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1、10.4直线与圆锥曲线的位置关系高考理数高考理数1.直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)=0中,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即消去y后得ax2+bx+c=0.(1)当a0时,若0,则直线l与曲线r相交;若=0,则直线l与曲线r相切;若0,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系(韦达定理)得x1+x2=-,x1x2=,所以A、B两点间的距离|AB|=|x1-x2|,即弦长公式(其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式
2、,其弦长公式为|AB|=|y1-y2|(k0).特殊地,如果直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,此时,弦长公式|AB|=x1+x2+p.3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系(1)已知AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,则kAB=-.(2)已知AB是双曲线-=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则kAB=.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则kAB=.【知识拓展】
3、【知识拓展】1.直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题是解析几何中的主要内容之一,也是高考的一个热点问题,常利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)直接得到两交点坐标之和与之积,也可用平方差找到两交点坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求中点弦所在直线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求弦中点的坐标.2.有关曲线关于直线对称的问题,只需注意两点关于一条直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数);(2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合直线方程).有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题:一是判断位置关系,二是
4、依据位置关系确定参数的范围.这两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式及根与系数的关系进行求解.例例1(2012重庆,20,12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.突破方法方法方法1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系解题导引解题导引(1)设标准方程为+=1(ab0)由AB1B2为直角三角形得AOB2为等腰直角三角形得b=
5、,结合c2=a2-b2求e由=4,求a2,b2标准方程(2)设l的方程为x=my-2,与椭圆方程联立设P(x1,y1),Q(x2,y2)利用根与系数的关系求y1+y2,y1y2由PB2QB2得=0得关于m的方程,求m得直线l的方程解析解析(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b=,又c2=a2-b2,所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.(3分)在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2
6、.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.(6分)(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-.(8分)又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-,(10分)由PB2QB2,得=0,即16m2-
7、64=0,解得m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.(12分)1-1(2015云南二模,20)已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点M,E(x0,0)是x轴上的点,直线l经过M与抛物线C交于A、B两点.(1)设l的斜率为,x0=5,求证:点E在以线段AB为直径的圆上;(2)设A、B都在以点E为圆心的圆上,求x0的取值范围.解析解析由已知得M(-1,0),直线l的斜率存在且不为零,设l的方程为y=k(x+1)(k0),由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.由直线l与抛物线C交于A、B两点得=4(k2-2)2-4k40,解得k21.0k21.设A
8、(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k),则(1)当k=,x0=5时,E(5,0),A,B.=,=.=x1x2-5(x1+x2)+25+x1x2+(x1+x2)+1=0,即EAEB.点E在以线段AB为直径的圆上.(2)A、B都在以点E为圆心的圆上,|EA|=|EB|,设AB的中点为D,则D.|EA|=|EB|,DEAB.k0,kDEk=-1,解得x0=1+.0k23.x0的取值范围为(3,+).“中点弦”问题常用“根与系数的关系”和“点差法”求解,关键是构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标与方程的系数、斜率的关系.例例2已知一直线与椭圆4x2+9y2=36
9、相交于A、B两点,弦AB的中点M的坐标为(1,1),求直线AB的方程.解析解析解法一:设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y=k(x-1)+1,代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0.设A,B的横坐标分别为x1,x2,则=-=1,解得k=-.故直线AB的方程为y=-(x-1)+1,即4x+9y-13=0.解法二:设A(x1,y1).AB的中点为M(1,1),B点的坐标是(2-x1,2-y1).将A,B点的坐标代入方程4x2+9y2=36,得方法方法2相交弦的中点问题相交弦的中点问题4+9-36=0,及4(2-x1)2+9(2-y1)2=36,化简为4+9-16x1-36y1+16=0.-,得16x1+36y1-52=0,化简为4x1+9y1-13=0.同理可推出4(2-x1)+9(2-y1)-13=0.A(x1,y1)与B(2-x1,2-y1)都满足方程4x+9y-13=0,4x+9y-13=0即为所求.解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),将其代入椭圆方程,得-,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,M(1,1)为弦AB的中点,x1+x2=2,y1+y2=2.4(x1-x2)+9(y1-y2)=0.kAB=-.故直线AB的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0.
