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1、2.3.2等比数列的通项公式目标导航预习引导目标导航预习引导1.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.预习预习交流交流1q1时,等比数列an是递增数列吗?提示:不一定,q1,a10时,等比数列an才是递增数列.目标导航预习引导目标导航预习引导预习预习交流交流2在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+q一定成立吗?提示:不一定.若等比数列是非零常数列,则此结论就不一定成立.预习预习交流交流3(1)已知等比数列an中,a1=32,公比,则a6=.(2)在等比数列an中,若a2,a8是方程x2-8x+6=0的两个根,则a4a6=.提示:
2、(1)-1(2)6一二三一、等比数列的通项公式及其应用活动与探究例1在等比数列an中,(1)若a4=27,q=-3,求a7;(2)若a2=18,a4=8,求a1和q.思路分析:根据已知条件分别求出等比数列的首项与公比,利用通项公式求解.解:(1)方法一:由a4=a1q3,得27=a1(-3)3,得a1=-1,a7=a1q6=(-1)(-3)6=-729.方法二:a7=a4q3=27(-3)3=-729.一二三一二三2.等比数列an中,a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求an的通项公式.一二三名师点津名师点津a1,q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解.主要有两
3、种方法:一是根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法;二是充分利用了各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,但它带有一定的技巧性,能简化运算.一二三二、等比数列的性质活动与探究例2(1)在等比数列an中,若a2=2,a6=162,试求a10.(2)等比数列an中,an是正实数,a4a5=8.求log2a1+log2a2+log2a8的值.思路分析:利用等比数列的性质来求简单,一般不通过求a1与q来求.解:(1)方法一:a6=a2q4,其中a2=2,a6=162,q4=81.a10=a6q4=16281=13122.方法二:2,6,10三数成等差数
4、列,a2,a6,a10成等比数列.(2)a1a2a3a8=(a1a8)(a2a7)(a4a5)=(a4a5)4=84=212,log2a1+log2a2+log2a8=log2(a1a2a3a8)=log2212=12.一二三迁移与应用1.在等比数列an中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9=.答案:81解析:由等比数列的性质知a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81.2.已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=.一二三一二三名师点津名师点津1.等比数列
5、有些问题用基本量法解并不一定简单,而避开求a1与q,直接利用等比数列的性质求解,使问题简单明了.因此要熟悉等比数列的性质,并注意性质在解题中的应用.2.此类问题的解答,如果采用直接法计算,有时计算量会很大,甚至会半途而废,运用等比数列的性质,会简化运算过程,要注意领会整体思想,观察整体特征,找到它们的内在联系,选取合适的方法.一二三三、等差、等比数列的综合应用活动与探究例3已知an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.(1)求q的值;(2)设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.思路分析:(1)根据a1,a3,a2成等
6、差数列,怎样建立关于公比q的一元二次方程?(2)比较大小可用什么方法?一二三一二三一二三2.已知an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为.答案:110解析:设等差数列an的首项为a,公差d=-2.则a7=a1+6d=a1-12;a3=a1+2d=a1-4;a9=a1+8d=a1-16.一二三3.等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解:(1)设an的公比为q,由已知得16=2q3,解得:q=2.an=22n-
7、1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.一二三名师点津名师点津等比数列和等差数列一样,在高考中始终处于热点位置.等比数列的判定、通项公式以及等比数列与等差数列的综合已成为高考的热点,题型既有小题又有解答题,难度中等;客观题突出对性质的灵活运用及对概念的理解,主观题考查较全面,在考查基本概念、基本运算的基础上又注重考查函数与方程、等价转化和分类讨论等思想方法.234511.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于()A.64 B.81C.128D.243答案:A解析:设等比数列的公比为q,a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,q=
8、2.又a1+a2=a1+a1q=3,3a1=3.a1=1.a7=26=64.623451答案:A解析:1,a1,a2,4成等差数列,3(a2-a1)=4-1,a2-a1=1.又1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,6234513.等比数列an中,a20+a21=10,a22+a23=20,则a28+a29=.答案:160解析:a22+a23=q2a20+q2a21=q2(a20+a21),即20=q210.q2=2.a28+a29=q6(a22+a23)=160.6234514.已知an是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5的值等于.答案:5解析:由等比中项的定义知6234516234156
