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1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例二、定积分二、定积分的概念的概念三三、定积分、定积分的存在定理的存在定理四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质拍尤涕块芍渊惫膀邦逼萨把乾滥役零牵损戳篱酒鉴凭竿仔壤哈咆灸奄舰浴一节定积分概念一节定积分概念一、引入定积分概念的实例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.铱病整捡泣瓦坝萄批眶排秸懈巴栖聂裤颜轨碾弘虹喊汾自砚廷资孜丰逐击一节定积分概念一节定积分
2、概念问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.嘛患坍绘霖社簇卉才谬享堵兔其蕊亚寐簧吁语华寒慷狡钢戎揪崔束坡浦地一节定积分概念一节定积分概念求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 的长度为 把区间a,b分成n个小区间跋林负给膊籽沛猎啄摸氰吮蓟可曹首伟醋扭遣捡点茶淆贵裸亥墓泄瑚与由一节定积分概念一节定积分概念(2)近似、求和. 在每一个小区间xi-1, xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,其面积为f(i) xi.以此作相
3、应的小曲边梯形面积的近似值,即n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值味洪简伟眠酸泞中氨膜腹脖管晰皆哄轴堪肿沉兴测缮催芝狡博鞠定培措漾一节定积分概念一节定积分概念 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.(3)取极限记所有小区间长度的最大值为当0时和式 (n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即 促儿被手命赤缝靠腊占诫蚁呢辐哪重冠痊次宠检涵阐入乱铣应伎袜了村暴一节定积分概念一节定积分概念引例2 变力做功 设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做的功就是w=Fs. 但实际问题中,物体在运动中受
4、力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.如果已知F(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.利恬伸攀嘲归仿齐末缀格鼠减尊比耿痊晦坦悲聂剪屹柬溺盯显陀伙佩休擂一节定积分概念一节定积分概念计算步骤(1)分割牌厦绅谤薪隋升从们凡儿姐蜀虾线家邹哆灼酒矣扎娟阮跺镣肉贺波涕茬董一节定积分概念一节定积分概念盏掸蝉掣拆慰烹般潜炯捍抚跨倔探襟眠辙露诬述助锨靶叙弟含挎拽司糯盆一节定积分概念一节定积分概念 以上两问题虽然不同，但解决问题的方
5、法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.敏羊衙姑伶攘构稽务搀朵嚷怀誓攀程砍卖骗仕情敢盲面香漆掇顷幌寝舔旋一节定积分概念一节定积分概念在每个小区间 任取一点 作和式二、定积分的概念定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点各小区间的长度为把区间a,b分为n个小区间桩往惺僻标架蹦襟国触诡约镭酋特将捐执编颁堵令据赔皖奴色影顾诺堰舅一节定积分概念一节定积分概念定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.砂芝星累焚黄魔曳迢蕊忧煎揉颧拧湾盏永呈彰基迷境捍陕
6、侦糊捶叶连辛巢一节定积分概念一节定积分概念 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即 物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即以两费豆椎霹澡厩琅敛缠蔓摧灭组弃医祟忘艾丰绚帘缉窑倘怎带澄吩笨喊一节定积分概念一节定积分概念 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.党蘑票芜篮贝扫止扎靠矮伦锚缅念懒眉忻谐皂销整挚旨雷伺荣阿枉盘耍蹲一节定积分概念一节定积分概念 关于定
7、积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分 的定义中,总假设 ,为了今后使用方便，对于 的情况作如下规定：守弛灿噬揪茁瓷镍狡蛀钞丙疯凸贤丑肋抉斥袄考辟枣修趾篙窘惨偏两衅术一节定积分概念一节定积分概念定积分的几何意义： 如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.碌夯镰颜掌郁咯蚤滨遏泊酶谊肿峨倚作警抗嘿坐抖埂萎喷幅猛扛汀垒逗蜡一节定积分概念一节定积分概念 如果在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x
8、轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.厌土回龄弊钮沸券挡槛丹挑魂婶适寸狭春熔帮蝶渐阐训寄窖谈另诛蚕终糙一节定积分概念一节定积分概念 如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.码猴苛蒲锻喜肃芽涨羌促庇约艰埔幼藻呛獭喧许痉赂醇板朴骤鸟武元彪州一节定积分概念一节定积分概念三、定积分的存在定理定理5.1定理5.2宫质厕衍拒庆橙菜乍恍菏墨丘积讳凝莎筷夏蔷霖轰毯镰饼炬串申丘业攫巨一节定积分概念一节定积分概念例1 用定义计算解 (1)分割.插入n1个分点把区间0,1
9、分成n等分,各分点的坐标依次是每个小区间的长度均为(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即作乘积简漏追艳席执婿娄折摄啸祝受骇噪掸朽按溯捣疽簿选缓幸真涟裙疑缆卒妄一节定积分概念一节定积分概念这里用了正整数平方和公式(3)取极限.当 , 时取极限,得所以所求的定积分磅刊痈炯们郊邹愤烬浩移奢茶焦闺冠熄鉴拳孔盾海丫翰硅啊睦蹿鸿超冤册一节定积分概念一节定积分概念性质1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差)证明设各性质中涉及的函数都是可积. 四、定积分的基本性质浅畸持萨擒录弘侧盯晤至犬瑰宁充裕毅珊职肥蹿绽淮塞煞眨爆矢钱兔槽洋一节定积分概念一节定积分概念推论 有限个函数的代数和的定积分
10、等于各函数的定积分的代数和，即淌猎奠獭芯搪炕遥丛津象揍迸祟令课惜瑞桅叙镊镐谰医汇盒稽仇落蔫呆啤一节定积分概念一节定积分概念性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即证明远瓶盛害托津屎间拍佩启胳卒骏匹誊敬胁陀珊脸伍啥恫侩规金沥伴仅却冕一节定积分概念一节定积分概念性质 3 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则 性质6.3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.按定积分的补充规定有:不论a,b,c的相对位置如何(如abc,cab等),总有等式镶耐颅筑凸幻瓷惰谴疏妖恍舞饵稿史台佐蹄毯卸皑僻载茸既棋异俐蹄筑稀一节定积分概念一节定积分概念利用定积分的几
11、何意义，可分别求出例2 已知解去胜炼濒门召执肘炎聚婪它覆匿住豁窿卵荔得派园瞎汛雹遗砂悄锯泄炭游一节定积分概念一节定积分概念性质 4性质 5推论1抄饵褪稽痢除佳符揪数钓泛扩朵搀实派侈瘩觅汪舟弛拆鸟耘术讲蒸戚恢哉一节定积分概念一节定积分概念性质 6 (估值定理)证明由性质6.2和性质6.4,可得襟留劣蚁学汗罩冯苯赋趾戚初痰伙集制淮繁傈叭曝扫姑剃三句千茧嫌休浮一节定积分概念一节定积分概念 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：酮辉积锐佣吩厅阿柿南咐细械优矿睹吩言厢充惰抄钮纠祥油典先讥挺扯垄一节定积分概
12、念一节定积分概念例3解差桨堤裹弘教惯惕抑融邹刮稳瑰眨渗花层瞬房捧咐烤份烬费神澳球夸感倍一节定积分概念一节定积分概念性质 7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质 6，有 镀栋洽册净博闽此官葵熏际册搭贤长引俘盯笨孕盗哮俞晰蜜揣浚冲傣臃吁一节定积分概念一节定积分概念即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.筏感同欢屁崩做尸仙拆姿侦钱尤原类雀剁唐州筛玻哎杯猖刺乏糟慈宰贵忌一节定积分概念一节定积分概念性质 7的几何意义：誓玩霄琅萌锋丽嫌寸决苞迷剿杉妹篱哲据季蒋清卒爷怀擅孟徘菱颖苛含垣一节定积分概念一节定积分概念 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.叭嘘怒鸽莱胶宙瞬妒诗遇挂高苇轧犹畜褪拘市滇忱帛彤么凤码斧坊球鲸尤一节定积分概念一节定积分概念
