《高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数主题主题1 1 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系1.1.如图如图1 1表示跳水运动中高度表示跳水运动中高度h h随时间随时间t t变化的函数变化的函数h(th(t) )4.9t4.9t26.5t6.5t1010的图象，图的图象，图2 2表示高台跳水表示高台跳水运动员的速度运动员的速度v v随时间随时间t t变化的函数变化的函数 v(tv(t) ) h h(t(t) )9.8t9.8t6.56.5的图象的图象. . (1)(1)运动员从起点到最高点运动员从起点到最高点, ,离水面的高度随时间的离水面的高度随时间的增加而增
2、加增加而增加, ,即即t(0,a)t(0,a)时，时，h(th(t) )是单调是单调_._.此时此时, ,v(tv(t)=)=h(th(t)=-9.8t+6.5)=-9.8t+6.50.0.(2)(2)从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员离水面的高度随时间的运动员离水面的高度随时间的增加而减少增加而减少, ,即即t(a,bt(a,b) )时，时，h(th(t) )是单调是单调_._.相应地相应地, ,v(tv(t)=)=h(th(t)=-9.8t+6.5)=-9.8t+6.50.0.递增递增递减递减2.2.观观察察下下面面函函数数的的图图象象，探探讨讨函函数数的的单单调调性性与与其其导导数
3、数正负的关系，正负的关系， (1)(1)观察图象，完成下列填空观察图象，完成下列填空. .图图中的函数中的函数y yx x的导函数的导函数yy_，此函数的单调，此函数的单调递增区间为递增区间为_；1 1( (，) )图图中的函数中的函数y yx x2的导函数的导函数yy_，此函数的单，此函数的单调递增区间为调递增区间为_，单调递减区间为，单调递减区间为_._.图图中的函数中的函数y yx x3的导函数的导函数yy_，此函数的单，此函数的单调递增区间为调递增区间为_；图图中的函数中的函数y y 的导函数的导函数yy ，此函数的，此函数的单调递减区间为单调递减区间为_._.2x2x(0(0，) )
4、( (，0)0)3x3x2( (，) )( (，0)0)，(0(0，) )(2)(2)根据根据(1)(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？提示：提示：根据根据(1)(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0 0时，此时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0 0时，时，此时对应的函数为减函数此时对应的函数为减函
5、数. .3.3.观察下图，观察下图，请完成下表请完成下表: :区间区间区间区间(-,a)(-,a)(-,a)(-,a)( ( ( (a,ba,ba,ba,b) ) ) )(b,+)(b,+)(b,+)(b,+)y=y=y=y=f(xf(xf(xf(x) ) ) )增增增增_增增增增切线斜率切线斜率切线斜率切线斜率_负负负负_f(xf(xf(xf(x) ) ) )_0 0 0 0减减正正正正0 00 0结论：在区间结论：在区间( (a,ba,b) )内函数的单调性与导数的关系内函数的单调性与导数的关系导数导数导数导数函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性f(xf(xf(xf(x) )
6、) )0 0 0 0单调递单调递单调递单调递_f(xf(xf(xf(x) ) ) )0 0 0 0单调递单调递单调递单调递_f(xf(xf(xf(x)=0)=0)=0)=0常函数常函数常函数常函数增增减减主题主题2 2 函数变化的快慢与导数的关系函数变化的快慢与导数的关系1.1.在同一坐标系中画出函数在同一坐标系中画出函数y y2x2x，y y3x3x，y y ，y yx x2，y yx x3的图象的图象. .提示：提示：这几个函数的图象如图所示这几个函数的图象如图所示. .2.2.观观察察以以上上函函数数的的图图象象，当当x x0 0时时，函函数数增增长长的的快快慢慢与各函数的导数值的大小作
7、对比，你发现了什么？与各函数的导数值的大小作对比，你发现了什么？提提示示：增增长长速速度度快快的的，导导函函数数值值大大，增增长长速速度度慢慢的的，导函数值小导函数值小. .结论：函数变化的快慢与导数间的关系结论：函数变化的快慢与导数间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的一般地，如果一个函数在某一范围内导数的_，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上或向下向上或向下) )；反之，函数；反之，函数的图象就的图象就“平缓平缓”. .绝对值绝对值较大较大导数符号导数符号导数符号导数符号导数变化导数变化导
8、数变化导数变化原函数图象变化原函数图象变化原函数图象变化原函数图象变化大于大于大于大于0 0 0 0为正为正为正为正导数越来越导数越来越导数越来越导数越来越_越来越陡峭越来越陡峭越来越陡峭越来越陡峭导数越来越导数越来越导数越来越导数越来越_越来越平缓越来越平缓越来越平缓越来越平缓小于小于小于小于0 0 0 0为负为负为负为负导数越来越导数越来越导数越来越导数越来越_越来越平缓越来越平缓越来越平缓越来越平缓导数越来越导数越来越导数越来越导数越来越_越来越陡峭越来越陡峭越来越陡峭越来越陡峭大大小小大大小小【微思考微思考】1.1.回忆函数单调性的常规定义，分析用导数研究函回忆函数单调性的常规定义，分
9、析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系？数的单调性与常规定义的联系？提示：提示：增函数时有增函数时有 也即也即 ，对式子对式子 求极限，若极限值大于求极限，若极限值大于0 0，则导数大于，则导数大于0 0，从而为增函数，从而为增函数. .减函数时有减函数时有 也即也即 ，对式子对式子 求极限，若极限值小于求极限，若极限值小于0 0，则导数小于，则导数小于0 0，从而为减函数从而为减函数. .2.2.在在区区间间( (a,ba,b) )上上，如如果果f f(x)(x)0 0，则则f(xf(x) )在在该该区区间间上单调递增上单调递增, ,但反过来也成立吗？但反过来也成立吗？提提示示：不不一一定
10、定成成立立. .例例如如，f(xf(x) )x x3在在R R上上为为增增函函数数，但但f(0)f(0)0 0，即即f(xf(x) )0 0是是f(xf(x) )在在该该区区间间上上单单调调递递增的充分不必要条件增的充分不必要条件. .3.3.如如果果一一个个函函数数具具有有相相同同单单调调性性的的单单调调区区间间不不止止一一个个，那那么么如如何何表表示示这这些些区区间间？函函数数的的单单调调区区间间与与其其定定义义域域满足什么关系？满足什么关系？提提示示：不不能能用用“”连连接接，只只能能用用“，”或或“和和”字字隔隔开开，函函数数的的单单调调性性是是对对函函数数定定义义域域内内的的某某个个
11、子子区区间间而言的，故单调区间是定义域的子集而言的，故单调区间是定义域的子集. .【预习自测预习自测】1.1.函数函数f(xf(x)=)=x+lnx+ln x x在在(0,6)(0,6)上是上是( )( )A.A.单调增函数单调增函数B.B.单调减函数单调减函数C.C.在在 上是减函数，在上是减函数，在 上是增函数上是增函数D.D.在在 上是增函数，在上是增函数，在 上是减函数上是减函数【解析解析】选选A.A.因为因为x(0,6)x(0,6)，所以，所以 ，故函数在故函数在(0,6)(0,6)上单调递增上单调递增. .2.f(x)2.f(x)在在( (a,ba,b) )内可导，若内可导，若f(
12、xf(x) )0 0，则，则f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内是内是( )( )A.A.增函数增函数B.B.减函数减函数C.C.奇函数奇函数D.D.偶函数偶函数【解析解析】选选B.B.易知导函数易知导函数f(xf(x) )0 0，f(xf(x) )单调递减单调递减. .3.3.函数函数y=2-3xy=2-3x2在区间在区间(-1,1)(-1,1)上的增减性为上的增减性为( )( )A.A.增函数增函数B.B.减函数减函数C.C.先增后减先增后减D.D.先减后增先减后增【解解析析】选选C.yC.y=-6x=-6x，故故当当x(-1x(-1，0)0)时时，yy0 0；当当x(0x(0
13、，1)1)时时，yy0 0，所所以以原原函函数数在在区区间间(-1(-1，1)1)上先增后减上先增后减. .4.4.已知函数已知函数y=y=xf(xxf(x) )的图象如图所示的图象如图所示( (其中其中f(xf(x) )是是函数函数f(xf(x) )的导函数的导函数) )，下列四个图象中为，下列四个图象中为y=y=f(xf(x) )的大致的大致图象的是图象的是( )( )【解解析析】选选C.C.由由题题图图知知：当当x x-1-1时时，xf(xxf(x) )0 0，所所以以f(xf(x) )0 0，函数，函数y=y=f(xf(x) )单调递增；单调递增；当当-1-1x x0 0时时，xf(x
14、xf(x) )0 0，所所以以f(xf(x) )0 0，函函数数y=y=f(xf(x) )单调递减；单调递减；当当0 0x x1 1时时，xf(xxf(x) )0 0，所所以以f(xf(x) )0 0，函函数数y=y=f(xf(x) )单调递减；单调递减；当当x x1 1时时，xf(xxf(x) )0 0，所所以以f(xf(x) )0 0，函函数数y=y=f(xf(x) )单调递增单调递增. .5.5.函数函数y=y=x-lnx-ln x x的单调递减区间是的单调递减区间是 . .【解析解析】定义域是定义域是(0,+),(0,+),由由 及定义域及定义域得得0x1,0x0f(x)0；当当x(-
15、1,0)x(-1,0)时，时，f(x)0f(x)0.)0.故故f(xf(x) )在在(-(-，-1)-1)，(0(0，+)+)上单调递增，在上单调递增，在(-1,0)(-1,0)上单调递减上单调递减. .(2)(2)函数的定义域为函数的定义域为(0(0，+)+)， , ,令令f(xf(x) )0 0，解得，解得0 0x x1 1，令令f(xf(x) )0 0，解得，解得x x1 1，所以所以f(xf(x) )在在(0(0，1)1)上单调递增，在上单调递增，在(1(1，+)+)上单调上单调递减递减. .类型一类型一 函数单调区间的判断及求解函数单调区间的判断及求解【典例典例1 1】(1)(201
16、5(1)(2015陕西高考陕西高考) )设设f(xf(x)=x-sin x)=x-sin x，则则f(xf(x)( )( )A.A.既是奇函数又是减函数既是奇函数又是减函数B.B.既是奇函数又是增函数既是奇函数又是增函数C.C.是有零点的减函数是有零点的减函数D.D.是没有零点的奇函数是没有零点的奇函数(2)(2)求函数求函数 的单调区间的单调区间. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用奇偶性的定义判断利用奇偶性的定义判断f(xf(x)=x-sin x)=x-sin x的奇偶性，利用导数判断其单调性的奇偶性，利用导数判断其单调性. .(2)(2)先求导，令导函数值大于先求导，令导函数值大于0
17、 0，得到增区间，令导函，得到增区间，令导函数值小于数值小于0 0，得到减区间，得到减区间. .【解析解析】(1)(1)选选B.B.因为因为f(-xf(-x)=-)=-x-sin(-xx-sin(-x)=-(x-sin x)=-)=-(x-sin x)=-f(xf(x) )，所以，所以f(xf(x) )为为奇函数奇函数. .又又f(xf(x)=1-cos x0)=1-cos x0，所以，所以f(xf(x) )单调递增，单调递增，选选B.B.(2) (2) 的定义域为的定义域为(0,+)(0,+)，则则 ，由由f(xf(x) )0 0得得6x6x2 2-2-20 0，即，即x x2 2 ，则则x
18、 x 或或x x ( (舍舍).).所以递增区间为所以递增区间为 ，由由f(xf(x) )0 0得得6x6x2 2-2-20 0，即，即 ，则，则 x x ，因为，因为x x0 0，所以，所以0 0x x ，所以递减区间为所以递减区间为 . .【方法总结方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域. .(2)(2)求导函数求导函数f(xf(x).).(3)(3)若若求求单单调调区区间间( (或或证证明明单单调调性性) )，只只要要在在函函数数定定义义域域内解内解( (或证明或证明) )不等式不等式f(xf(x)0)0或或
19、f(xf(x)0.)00，解得，解得 x .x .因此，函数因此，函数f(xf(x) )的单调增区间为的单调增区间为 . .令令1-3x1-3x200，解得，解得x x .x .因此，函数因此，函数f(xf(x) )的单调减区间为的单调减区间为 ， . .(2)(2)函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0(0，+).+). . .因为因为x0x0，所以，所以 ，由，由f(xf(x)0)0，解得解得x x ，所以函数所以函数f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 ；由由f(xf(x)0)0，解得，解得x x ，又又x(0x(0，+)+)，所以函数所以函数f(xf(x) )
20、的单调递减区间为的单调递减区间为 . .【补偿训练补偿训练】求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(1) .(1) .(2) .(2) .【解析解析】(1) .(1) .由由f(x)f(x)0,0,解得解得x x-1-1或或x x1 1；由由f(x)f(x)0 0，解得，解得-1-1x x1 1，且，且x0.x0.所以函数的单调递增区间为所以函数的单调递增区间为(-,-1),(1,+)(-,-1),(1,+)；单调递减区间为单调递减区间为(-1,0),(0,1).(-1,0),(0,1).(2) .(2) .令令yy0 0，得，得x x-1-1；令令yy0 0，得，得x x-1.-1.因
21、此，因此， 的单调递增区间为的单调递增区间为(-1(-1，+),+),单调递减区间为单调递减区间为(-,-1).(-,-1).类型二类型二 原函数与导函数图象间的关系原函数与导函数图象间的关系【典典例例2 2】(1)(1)函函数数y=y=f(xf(x) )的的图图象象如如图图所所示示，则则导导函函数数y=y=f(xf(x) )的图象的大致形状是的图象的大致形状是( )( )(2)(2)函数函数y yf(xf(x) )在定义域在定义域 内可导，其图象如内可导，其图象如图，记图，记y yf(xf(x) )的导函数为的导函数为y yf(xf(x) )，则不等式，则不等式f(xf(x) )0 0的解集
22、为的解集为 . .【解解题题指指南南】(1)(1)利利用用函函数数的的单单调调性性判判断断导导数数的的符符号号，利利用用导导数数的的符符号号判判断断导导函函数数图图象象的的位位置置( (在在x x轴轴上上方方还还是下方是下方).).(2)(2)当当函函数数单单调调递递减减时时f(xf(x) )0,0,所所以以只只要要找找出出函函数数的的单调递减区间即可单调递减区间即可. .【解解析析】(1)(1)选选D.D.根根据据图图象象可可知知，函函数数f(xf(x) )先先单单调调递递减减，后后单单调调递递增增，后后为为常常数数，因因此此f(xf(x) )对对应应的的变变化化规规律律为先负，后正，后为零
23、为先负，后正，后为零. .(2)(2)函数函数y yf(xf(x) )在区间在区间 和区间和区间 上单调递上单调递减，所以在区间减，所以在区间 和区间和区间 上，上，y yf(xf(x) )0 0，所以所以f(xf(x) )0 0的解集为的解集为 (2(2，3)3)答案：答案： (2(2，3)3)【延延伸伸探探究究】1.1.若若本本例例(2)(2)中中的的条条件件不不变变，试试求求不不等等式式f(xf(x) )0 0的解集的解集. .【解析解析】根据题目中的图象，函数根据题目中的图象，函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 和区间和区间(1(1，2)2)上函数为增函数，所以在上函数为增函数
24、，所以在区间区间 和区间和区间(1(1，2)2)上上,y=,y=f(xf(x) )0 0，所以所以f(xf(x) )0 0的解集为的解集为 (1,2).(1,2).2.2.若若本本例例(2)(2)中中的的条条件件不不变变，试试求求不不等等式式xf(xxf(x) )0 0的的解集解集. .【解析解析】由典例由典例(2)(2)及延伸探究及延伸探究1 1以及已知条件可知，以及已知条件可知，当当x x 时，函数为减函数，则时，函数为减函数，则f(xf(x) )0 0；当当xx（1 1，2 2）时，函数为增函数，则）时，函数为增函数，则f(xf(x) )0.0.综上可知：综上可知：xf(xxf(x) )
25、0 0的解集为的解集为 （1 1，2 2）. .【方方法法总总结结】判判断断函函数数与与导导数数图图象象间间对对应应关关系系的的两两个个关键关键第第一一：要要弄弄清清所所给给图图象象是是原原函函数数的的图图象象还还是是导导函函数数的的图象图象. .第二：注意以下两个方面：第二：注意以下两个方面：(1)(1)函函数数的的单单调调性性与与其其导导函函数数的的正正、负负的的关关系系：在在某某个个区区间间(a(a，b)b)内内，若若f(xf(x) )0 0，则则y yf(xf(x) )在在(a(a，b)b)上上单单调调递递增增；如如果果f(xf(x) )0 0，则则y yf(xf(x) )在在这这个个
26、区区间间上上单单调调递递减减；若若恒恒有有f(xf(x) )0 0，则则y yf(xf(x) )是是常常数数函函数数，不具有单调性不具有单调性. .(2)(2)导数与函数图象的关系导数与函数图象的关系: :【补偿训练补偿训练】函数函数f(xf(x) )的图象如图所示，则导函数的图象如图所示，则导函数y=y=f(xf(x) )的图象可能是的图象可能是( )( )【解析解析】选选D.D.从原函数从原函数y=y=f(xf(x) )的图象可以看出，其在的图象可以看出，其在区间区间(-,0)(-,0)上是减函数，上是减函数，f(xf(x) )0;0;在区间在区间(0,(0,x x1 1) )上上是增函数
27、是增函数, ,f(xf(x) )0 0；在区间；在区间( (x x1 1,x,x2) )上是减函数，上是减函数，f(xf(x) )0 0；在区间；在区间(x(x2，+)+)上是增函数，上是增函数，f(xf(x) )0.0.结合选项可知，只有结合选项可知，只有D D项满足项满足. .类型三类型三 利用函数的单调性求参数的范围利用函数的单调性求参数的范围【典典例例3 3】(1)(1)若若f(xf(x) )axax3x x在在区区间间1,11,1上上单单调调递增，求递增，求a a的取值范围的取值范围(2)(2017(2)(2017广广州州高高二二检检测测) )设设函函数数f(xf(x)=x)=x2+
28、ax-ln +ax-ln x x，aRaR，若若f(xf(x) )在在区区间间(0(0，1 1上上是是减减函函数数，求求实实数数a a的的取值范围取值范围. .【解解题题指指南南】(1)(1)由由f(xf(x) )axax3x x在在区区间间1,11,1上上单单调调递递增增，可可得得出出利利用用不不等等式式f(x)0f(x)0在在1,11,1上上恒成立，确定恒成立，确定a a的取值范围的取值范围(2)(2)把把 f(xf(x) )在在 区区 间间 (0(0， 1 1 上上 是是 减减 函函 数数 ， 转转 化化 为为f(x)0f(x)0对任意对任意x(0x(0，1 1恒成立恒成立. .【解析解
29、析】(1)f(x)(1)f(x)3ax3ax21 1，因为，因为f(xf(x) )在区间在区间1,11,1上单调递增，所以上单调递增，所以f(xf(x) )3ax3ax21010在在1,11,1上恒成立当上恒成立当x x0 0时，显然成立，当时，显然成立，当x0x0时，时， . .因为因为 在在xx1,0)(0,11,0)(0,1的最大值为的最大值为 ，所以，所以a .a .故故a a的取值范围是的取值范围是 ，）(2) .(2) .因为因为f(xf(x) )在区间在区间(0(0，1 1上是减函数，上是减函数，所以所以f(x)0f(x)0对任意对任意x(0x(0，1 1恒成立，恒成立，即即 对
30、任意对任意x(0x(0，1 1恒成立，恒成立，所以所以 对任意对任意x(0x(0，1 1恒成立恒成立. . 令令 ，所以，所以ag(x)ag(x)minmin，易知，易知g(xg(x) )在在(0(0，1 1上单调递减，所以上单调递减，所以g(x)g(x)minmin=g(1)=-1=g(1)=-1，所以所以a-1.a-1.【延伸探究延伸探究】在本例在本例(1)(1)中中f(xf(x) )axax3x x在区间在区间1,11,1上能否单调递减？上能否单调递减？【解析解析】假设能单调递减，假设能单调递减，f(xf(x) )3ax3ax21 1，因为，因为f(xf(x) )在区间在区间1,11,1
31、上单调递减，所以上单调递减，所以f(xf(x) )3ax3ax21010在在1,11,1上恒成立上恒成立当当x x0 0时，显然不成立，时，显然不成立，当当x0x0时，时， . .因为因为 在在xx1,0)(0,11,0)(0,1上不存在最小值，所以满足条上不存在最小值，所以满足条件的件的a a值不存在值不存在. .所以所以f(xf(x)=ax)=ax3+x+x在区间在区间-1,1-1,1上上不能单调递减不能单调递减. .【方法总结方法总结】已知函数的单调性，求参数的取值范围，已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件应用条件f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)0)，x(ax(a
32、，b)b)恒成立，恒成立，解出参数的取值范围解出参数的取值范围( (一般可用不等式恒成立的理论求一般可用不等式恒成立的理论求解解) )，应注意参数的取值是，应注意参数的取值是f(xf(x) )不恒等于不恒等于0 0的参数的的参数的范围范围. .【巩固训练巩固训练】已知函数已知函数f(xf(x)=(ax)=(ax2+bx+c)e+bx+c)ex在在0,10,1上单调递减且满足上单调递减且满足f(0)=1f(0)=1，f(1)=0f(1)=0，求，求a a的取值范围的取值范围. .【解析解析】由由f(0)=1f(0)=1，f(1)=0f(1)=0，得，得c=1c=1，a+ba+b=-1=-1，则则
33、f(xf(x)=)=axax2-(a+1)x+1-(a+1)x+1e ex, ,f(xf(x)=)=axax2+(a-1)x-a+(a-1)x-ae ex. .依题意需对于任意依题意需对于任意x(0,1)x(0,1)，有，有f(xf(x) )0.0.当当a a0 0时时，因因为为二二次次函函数数y=axy=ax2+(a-1)x-a+(a-1)x-a的的图图象象开开口口向向上上，而而f(0)=-af(0)=-a0 0，所所以以需需f(1)=(a-1)e0f(1)=(a-1)e0，即即0 0a1a1；当当a=0a=0时，对于任意时，对于任意x(0,1),f(x)=-x(0,1),f(x)=-xexex0 0，符合条件；符合条件；当当a a0 0时，时，f(0)=-af(0)=-a0 0，不符合条件，不符合条件. .故故a a的取值范围为的取值范围为0,10,1. .【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结(1)(1)单单调调性性的的判判断断或或证证明明方方法法：求求导导判判断断导导数数正正负负结论结论. .(2)(2)求求单单调调区区间间的的方方法法：求求导导 解解导导数数不不等等式式单单调调区间区间. .
