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1、前情提要v复数项级数收敛: 实部虚部分别收敛绝对收敛: 每项取模, 对应的正项级数收敛条件收敛: 不绝对收敛的情况下, 原级数收敛v幂级数收敛圆域收敛半径的求法: 类似正项级数的收敛性判断(比值判别法, 根植判别法)的过程, 然后得到的结果取倒数两个重要级数v1/(1-z), R=1v1/(1+z), R=1倒数型函数的幂级数展开2021/6/413 泰勒级数泰勒级数v一、解析函数的泰勒展开一、解析函数的泰勒展开1、定理定理1 2、泰勒级数的收敛半径泰勒级数的收敛半径v二、函数展开成幂级数的方法二、函数展开成幂级数的方法1、直接展开法：、直接展开法：例例1，例例22、间接展开法间接展开法：例例
2、3，例例4 ，例例5 ，例例6，例例73、常用的泰勒级数常用的泰勒级数返回2021/6/421、定理、定理1(解析圆解析圆内的展开内的展开)其中：其中：为内以内以为中心的任何一个中心的任何一个圆周周这个个圆周及其内部包含于周及其内部包含于D，且展开式唯一。，且展开式唯一。 z0zrcD在在D内内解析解析，设函数设函数Proof一、解析函数的泰勒级数展开一、解析函数的泰勒级数展开回忆：回忆：为为D内一点，内一点，R为为 到到D的边界的边界各点的最小距离，各点的最小距离，则在在 内可以展开成内可以展开成幂级数。数。一句话: 函数在解析圆内可展开为幂级数:2021/6/43Proof: “存在性存在
3、性”z0zrcD在内任取一点，由在内任取一点，由柯西柯西积分分定理：定理：上一页下一页又：又：2021/6/44所以：所以：可以证明余项可以证明余项从而：从而：上一页下一页(详细证明见书详细证明见书P119)2021/6/45“唯一性唯一性”反证法：反证法：如果如果能展开成另一种形式的能展开成另一种形式的幂级数数两两边求求阶导数，得：数，得：所以：所以：返回上一页2021/6/462、泰勒级数的收敛半径、泰勒级数的收敛半径的泰勒的泰勒级数的收数的收敛半径等于半径等于到到的离的离最近一个奇点的距离最近一个奇点的距离。收收敛圆域域为：如：如：a，b，c为奇点，奇点，则收收敛半径半径为abcRz0返
4、回由定理由定理1 可知：若可知：若 在内有奇点在内有奇点, 则在则在2021/6/471、直接展开法：求、直接展开法：求例例1 求求在在处的泰勒的泰勒级数。数。 解：解：返回二、函数展开成幂级数的方法二、函数展开成幂级数的方法f(z)无奇点2021/6/48例例2 求求 在在 的泰勒级数。的泰勒级数。 收收敛圆域：域： 返回本题用间接展开法更好本题用间接展开法更好2021/6/492、间接展开法（利用已知级数展开）、间接展开法（利用已知级数展开）例例2 的另一个方法：的另一个方法：间接展开法接展开法返回f(z)的奇点为0, 与展开中心点z0=1的距离为1,收敛圆域|z-1|12021/6/41
5、0例例3 求求 在在 处的泰勒展开。处的泰勒展开。解：解：返回2021/6/411例例4 求求 在在 处的泰勒展开。处的泰勒展开。解：解：返回2021/6/412例例5 求求 在在 处的泰勒展开。处的泰勒展开。解：解：收敛圆域收敛圆域返回1-10xy2021/6/4133、常用的泰勒级数、常用的泰勒级数 1、 2、 3、 4、 5、 6、 返回2021/6/414例例6 将将 在在 处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数解：解：收敛半径为收敛半径为 4。由由得：收敛圆域得：收敛圆域 ，返回2021/6/415例例7：求：求 在在 处的泰勒展开。处的泰勒展开。解：解：返回作 业f(z)的奇点为i, 与
6、展开中心点z0=0的距离为1, 收敛半径R=1, 收敛圆域|z-0|12021/6/4164 洛朗级数洛朗级数v一、洛朗级数的概念一、洛朗级数的概念 1、引例引例 2、定义定义v二、洛朗级数的收敛域二、洛朗级数的收敛域1、洛朗级数的收敛域洛朗级数的收敛域2、定理定理13、洛朗级数展开的方法洛朗级数展开的方法4、例题：、例题：例例1，例例2、例例3返回2021/6/4171、引例、引例 将将在在内展开成的内展开成的幂级数数(为奇点奇点, 解析解析)(1)内展开成内展开成的的幂级数数(奇点奇点, 解析）解析）(2) 返回xy012xy01一、洛朗级数的概念一、洛朗级数的概念2021/6/4182、
7、定义、定义及及负幂次次项都收都收敛，则称洛朗称洛朗级数数收收敛，若正若正幂次次项 (2)定义定义2 :为复常数）复常数）（其中（其中(1)定义定义1: 展开后有负幂次项的幂级数称为洛朗级数。展开后有负幂次项的幂级数称为洛朗级数。返回否则称洛朗级数否则称洛朗级数发散发散。2021/6/4191、洛朗级数的收敛域：、洛朗级数的收敛域：（1）设正正幂次次项的收的收敛半径半径为R，则在则在时收收敛，时发散，散，即：在即：在令：令：（2）下一页设 的收的收敛半径半径为R1，则在在二、洛朗级数的收敛域二、洛朗级数的收敛域2021/6/420注: r和R的求法对系数进行排序:归根结底: 内径r和外径R均为前
8、一项 除以 后一项的极限2021/6/421（3）分三种情况讨论）分三种情况讨论 当当时，没有公共部分，所以，没有公共部分，所以处处发散；散； 当当时，在，在内收内收敛；时，如收，如收敛则在在圆周上收周上收敛，需，需进一步一步讨论。 当当xyRrz0xyRrz0返回上一页2021/6/4222、定理、定理1 (解析圆环解析圆环内的展开内的展开)设在在内内解析解析，则在在圆环域域内可唯一展开成洛朗内可唯一展开成洛朗级数数其中其中为圆环内任一内任一闭域的正向，域的正向，注：注：一个用途：一个用途：，所以，所以返回2021/6/4233、 在在 处展开成洛朗级数的方法处展开成洛朗级数的方法例如：假例
9、如：假设 有三个奇点有三个奇点可在如下区域展开：可在如下区域展开：(如如z0不不为奇点，此奇点，此时为泰勒展开式，它泰勒展开式，它为洛朗洛朗级数的一个特例数的一个特例)（3） （4） 不管不管 是否是否为奇点，奇点，（1）（2）返回2021/6/424例例1 将将 在下列两点在下列两点 展开成洛朗级数。展开成洛朗级数。 解：解：为奇点奇点，分，分为如下三个区域：如下三个区域：（1） 解析，可解析，可变为（）21返回2021/6/425解：解：（泰勒展开）（泰勒展开）返回2021/6/426解：解：返回2021/6/427解：解：返回2021/6/428（2）以以1为中心展开中心展开, 即展开成即展开成 的的幂级数数, 不参与展开不参与展开012xy分分为如下两个区域：如下两个区域：返回2021/6/429解：解：返回将所有项都写成z-1的函数2021/6/430解：解：返回2021/6/431作业作业vP14312v1(注意z-z0不参与展开操作)v3, 6 利用已知展开的函数的导数或者积分16（2, 3( )）返回2021/6/432部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
