《复变函数与与积分变换：第四章 第4节 级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与与积分变换：第四章 第4节 级数（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1. Laurent级数的概念数的概念2. 函数的函数的Laurent级数展开数展开3. 典型例典型例题4 4 Laurent级数级数第四章第四章 级数级数一一. . Laurent 级数的概念级数的概念如果函数如果函数f (z)在在z0点解析点解析, 则在则在z0的某邻域内的某邻域内, 可可展开为展开为Taylor级数级数, 其各项由其各项由z-z0的非负幂组成的非负幂组成. 如果如果f (z)在圆环域在圆环域 内解析内解析, 则则 f (z)在这在这个圆环域内不一定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂
2、级数双边幂级数,即即Laurent级数级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数及及 Z 变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用.负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为同时收敛同时收敛Laurent级数级数收敛收敛收敛半径收敛半径R收敛域收敛域收敛半径收敛半径R2收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分且和函数在该圆环域内解析且和函数在该圆环域内解析,并有逐项求导并有逐项求导,逐项积分。逐项积分。结论结论: : 双边幂级数双边幂级数 的收敛区域为的
3、收敛区域为.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :.(1)(1) 幂级数的收敛幂级数的收敛域域是圆域是圆域, ,且和函数在且和函数在收敛收敛域域 内解析内解析. .(2) (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. .对于对于Laurent级数，已经知道：级数，已经知道： Laurent级数的收敛级数的收敛域域是圆环域，且和函数是圆环域，且和函数在圆环域内解析在圆环域内解析. . 问题问题: : 在圆环域内解析的函数是否可以展开在圆环域内解析的函数是否可以展开成成Laurent级数级数? ?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题对于通常的幂级数，讨论了下面
4、两个问题: :二二. . 函数的函数的Laurent 级数展开级数展开定理定理(Laurent展开定理展开定理) 设设 函数函数f (z)在圆环域在圆环域 内解析内解析, 则函数则函数f (z) 在此环域内可展开为在此环域内可展开为Laurent级数级数 其中其中C是圆环域内绕是圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 且在该且在该圆环域内的展开式唯一。圆环域内的展开式唯一。注注 函数函数f (z)展开成展开成Laurent级数的系数级数的系数 与展开成与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同级数的系数在形式上完全相同, 但但 这里的函数这里的函数f (z)在圆环域在
5、圆环域 内解析内解析, 在在内不一定解析内不一定解析, 所以不能化为所以不能化为z0处的导数处的导数 特别地特别地, 如果函数如果函数 f (z)在在内内解析解析, 那么根据那么根据 , 所以所以Laurent级数包含了级数包含了Taylor级数级数.将函数在圆环域内展开成将函数在圆环域内展开成Laurent级数级数, 理论理论(1) 直接方法直接方法 直接直接计算展开式系数计算展开式系数然后写出然后写出Laurent展开式展开式这种方法只有理论意义这种方法只有理论意义, 也就是说也就是说, 只有在进只有在进上应该有两种方法上应该有两种方法: 直接方法与间接方法直接方法与间接方法.行理论推导时
6、行理论推导时, 才使用这种表示方法才使用这种表示方法. 根据已知函数的根据已知函数的 Taylor 级数展开式级数展开式, 可运用可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成开成Laurent 级数级数.(2) 间接方法间接方法这是将函数展开成这是将函数展开成Laurent 级数的级数的常用方法常用方法. . 给定函数给定函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后, 函函数在各个不同的圆环域中有不同的数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式展开式(包括包括Taylor展开式作为特例展开式作为特例). 这与这与Laurent展开式展开
7、式的惟一性并不矛盾的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一在同一圆环域内的展开式惟一.例例1. 将将 在在 内展开内展开 为为Laurent级数级数. 解解除除z=0点之外点之外, f (z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析,对任何复数对任何复数z z , 于是在于是在 内内, 三三. . 典型例题典型例题内展开成内展开成Laurent级数级数.例例2. 将函数将函数在圆环域在圆环域处都解析处都解析, 并且可分解为并且可分解为 函数函数f (z)在在z=1和和z=2处不解析处不解析, 在其它点在其它点oxy1(1) 在在 内内, 有有 则则 于是在于是在 内，内， 12oxy(2)
8、在在 内内, 有有 2oxy于是在于是在 内内, (3) 在在 内内, 有有 于是在于是在 内内, 2oxy.1(4) 由由 知知, 展开的级数形式应为展开的级数形式应为 所以在所以在 内内, 2oxy.1(5) 由由 知知, 所以在所以在 内内, 例例2. 将函数将函数 在区域在区域 内展开成内展开成Laurent级数级数. 解解因为在因为在 内展开内展开, 所以所以 展开的级数形式应为展开的级数形式应为 因为因为 所以在所以在 内内, 在在 内如何展成洛朗级数？内如何展成洛朗级数？ 1. 函数展开成函数展开成Taylor级数与级数与Laurent级数级数本章的重点本章的重点作业作业P83:
9、 6(1, 3, 5); 7(1, 3); 8(2, 3, 5)Niels Henrik Abel (1802.8.5-1829.4.6) 挪威数学家挪威数学家. 牧师的儿子牧师的儿子, 家家境贫困境贫困. Abel 15岁读中学时岁读中学时, 优秀优秀的数学教师的数学教师B. Holmboe(1795-1850)发现了发现了Abel的数的数学天才学天才, 对他给予指导对他给予指导. 1821年进入克利斯安那大学年进入克利斯安那大学. 1824年年, 他解决了用根式求解五次方程的不可能性他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题问题. Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了短暂的一生中在分析
10、和代数领域作出了极其出色的贡献极其出色的贡献, 然而他的数学成就在当时没有得然而他的数学成就在当时没有得到应有的注意到应有的注意, 生活悲惨生活悲惨, 在贫病交迫中早逝在贫病交迫中早逝. Brook Taylor (1685.8.18-1731.12.29) 英国数学家英国数学家. 曾任英国皇家学曾任英国皇家学会秘书会秘书. 1715年在年在增量方法及其增量方法及其逆逆中给出中给出Taylor级数的展开定理级数的展开定理.Pierre-Alphonse Laurent (1813.7.18-1854.9.2)法国数学家法国数学家. 1843年证明了年证明了Laurent级数展开级数展开定理定理, 但是他的结果直到去世后才得到发表但是他的结果直到去世后才得到发表.
