极点点重重合合；()x轴轴正正半半轴轴与与极极轴轴重重合；合；或或 ()长长度度单单位位相相同同.极极坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的互互化化中中，需需注注意意等等价价性性，特特别别是是两两边边同同乘乘以以n时时，方方程程增增了了一一个个n重重解解=0,要要判判断断它它是是否否是是方方程程的的解解，若若不不是是要要去去掉掉该解该解. (2)由由极极坐坐标标方方程程给给出出的的问问题题，若若不不好好处处理理，就就直直角角坐坐标标化化；由由直直角角坐坐标标方方程程给给出出的的问问题题，若若用用极极坐坐标标方方法法处处理理较为简便，就极坐标化
15、较为简便，就极坐标化.(3)慎慎用用tan= ，如如点点M的的直直角角坐坐标标为为(-1,1),化化为为极极坐坐标标时时，由由tan=-1不不能能确确定定的的取取值值，必必须须结结合合（-1,1) 所所表表示示的的点点所所在在象限的情况确定其极坐标为象限的情况确定其极坐标为(2, ).3.极坐标方程的应用及求法极坐标方程的应用及求法.(1)合合理理建建立立极极坐坐标标系系，使使所所求求曲曲线线方方程简单程简单.(2)巧巧妙妙利利用用直直角角坐坐标标系系与与极极坐坐标标系系中中坐坐标标之之间间的的互互化化公公式式，把把问问题题转转化化为为熟熟悉悉的知识解决问题的知识解决问题.(3)利利用用解解三
16、三角角形形方方法法中中正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理列列出出两两极极坐坐标标、是是求求极极坐坐标系曲线方程的法宝标系曲线方程的法宝.4.常用结论常用结论.极坐标系内点的对称关系：极坐标系内点的对称关系：(1)点点P（,)关关于于极极点点的的对对称称点点为为P(,);(2)点点P(,)关关于于极极轴轴所所在在直直线线的的对对称点为称点为P(,-);(3)点点P(,)关关于于直直线线= 的的对对称称点点为为P(,-);(4)点点P（,)关关于于直直线线= 的的对对称称点点为为P(, -);(5)在在极极坐坐标标下下，A(1,1)，B(2,2)间间的的距离距离|AB|= .学例1 (2009辽辽
17、宁宁卷卷)在在直直角角坐坐标标系系xOy中中，以以O为为极极点点，x轴轴正正半半轴轴为为极极轴轴建建立立极极坐坐标标系系,曲曲线线C的的极极坐坐标标方方程程为为cos(- )=1,M、N分分别为别为C与与x轴、轴、y轴的交点轴的交点. (1)写出写出C的直角坐标方程的直角坐标方程,并求并求M,N的极坐标的极坐标; (2)设设MN的中点为的中点为P,求直线求直线OP的极坐标方程的极坐标方程. (1)由由cos(- )=1得得( cos+ sin)=1.从而从而C的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x+ y=1，即即x+ y=2.=0时，时，=2，所以，所以M(2,0).= 时，时，= ，所以，所以
18、N( , ).(2)M点的直角坐标为（点的直角坐标为（2，0），），N点的直角坐标为点的直角坐标为(0, )，所以所以P点的直角坐标为点的直角坐标为(1, ),则则P点的极坐标为点的极坐标为( , ),所以直线所以直线OP的极坐标方程为的极坐标方程为= ,(-,+).学例2 (2007海南海南/宁夏卷宁夏卷) O1和和 O2的极的极坐标方程分别为坐标方程分别为=4cos,=-4sin. (1)把把 O1和和 O2的极坐标方程化为直角坐的极坐标方程化为直角坐标方程；标方程； (2)求经过求经过 O1和和 O2交点的直线的直角坐交点的直线的直角坐标方程标方程. (1)以以极极点点为为原原点点，极极
19、轴轴为为x轴轴正正半半轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系，且且两两坐坐标标轴轴取相同单位长取相同单位长.因为因为x=cos,y=sin,由由=4cos，得，得2=4cos，所所以以x2+y2=4x,即即x2+y2-4x=0为为 O的的直直角角坐标方程坐标方程.同理同理x2+y2+4y=0为为 O2的直角坐标方程的直角坐标方程. x2+y2-4x=0 x2+y2+4y=0 x1=0 x2=2 y1=0, y2=-2.即即 O1, O2的交点为的交点为(0,0)和和(2,-2)点，点，故过交点的直线的直角坐标方程为故过交点的直线的直角坐标方程为x+y=0.(2)由由,解得解得本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
