北师大版高中数学必修一：3.4.2ppt课件

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1、数 学 精 品 课 件北 师 大 版4.2换 底 公 式问题问题引航引航1.1.换换底公式的表达式是什么底公式的表达式是什么? ?其其满满足什么条件足什么条件? ?2.2.换换底公式有何特点底公式有何特点? ?如何如何应应用用换换底公式底公式对对对对数数式式进进行化行化简简求求值值? ?(1)(1)形式：形式：loglogb bN=_.N=_.(2)(2)适用条件：适用条件：_._.(3)(3)变形：变形：loglogb ba=_.a=_.a,ba,b0,a,b1,N0,a,b1,N0 01.1.判一判：判一判： ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)log75(1

2、)log75不能用不能用ln 5ln 5和和ln 7ln 7表示表示.( .( ) )(2)(2)等式等式 成立成立.( .( ) )(3)(3)换底公式只能将对数转化为以换底公式只能将对数转化为以1010或或e e为底的对数为底的对数.( ).( )(4)(4)等式等式logloga ab= b= logloga ablogblogb ba=1.( )a=1.( )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)log(1)log2 23log3log3 32=_.2=_.(2) =_.(2) =_.(3)(3)已知已知loglog3 34log4l

3、og4 48log8log8 8m m2 2，则，则m m_._.【解析解析】1.(1)1.(1)错误，因为由换底公式可知错误，因为由换底公式可知loglog7 75=5=(2)(2)正确，因为正确，因为 所以正确所以正确. .(3)(3)错误错误. .换底公式可以将对数转化为以任何大于换底公式可以将对数转化为以任何大于0 0且不等于且不等于1 1的实数为底的对数的实数为底的对数. .(4)(4)正确正确. . 等式等式 成立的条件是成立的条件是a,ba,b0,a,b10,a,b1，而等式而等式logloga ablogblogb ba=1a=1成立的条件也是成立的条件也是a,ba,b0,a,

4、b1.0,a,b1.答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4)2.(1)log2.(1)log2 23 3loglog3 32=2=答案：答案：1 1(2) =log(2) =log3 39=2.9=2.答案：答案：2 2(3)log(3)log3 34 4loglog4 48 8loglog8 8m m所以所以m m3 32 29.9.答案：答案：9 9【要点探究要点探究】知知识识点点 换换底公式底公式1.1.对换对换底公式的两点底公式的两点说说明明(1)(1)成立的条件：公式是在左右两成立的条件：公式是在左右两边对边对数式都有意数式都有意义义的情况下的情况下才

5、能成立才能成立. .(2)(2)作用：作用：换换底公式可以将底公式可以将对对数化成以数化成以1010或或e e为为底的底的对对数数, ,可以可以将不同底的将不同底的对对数化成同底的数化成同底的对对数数, ,在不同底的在不同底的对对数之数之间间建起了建起了一座一座桥桥梁梁. .2.2.利用换底公式化简求值的思想和注意点利用换底公式化简求值的思想和注意点【知识拓展知识拓展】由换底公式可得出的常用结论由换底公式可得出的常用结论logloga ab bloglogb bc cloglogc ca=1;a=1; 【微思考微思考】(1)(1)换换底公式的新底是唯一的底公式的新底是唯一的吗吗? ?提示：提示

6、：不是不是. .这个底可以视情况而定这个底可以视情况而定, ,只要满足对数式的含义即只要满足对数式的含义即可可. .(2)(2)换换底公式可以与底公式可以与对对数的运算性数的运算性质质同同时时使用使用吗吗? ?提示：提示：可以可以. .换底公式只是一个桥梁换底公式只是一个桥梁, ,它可以把底数不统一的对它可以把底数不统一的对数化成底数统一的对数数化成底数统一的对数, ,为充分利用对数的运算性质奠定基础为充分利用对数的运算性质奠定基础. .【即时练即时练】利用利用换换底公式求底公式求值值：(1)log(1)log2 25 5loglog5 54.4.(2)log(2)log2 23 3loglo

7、g3 34 4loglog4 45 5loglog5 56 6loglog6 67 7loglog7 78.8.(3)(2014(3)(2014抚抚州高一州高一检测检测) )【解析解析】(1)log(1)log2 25 5loglog5 54=4=(2)log(2)log2 23 3loglog3 34 4loglog4 45 5loglog5 56 6loglog6 67 7loglog7 78 8(3)(3)【题题型示范型示范】类类型一型一 用用换换底公式表示底公式表示对对数式数式【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014九江高一九江高一检测检测) )已知已知loglog7 73=

8、a,log3=a,log7 74=b,log4=b,log494948=48=( (用用a,ba,b表示表示).).(2)(2)已知已知loglog14147=a,147=a,14b b=5,=5,用用a,ba,b表示表示loglog353528.28.【解题探究解题探究】1.1.如何建立如何建立loglog49494848同同a,ba,b的关系的关系? ?2.2.题题(2)(2)中如何求解中如何求解b?logb?log35352828如何用如何用a,ba,b表示表示? ?【探究提示探究提示】1.1.借助换底公式统一底数借助换底公式统一底数. .2.2.借助对数的定义求解借助对数的定义求解b,

9、b,然后利用换底公式把然后利用换底公式把loglog35352828换成以换成以1414为底的对数为底的对数. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为答案：答案：(2)(2)因为因为loglog14147 7a,14a,14b b5 5，所以，所以b bloglog14145.5.所以所以【延伸探究延伸探究】在题在题(2)(2)条件不变的情况下，求条件不变的情况下，求loglog7 75 5的值的值. .【解析解析】loglog7 75=5=【方法技巧方法技巧】应用换底公式应注意的两个方面应用换底公式应注意的两个方面(1)(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数利用换底公式可以把

10、不同底的对数化成同底的对数, ,要注意要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用换底公式的正用、逆用以及变形应用. .(2)(2)题目中有指数式和对数式时题目中有指数式和对数式时, ,要注意将指数式与对数式统一要注意将指数式与对数式统一成一种形式成一种形式. .【变变式式训练训练】已知已知2 2x x=3,log=3,log4 4 =y, =y,求求x+2yx+2y的的值值. .【解题指南解题指南】把指数用对数表示把指数用对数表示, ,再用换底公式化为同底的进再用换底公式化为同底的进行计算求值行计算求值. .【解析解析】因为因为2 2x x=3,=3,所以所以x=logx=log2 23,3,所以

11、所以x+2y=logx+2y=log2 23+2log3+2log4 4 =log=log2 23+log3+log2 2 =log =log2 23+log3+log2 28-log8-log2 23 3=log=log2 22 23 3=3.=3.【补偿训练补偿训练】设设x xa a=y=yb b=z=zc c且且 , ,其中其中x,y,zx,y,z均均为为正数正数. .求求证证：z=xy.z=xy.【证明证明】设设x xa a=y=yb b=z=zc c=t(t0,t1),=t(t0,t1),则则a=loga=logx xt,b=logt,b=logy yt,t,c=logc=logz

12、zt,t,而而 , ,所以所以 , ,即即loglogt tx+logx+logt ty=logy=logt tz,z,所以所以loglogt t(xy)=log(xy)=logt tz,z,即即xy=z.xy=z.类类型二型二 换换底公式的底公式的实际应实际应用用【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014九江高一九江高一检测检测) )一种放射性物一种放射性物质质不断不断变变化化为为其他物其他物质质, ,每每经过经过一年剩余的一年剩余的质质量量约约是原来的是原来的75%,75%,估估计约经过计约经过_年年, ,该该物物质质的剩余的剩余质质量是原来的量是原来的 ( (结结果保留果保留1

13、1位有效数字位有效数字) )(lg20.3010,lg30.4771)?(lg20.3010,lg30.4771)?(2)(2)根据建根据建设设有中国特色的社会主有中国特色的社会主义义的的战战略方略方针针, ,我国工我国工农业总农业总产值产值从从20102010年到年到20302030年年经过经过2020年将要翻两番年将要翻两番, ,问问平均增平均增长长率至率至少少应为应为多少多少?(lg20.3010,lg30.4771,lg1.0720.0301)?(lg20.3010,lg30.4771,lg1.0720.0301)【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)建立等量关系的依据是什么建立

14、等量关系的依据是什么? ?2.2.题题(2)(2)中中“翻两番翻两番”的含义是什么的含义是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)建立等量关系的依据是建立等量关系的依据是“每经过一年剩余的质量约是每经过一年剩余的质量约是原来的原来的75%75%”. .2.2.题题(2)(2)中中“翻两番翻两番”的含义是总产值变为原来的的含义是总产值变为原来的4 4倍倍. .【自主解答自主解答】(1)(1)假设经过假设经过x x年年, ,该物质的剩余质量是原来的该物质的剩余质量是原来的 , ,根据题意得：根据题意得：0.750.75x x= ,= ,所以所以x=logx=log0.750.75 =

15、 ( = (年年).).故估计约经过故估计约经过4 4年年, ,该物质的剩余质量是原来的该物质的剩余质量是原来的 . .答案：答案：4 4(2)(2)设设20102010年总产值为年总产值为a,a,平均增长率为平均增长率为x,x,由题意由题意, ,得得a(1+x)a(1+x)2020=4a,=4a,即即(1+x)(1+x)2020=4,=4,将上式化为对数式得将上式化为对数式得lg(1+x)lg(1+x)2020=lg4,=lg4,即即20lg(1+x)=2lg20.6020.20lg(1+x)=2lg20.6020.所以所以lg(1+x)0.0301lg1.072.lg(1+x)0.0301

16、lg1.072.所以所以1+x1.072,1+x1.072,即即x0.072.x0.072.故平均增长率至少应为故平均增长率至少应为7.2%.7.2%.【方法技巧方法技巧】解有关对数应用问题的四个步骤解有关对数应用问题的四个步骤(1)(1)审清题意审清题意, ,弄清各数据的含义弄清各数据的含义. .(2)(2)恰当地设未知数恰当地设未知数, ,建立数学模型建立数学模型, ,即已知即已知a ax x=N(a,N=N(a,N是常数是常数, ,且且a0,a1),a0,a1),求求x.x.(3)(3)利用换底公式借助于计算器来解数学模型利用换底公式借助于计算器来解数学模型. .(4)(4)还原为实际问

17、题还原为实际问题, ,归纳结论归纳结论, ,注意有时要检验结论是否符合注意有时要检验结论是否符合实际意义实际意义. .【变变式式训练训练】抽气机每次抽出容器内空气的抽气机每次抽出容器内空气的60%,60%,要使容器内要使容器内的空气少于原来的的空气少于原来的0.1%,0.1%,则则至少要抽几次至少要抽几次?(lg20.3010)?(lg20.3010)【解析解析】设至少抽设至少抽n n次可使容器内空气少于原来的次可使容器内空气少于原来的0.1%,0.1%,则则a(1-60%)a(1-60%)n n0.1%a(0.1%a(设原先容器中的空气体积为设原先容器中的空气体积为a),a),即即0.40.

18、4n n0.001,0.001,两边取常用对数得两边取常用对数得n nlg0.4lg0.001,lg0.4n 7.5.7.5.故至少需要抽故至少需要抽8 8次次. .【补偿训练补偿训练】某化工厂生某化工厂生产产化工化工产产品品, ,去年生去年生产产成本成本为为5050元元/ /桶桶, ,现现使生使生产产成本平均每年降低成本平均每年降低28%,28%,那么几年后每桶的生那么几年后每桶的生产产成本成本为为2020元元(lg20.3010,lg30.4771,(lg20.3010,lg30.4771,精确到精确到1 1年年)?)?【解题指南解题指南】设设x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为

19、2020元元, ,由题意列出关于由题意列出关于x,50,28%,20x,50,28%,20之间的关系式之间的关系式, ,解出解出x.x.【解析解析】设设x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为2020元元. .1 1年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%),(1-28%),2 2年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%)(1-28%)2 2, ,x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%)(1-28%)x x=20.=20.所以所以,0.72,0.72x x=0.4,=0.4,等号两边取常用对数等号两边取常用对数, ,得得

20、xlg0.72=lg0.4.xlg0.72=lg0.4.故故所以，所以，3 3年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为2020元元【巧思妙解巧思妙解】“指数式和指数式和对对数式数式”问题问题的的换换底技巧底技巧【典例典例】设设3 3a a=4=4b b=36,=36,则则 = =. .【教你审题教你审题】【常规解法常规解法】由由3 3a a=4=4b b=36=36得得loglog3 336=a,log36=a,log4 436=b,36=b,由换底公式可得由换底公式可得a=loga=log3 336= ,b=log36= ,b=log4 436= .36= .所以所以 =2=2loglog3

21、6363+log3+log36364=log4=log36369+log9+log36364 4=log=log363636=1.36=1.答案：答案：1 1【巧妙解法巧妙解法】等式等式3 3a a=4=4b b=36=36两边都取以两边都取以1010为底的对数为底的对数, ,得得lg3lg3a a= =lg4lg4b b=lg36,=lg36,即即alg3=blg4=lg36,alg3=blg4=lg36,所以所以 =log=log36369, =log9, =log36364,4,所以所以 =1.=1.答案：答案：1 1【方法对比方法对比】常规方法切入点简单常规方法切入点简单, ,但步骤有

22、点复杂但步骤有点复杂, ,倘若对对数的运算性质倘若对对数的运算性质不熟不熟, ,则会导致运算错误则会导致运算错误, ,而巧妙解法直接统一底数而巧妙解法直接统一底数, ,思路清晰思路清晰, ,方便快捷方便快捷. .【教你一招教你一招】处理处理“指数式和对数式指数式和对数式”问题的换底技巧问题的换底技巧题目中有指数式和对数式时题目中有指数式和对数式时, ,要注意指数式与对数式的互化要注意指数式与对数式的互化, ,为为了便于运算了便于运算, ,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同底数的对数底数的对数, ,如本例中直接取常用对数如本例中直接取常用对数, ,然后应用对数运算性质然后应用对数运算性质进行计算进行计算. .【类题试解类题试解】设设3 3a a5 5b b ，则，则 _._.【常规解法常规解法】将将3 3a a5 5b b 的两边取以的两边取以1515为底的对数得，为底的对数得，alogalog15153=blog3=blog15155= ,5= ,所以所以所以所以答案：答案：2 2【巧妙解法巧妙解法】将将3 3a a5 5b b 的两边取常用对数得，的两边取常用对数得， alg 3alg 3blg 5blg 5 lg 15lg 15，所以，所以所以所以答案：答案：2 2