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1、3 33 3几何概型几何概型3 3. .3.13.1几何概型及其概率计算几何概型及其概率计算概率 结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式基础梳理基础梳理1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件_，则称这样的概率模型为_简称为几何概型例如：判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)有一个时钟形转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向数字12到数字6之间区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率区域的长度(面积或体积)成比例几何概率模型例：(1)古典概型
2、(2)几何概型2在几何概型中，事件A概率计算公式为：P(A)3几何概型的特点：在一个区域内_，只与该区域的_有关4几何概型与古典概型的区别：_.例如：一个人到单位的时间可能是800至900之间的任何一个时刻；那么他800到820到的概率是：_.思考应用思考应用1课本就平面的情形给出了几何概型，除此之外，几何概型还适用于哪些情形？解析：几何概型还适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与
3、试验有关的问题即可利用几何概型来解决2几何概型有哪些基本特征？解析：几何概型的有两个基本特征：(1)无限性：每次试验的结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示；(2)等可能性：每次试验的各种结果是等可能的几何概型的试验中，事件A的概率只与子区间域A的几何度量(长度、面积或体积)成比例，而与A的位置和形状无关3几何概型与古典概型有何区别？如何求得几何概型中事件A发生的概率？解析：古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且仅与事件的区域长度有关几何概型的概率计算公式：自测自评自测自评1如下图所示将一圆四等分，向圆盘内随机撒两粒小米，则两粒米都落在阴影部分的
4、概率是()2如下图所示在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( )A0 B0.002 C0.004 D1C4取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如下图)，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为_3.在区间（1，3）内的所有实数中，随机取一个实数x,则这个实数是不等式2x-50的解的概率为（）A与长度、角度有关的几何概型与长度、角度有关的几何概型 (1)如下图有两个转盘，转盘上每个扇形的面积都相等，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A区域(阴影部分)时，甲获胜，否则乙获胜，在两种情形下甲获胜的概率分别是多少？(2)取一根长度为3
5、米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率解析：(1)在玩转盘时，指针指向转盘上任一位置都是随机的等可能的，也就是说试验的所有可能的结果(基本事件)有无限多个，而且每个基本事件的发生都是等可能的，因而甲获胜的概率只与字母A所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母A所在区域的位置无关，只要字母A所在扇形区域的圆弧长度不变，不管这些区域是相邻还是不相邻，甲获胜的概率都是不变的(2)从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置有无穷多点，则基本事件有无限多个，而且每一个基本事件都是等可能的，因此事件发生的概率只与剪断的绳子的长度有关设事件A“剪成两段的长都不小于1米”，把绳子
6、三等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生而中间一段长度A1，又3，故跟踪训练跟踪训练1公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率分析：时间是连续型的，是无限的，在题设条件下这是几何概型，问题是和A各是什么？解析：设A“候车时间不超过3 min”x表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x，假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t，据题意，乘客必然在(t5，t内来到车站，故x|t5xt，欲乘客候车时间不超过3 min，必有t3xt，所以Ax|t3xt，点评：几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量本例中，设定乘客
7、到站后开来一辆公共汽车的时刻t后，就容易写出、A，这里设“t”是关键与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型 如右下图在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m远向此板投镖设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环 的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解析：投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等所以，投中某一部分的概率
8、只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件设事件A“投中大圆内”；B“投中小圆与中圆形成的圆环；”C“投中大圆之外”S正方形162256 cm2 AS大圆6236 cm2 BS中圆S小圆422212 cm2 CS正方形S大圆25636（cm2）跟踪训练跟踪训练2如下图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为0.5的正方形ABCD，向半圆内任投一点，求该点落在正方形内的概率与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？解析：由于带锈病的种子在1 L小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10
9、 mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件设事件A“取出的10 mL麦种含有带小麦锈病的种子”A10(mL)，1(L)1000(mL)，跟踪训练跟踪训练3有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型解析：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A，则事件A构成的区域体积是0.1 L，全部试验结果构成的区域体积是2 L，所以P(A)0.05.点评：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，则可
10、按下列公式来计算其概率：转化为几何概型的概率问题转化为几何概型的概率问题 已知函数f(x)ax22bxa(a，bR)(1)若a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2,3中任取一个元素，求方程f(x)0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间0,2中任取一个数，a从区间0,3中任取一个数，求方程f(x)0没有实根的概率解析：(1)a取集合0,1,2,3中任一个元素，b取集0,1,2,3中任取一个元素a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,
11、3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为16. 设“方程f(x)0恰有两个不相等的实根”为事件A，当a0，b0时，方程f(x)0恰有两个不相等实根的充要条件为ba且a不等于零当ba时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即A包含的基本事件数为3，方程f(x)0恰有两个不相等实根的概率(2)b从区间0,2中任取一个数，a从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(a，b)|0a3,0b2这是一个矩形区域，其面积S236.设“方程f(x)0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab其面积由
12、几何概型的概率计算公式可得：方程f(x)0没有实根的概率 跟踪训练跟踪训练4平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率解析：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度(记作OM)的取值范围就是0，a，只有当rOMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是1在古典概型中利用等可能性的概念，成功地解决了某一类问题的概率不过，古典概型要求可能结果的总数必须有限. 我们希望能把这种做法推广到无限多结果而又有某种等可能性的场合，
13、得到随机事件的概率，这便是几何概型所能解决的问题对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，则这个区域就是基本事件空间对应的区域，如果该区域内的每一个点被取到的机会都一样，而事件A的发生则可以理解为恰好取上述区域内的某个指定区域内的点，这里的区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形，这样我们就把随机事件与几何区域联系在一起了如右图，事件A理解为区域的某一子区域A，事件A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积与体积)成正比而与A的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型2几何概型作为一种概率模型有两个特点：无限性和等可能性几何概型求解的概率问题和古典
14、概型的思路是相同的，都属于“比例算法”，即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形的长度(面积或体积)”与试验的基本事件空间所占的总长度(面积或体积)的比来表示它的特征是在一区域内均匀分布，其概率只与区域的大小有关，而与区域的位置与形状无关，如果随机事件所在区域是一个点，由于单点的长度、面积、体积都是0，则它发生的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它发生的概率为1，但它不是必然事件，这是几何概型与古典概型的重要区别我们在解决几何概率问题时和古典概型的基本思路、步骤是一致的，计算方法上主要搞清：(1)与长度有关的几何概型(2)与面积有关的几何概型(3)与体积有关的几何概型3计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件A所包含的基本事件对应区域的几何度量(长度、面积或体积)，而这往往遇到计算困难，这是本节难点之一实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概率问题，为此可考虑应用如下方法：(1)适当选择观察角度；(2)把基本事件空间转化为与之对应的区域；(3)把事件A转化为与之对应的区域；(4)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维；(5)利用概率公式计算同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断
