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1、返回返回上页上页下页下页第一节第一节 微分中值定理微分中值定理定理定理1 (费马费马(Fermat)定理定理) 设设f(x)在在U(x0,)，内有定义，若内有定义，若f(x)在在x0可导且对任意的可导且对任意的xU(x0,) ，有，有f(x)f(x0) （或（或f(x)f(x0) ），则），则f(x0) =0. 返回返回上页上页下页下页通常称通常称f (x)=0的根为的根为函数函数f(x)的驻点的驻点.可导函数的极值点一定是驻点可导函数的极值点一定是驻点 返回返回上页上页下页下页定理定理2 (罗尔罗尔(Rolle)中值定理中值定理) 如果函数如果函数f(x)满满足：足： (1) 在在a,b上连
2、续上连续, (2) 在在(a,b)内可导内可导, (3) f(a)=f(b),则至少存在一点则至少存在一点 (a,b),使得使得f ( )=0 在曲线上至少存在一点在曲线上至少存在一点C,在在该点曲线具有水平切线或该点曲线具有水平切线或者说，该点的切线平行于弦者说，该点的切线平行于弦AB. 返回返回上页上页下页下页证证 因为因为f(x)在在a,b上连续上连续,f(x)在在a,b上必取得最上必取得最大值大值M和最小值和最小值m (1) 如果如果M=m, 则则f(x)在在a,b上恒等于常数上恒等于常数M, 因此因此,对一切对一切x(a,b),都有都有 f (x)=0.于是定理自然成立于是定理自然成
3、立. (2) 若若Mm,由于由于f(a)=f(b),因此因此M和和m中至少有一个中至少有一个不等于不等于f(a).设设Mf(a),则则f(x)应在应在(a,b)内的某一点内的某一点 处达到最大值处达到最大值,即即f( )=M,由费马定理知由费马定理知f ( )=0 返回返回上页上页下页下页例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间在区间-1,3上的正确性上的正确性显然函数显然函数f(x)= -2x+3在在-1,3上满足罗尔定理上满足罗尔定理的三个条件的三个条件,解解由由f (x)=2x-2=2(x-1),可知可知f (1)=0,因此存在因此存在 =1(-1,3
4、),使使f (1) =0 返回返回上页上页下页下页定理定理3(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理) 若函数若函数y=f(x)满足下列条件满足下列条件: (1) 在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续； (2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导则至少存在一点则至少存在一点 (a,b),使得使得证证 作辅助函数作辅助函数F(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且 返回返回上页上页下页下页F(x)满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故至少存在一点故至少存在一点 (a,b),使得使得F ( )=0,即即 因此得因此得返回返回上页上页下页下页 拉格朗日中值定
5、理中的公式称为拉格朗日中值拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式公式,也可以写成也可以写成f(b)-f(a)= f ( )(b-a) (a b) 是是(a,b)中的一个点中的一个点, =a+ (b-a)(0 1),拉格拉格朗朗日中值公式还可写成日中值公式还可写成f(b)-f(a)=(b-a)f a+ (b-a) (0 1) 返回返回上页上页下页下页例例3证证返回返回上页上页下页下页推论推论1 如果如果f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,且且f (x)0,则在则在(a,b)内内,f(x)恒为一个常数恒为一个常数证证 在在(a,b)内任取两点内任取两点x1, x2, 设设x1 x
6、2 ,显然显然f(x)在在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件上满足拉格朗日中值定理的条件因为因为 f (x)0,所以所以 f ( )=0 .从而从而 f(x2)=f(x1) .返回返回上页上页下页下页例例5证证返回返回上页上页下页下页推论推论2 若若f(x)及及g(x)在在(a,b)内可导内可导,且对任意且对任意x(a,b),有有f (x)=g (x),则在则在(a,b)内内,f(x)=g(x)+C(C为常数为常数). 证证 因因f(x)-g(x) =f (x)-g (x)=0, 由推论由推论1,有有f(x)-g(x)=C,即即f(x)=g(x)+C,x(a,b)返回返回上页上页下页下页定
7、理定理4 (柯西柯西(Canchy)中值定理中值定理) 若函数若函数f(x)和和g(x)满足满足以下条件以下条件: (1) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, (2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,且且g (x)0,那么在那么在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得证证 若若g(a)=g(b),则由罗尔定理则由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点 1(a,b),使使g ( 1)=0,这与定理的假设矛盾这与定理的假设矛盾.故故g(a)g(b).返回返回上页上页下页下页作辅助函数作辅助函数F(x)满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件,于是在于是在(a,b)内至少内至少
8、存在一点存在一点 ,使得使得 从而有从而有返回返回上页上页下页下页例例6证证返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 一、一、 型未定式型未定式 定理定理1 设设f(x),g(x)满足下列条件：满足下列条件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在在 内可导内可导,且且g (x)0； (3) 存在存在(或为或为)则则返回返回上页上页下页下页证证 由条件由条件(1),设设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件由条件(1)和和(2)知知f(x)与与g(x)在在U(x0)内连续内连续 设设x ,则则f(x)与与g(x)在在x0,
9、x或或x, x0 上满上满足柯西定理的条件足柯西定理的条件, 当当xx0时时,显然有显然有 x0,由条件由条件(3)得得返回返回上页上页下页下页注意注意:(1)如果如果 仍为仍为 型未定式型未定式,且且f (x),g (x)满足定理条件，则可继续使用洛必达满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；法则；(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达运用洛必达法则时法则时,要验证定理的条件要验证定理的条件,当当 既不存在既不存在也不为也不为时时,不能运用洛必达法则不能运用洛必达法则应该注意：求极限时应将洛必达法则和无穷小代换应该注意：求极限时应将洛必达法则和无穷小代换
10、等技巧结合使用，才能使求解过程更加简便。等技巧结合使用，才能使求解过程更加简便。返回返回上页上页下页下页例例2解解返回返回上页上页下页下页例例3解解 上式右端的极限不存在且不为，所以洛必达法则失效 返回返回上页上页下页下页推论推论1 设设f(x)与与g(x)满足满足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在存在X0,当当 x X时时,f(x)和和g(x)可导可导,且且g (x)0; (3) 存在存在(或为或为)则则证证 令令x=1/t,则则x时时,t0 返回返回上页上页下页下页例例4解解返回返回上页上页下页下页二、二、 型未定式型未定式 定理定理2 设设f(x),g(x)满足下列条
11、件：满足下列条件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和和g(x)在在 内可导内可导,且且g (x)0； (3) 存在存在(或为或为)则则 返回返回上页上页下页下页推论推论2 设设f(x)与与g(x)满足满足 (1) f(x)= , g(x)= ; (2) 存在存在X0,当当 x X时时,f(x)和和g(x)可导可导,且且g (x)0; (3) 存在存在(或为或为)则则返回返回上页上页下页下页例例5解解返回返回上页上页下页下页解解例例6返回返回上页上页下页下页三、三、 其他未定式其他未定式 若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)0且且g(x),则称则称limf(x)g(x)
12、为为0型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x),则称则称limf(x)-g(x)为为-型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x),则称则称limf(x)g(x)为为00型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)1且且g(x),则称则称limf(x)g(x)为为1 型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x)0,则称则称limf(x)g(x)为为 0型未定式型未定式 返回返回上页上页下页下页例例9解解返回返回上页上页下页下页例例10解解返回返回上页上页下页下页例例13解解 这是这是 型未定式型未定式 返回
13、返回上页上页下页下页第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 一、一、 泰勒公式泰勒公式将一个复杂函数将一个复杂函数f(x)用一个多项式用一个多项式Pn(x)a0a1x+ a1xn来近似表示来近似表示 当当x很小时很小时,有有ex1+x,sinxx, 两点不足：两点不足：(1)精度不高精度不高,误差仅为误差仅为x的高阶无穷小的高阶无穷小o(x);(2)没有准确好用的误差估计式没有准确好用的误差估计式 返回返回上页上页下页下页设设f(x)在在U(x0)内有直到内有直到n+1阶导数阶导数 (1) 试求一个关于试求一个关于x- -的的n次多项式次多项式 使得在使得在x0附近附近,有有f(x)pn(x),换言之
14、换言之,要求要求 即即f(x)和和pn (x)在在x= =x0处的函数值及处的函数值及k阶阶(kn)导数值相导数值相等等. (2) 给出误差给出误差f(x)- pn(x)的表达式的表达式 将将x=x0代入代入pn (x)的表达式的表达式,得到得到返回返回上页上页下页下页对对pn (x)求导求导,再将再将x=x0代入代入,得到得到对对p n (x)求导求导,再将再将x=x0代入代入,得到得到返回返回上页上页下页下页定理定理(泰勒中值定理泰勒中值定理) 设函数设函数f(x)在在(a,b)内具有直到内具有直到n+1阶导数阶导数,x0(a,b),则对于任意则对于任意x(a,b),有有 其中其中 ( 介
15、于与介于与x之间之间) 证证 令令G(x)= (x=x0)n+1函数函数f(x)在在x= x0点的点的n阶泰勒展开式阶泰勒展开式.返回返回上页上页下页下页在在(a,b)内具有直到内具有直到n+1阶的导数阶的导数,由前面的公式由前面的公式知知 返回返回上页上页下页下页对对Rn(x)与与G(x)在相应区间上使用柯西定理在相应区间上使用柯西定理n+1次次, 有有返回返回上页上页下页下页拉格朗日型余项拉格朗日型余项 返回返回上页上页下页下页拉格朗日中值定理可看作是零阶拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗日型余拉格朗日型余项的泰勒公式项的泰勒公式 对于多项式对于多项式pn(x)近似表达函数近似表
16、达函数f(x),对于某个固定对于某个固定的的n,当当x在开区间在开区间(a,b)内变动时有内变动时有 M(M为为常数常数),则其误差有估计式则其误差有估计式 .而且而且 =0.从而当从而当x x0时时,Rn(x)是关于是关于 的高阶无穷小的高阶无穷小,即余项又可以表示为即余项又可以表示为 称这种形式的余项为称这种形式的余项为皮亚诺皮亚诺(Peano)余项余项 返回返回上页上页下页下页当当x0 = =0时的泰勒公式时的泰勒公式,又称为又称为马克劳林公式马克劳林公式 具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成 返回返回上页上页下页下页二、二、 函数的泰勒展开式
17、举例函数的泰勒展开式举例 例例1 求求f(x)=ex的的n阶马克劳林公式阶马克劳林公式. 解解返回返回上页上页下页下页例例2 求求f(x)=sinx的的n阶马克劳林公式阶马克劳林公式.解解返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页第四节第四节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 一、一、 函数的单调性函数的单调性 定理定理1 设设f(x)C(a,b),且在且在(a,b)内可导内可导,则则 (1) 若对任意若对任意x(a,b),有有f (x)0,则则f(x)在在a,b上严格单调增加上严格单调增加; (2) 若对任意若对任意x(a,b),有有f (x)0,则则f(x)在在a,b上严格单调减
18、少上严格单调减少.证证 对任意对任意x1 , x2 a,b, 设设x10, x(- /2, /2),所以所以y=sinx在在(- /2, /2)上严格单调增加上严格单调增加.例例1 证明证明y=sinx 在在(- /2, /2)上严格单调增加上严格单调增加.返回返回上页上页下页下页 函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点数不存在的点. 如果函数在定义域区间上连续如果函数在定义域区间上连续,除去有限个导数不除去有限个导数不存在的点外导数存在存在的点外导数存在,那么只要用那么只要用f (x) =0的点及的点及f (x)不存在的点来划分函数的
19、定义域区间不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区在每一区间上判别导数的符号间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间便可求得函数的单调增减区间 返回返回上页上页下页下页例例6证证返回返回上页上页下页下页二、二、 函数的极值函数的极值 定义定义1 设设f(x)在在x0的某邻域的某邻域U(x0)内有定义内有定义.若对任意若对任意x (x0),有有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),则称则称f(x)在点在点x0处取得处取得极大值极大值(极小值极小值)f(x0),称为称为极极大值点大值点(极小值点极小值点) 极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值,极大值点和极小极大值点和极小值点
20、统称为极值点值点统称为极值点 返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页例例8解解返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页例例9解解返回返回上页上页下页下页第五节第五节 最优化问题最优化问题一、闭区间上连续函数的最大值和最小值一、闭区间上连续函数的最大值和最小值求一个函数求一个函数(称为目标函数称为目标函数)的最大值或最小值问题的最大值或最小值问题. 返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页例例1解解返回返回上页上页下页下页二、经济学中的最优化问题举例二、经济学中的最优化问题举例返回返回上页上页下页下
21、页1. 最大利润与最小成本问题最大利润与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为总收益函数为R(Q) (Q为产量为产量),则总利润则总利润L可表示为可表示为 L(Q) R(Q)- C(Q) 假如假如L(Q)在在(0,+)内二阶可导内二阶可导,则要使利润最则要使利润最大大,必须使产量必须使产量Q满足条件满足条件L (Q)=0,即即 R (Q)=C (Q)表明产出的边际收益等于边际成本表明产出的边际收益等于边际成本 还要求还要求L (Q)=R (Q)-C (Q)0,即即 R (Q)0,则则f(x)在在a,b上是严格下凸上是严格下凸的的;(2)若在若在(a
22、,b)内内f“ (x)0,则则f(x)在在a,b上是严格上凸上是严格上凸的的.例例2解解返回返回上页上页下页下页定义定义2 设设f(x)C(U(x0),若曲线若曲线y=f(x)在点在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反的左右两侧凸性相反,则称点则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐为该曲线的拐点点例例5解解返回返回上页上页下页下页 若若(x0,f(x0)是曲线是曲线y=f(x)的拐点的拐点,则则f (x0)=0或或f (x0)不存在不存在. 返回返回上页上页下页下页二、二、 曲线的渐近线曲线的渐近线1. 水平渐近线水平渐近线定义定义3 设函数设函数y=f(x)的定义域为无限区间的定义域为无限区
23、间,如果如果 f(x) =A或或 f(x)=A(A为常数为常数),则称直线则称直线y=A为曲线为曲线y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线例例6解解返回返回上页上页下页下页2.垂直渐近线垂直渐近线 定义定义4 设函数设函数y=f(x)在点在点x0处间断处间断,如果如果 f(x)=或或 f(x)=,则称直线则称直线x=x0为曲线为曲线y=f(x)的垂直渐近的垂直渐近线线例例7解解返回返回上页上页下页下页3. 斜渐近线斜渐近线 定义定义5 设函数设函数y=f(x)的定义域为无限区间的定义域为无限区间,且它与直线且它与直线y=ax+b有如下关系：有如下关系： f(x)-(ax+b)=0 或或 f(x)
24、-(ax+b)=0, 则称直线则称直线y=ax+b为曲线为曲线y=f(x)的斜渐近线的斜渐近线返回返回上页上页下页下页例例8解解返回返回上页上页下页下页三、三、 函数图形的描绘函数图形的描绘(1) 确定确定y=f(x)的定义域的定义域;(3) 求出求出f (x)=0和和f (x)=0的根及其不存在的点的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间;(2) 讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等;(4)列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区间和拐点；间和拐点； (5)
25、 确定曲线的渐近线；确定曲线的渐近线；(6) 算出方程算出方程f (x)=0, f (x)= 0的根所对应的函数值的根所对应的函数值,定出图形上的相应点定出图形上的相应点. (7) 作图作图 .返回返回上页上页下页下页例例10解解凹、单调增凹、单调增, 凹、单调减凹、单调减,凸、单调增凸、单调增, 凸、单调减凸、单调减,描绘描绘 的图形的图形.(1)定义域为定义域为(-,+),且且f(x)C(-,+),返回返回上页上页下页下页(3)列表如下列表如下:x0(0,1)1(1,+)f (x)0-f(x)-0+f(x)极大值极大值拐点拐点返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
