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1、第十一节第十一节 曲线的曲率曲线的曲率本节要点本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方一、曲率的概念一、曲率的概念二、曲率的计算公式二、曲率的计算公式法法. 1.问题的引出问题的引出 在下图中在下图中, 我们看到弧段我们看到弧段到点到点 再到点再到点 时时, 一、曲率的概念一、曲率的概念得比较比较厉害得比较比较厉害. 大的差异大的差异.比较平坦比较平坦, 而弧段而弧段 弯曲弯曲点沿这段弧从点点沿这段弧从点 到到切线所转过的角有较切线所转过的角有较即动即动 但是但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度转角的大小还不能完全反映曲线的弯
2、曲程度.例如在下图中例如在下图中, 两段弧两段弧 与与 有相同的切线转有相同的切线转角角, 但曲线的弯曲程度则是不同的但曲线的弯曲程度则是不同的. 2.曲率的概念曲率的概念则则 的弧长为的弧长为 设平面曲线设平面曲线 是光滑的是光滑的, 在在 上取一点上取一点 作为度量弧作为度量弧度的基点度的基点, 设点设点 是曲线上任意一点是曲线上任意一点, 弧弧 的弧长的弧长为为 点点 是曲线是曲线 上的另外一点上的另外一点, 弧弧 的弧长为的弧长为点点 处切线的倾处切线的倾角为角为 处切线的倾角为处切线的倾角为 切线的转角为切线的转角为称称 为弧段为弧段 的的平均曲率平均曲率, 记为记为 即即若当若当
3、时时, 平均曲率的极限存在平均曲率的极限存在, 则称此极限为则称此极限为曲线曲线 在点在点 处的处的曲率曲率, 记为记为 即即从而曲率从而曲率即即: 直线上任意点处的曲率为零直线上任意点处的曲率为零.例例1 对直线而言对直线而言, 动点从动点从 到到 相应的切线的转角相应的切线的转角为为 则则因而因而, 此说明圆周上每一点的曲率相同此说明圆周上每一点的曲率相同,例例2 设曲线是半径为设曲线是半径为 的圆的圆, 则则 平均曲平均曲率为率为且等于半径的倒数且等于半径的倒数.二、曲率的计算公式二、曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程为设曲线的直角坐标方程为 即曲即曲线是光滑的线是光滑的. 在曲线上取
4、定点在曲线上取定点 作为度量弧长作为度量弧长的基点的基点, 并且设曲线在区间并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为上对应的一段弧长为曲线上的点曲线上的点 与与之间的一段弧长为之间的一段弧长为而线段而线段 的长度为的长度为并注意到并注意到因因又因又因, 即即从而从而由此即得由此即得:其中其中:若曲线若曲线 由参数方程由参数方程则则例例3 求求 在任意点处的曲率在任意点处的曲率.解解 因因 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为由计算公式得曲线在任一点处的曲率为注意到注意到. 此说明当此说明当 或或 曲线就越平坦曲线就越平坦.例例4 计算抛物线计算抛物线 上任意一点处的曲上任意一点处的曲解解 因因 代入
5、公式代入公式得得由于在上式中由于在上式中, 分子为常数分子为常数, 故当故当 时时, 曲曲率率达到最大达到最大, 即当即当 曲率取最大值曲率取最大值, 此时此时, 对对率率, 并求出曲率最大处的位置并求出曲率最大处的位置.应曲线上的点为抛物线的顶点应曲线上的点为抛物线的顶点. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 设曲线设曲线 在点在点 处的曲率为处的曲率为 作出作出点点 处曲线处曲线 的法线的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取并且在曲线凹向一侧的法线上取点点 使使 以以 为圆心为圆心, 为半径作圆为半径作圆,称该圆为曲线称该圆为曲线 在点在点 的曲率的曲率圆圆, 为曲线为曲线 在在 处的曲率处
6、的曲率 中心中心, 半径半径 称为曲线称为曲线 在点在点 处的曲率半径处的曲率半径. 由定义可知由定义可知, 曲线曲线 在点在点 处与其曲率圆有相同的切处与其曲率圆有相同的切线与曲率线与曲率, 并且在点并且在点 的邻近处有相同的凹向的邻近处有相同的凹向.例例5 求曲线求曲线 上的点上的点, 使曲线在该点的曲率为最使曲线在该点的曲率为最解解 由例由例3, 知曲线在任意点的曲率为知曲线在任意点的曲率为 求导得求导得大大, 并求相应的曲率圆并求相应的曲率圆. 的图形的图形令令曲率半径为曲率半径为 点的坐标为点的坐标为 法线斜法线斜率为率为 法线方程为法线方程为此时曲率为此时曲率为在法线上求一点在法线
7、上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径使该点与所给点的距离等于半径. 即有即有将法线方程代入将法线方程代入, 则有则有得得 从而得到圆心坐标为从而得到圆心坐标为因而曲率圆方程为因而曲率圆方程为例例6 铁路弯道的缓和曲线铁路弯道的缓和曲线曲率是零曲率是零, 而半径为而半径为 的圆弧的曲率是的圆弧的曲率是 如果直道如果直道圆弧形的（称为主弯道）圆弧形的（称为主弯道）. 为了使列车在转弯时既平稳为了使列车在转弯时既平稳又安全又安全, 除了必须使直道与弯道相切外除了必须使直道与弯道相切外, 还须考虑轨还须考虑轨道道曲线的曲率在切点邻近连续地变化曲线的曲率在切点邻近连续地变化. 我们知道我们知道, 直
8、线直线的的与圆弧直接相切与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度则在切点处曲率有一跳跃度. 只有只有当当 充分大充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并但这并不不符合实际符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲缓和曲线线的弯道的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到才使得铁轨的曲率连续地从零过度到铁路弯道的主要部分是呈铁路弯道的主要部分是呈圆弧道（主弯道）圆弧道（主弯道）直道直道缓和弯道缓和弯道 目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线. 在上图在上图中中, 以以 表示直道表示直道, 表示半径为表示半径为 的圆弧弯的圆弧弯道道, 表示缓和弯道表示缓和弯道, 设设 点的坐标为点的坐标为 并设并设 的方程为的方程为 其中其中 为缓和曲线为缓和曲线 的长度的长度,是待定常数是待定常数.由于由于 的曲率的曲率可见当可见当 从从 变化至变化至 时时, 曲率连续地从曲率连续地从 变到变到因因 故故由于在实际中由于在实际中, 总是把比值总是把比值 取得比较小取得比较小, 使得使得故取故取 时时, 有有 从而得到缓和曲线方程从而得到缓和曲线方程
