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1、 矩阵可否一数以蔽之？2.6.1 矩阵的秩的概念2.6 矩阵的秩矩阵的秩 定义2.6.1 在矩阵A中,任取k行,k列(1kmin(m,n),由这些行列交叉处的k2个元素按原来的顺序构成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式.， ， 显然，在 mn 矩阵 A 中,共有 k 阶子式 取第一,三行与第二,四两列,就得到A的一个二阶子式个. ， ， 定义2.6.2 若在mn矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式(若存在的话)都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R(A)=r. 零矩阵的秩规定为零.， ， 由行列式按行(或列)展开定理,如果矩阵A的所有的r +1阶子式都为零,那么A的所有高于r
2、+1阶的子式(若存在的话)也必然为零.因此R(A)是A中不为零的子式的最高阶数. ， ， 由秩的定义可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R(A)r,若所有的r+1阶子式都为零,则R(A)r. 对于矩阵A=(aij)mn,显然有， ， 设A为n阶方阵,当R(A)=n时,|A|0,则A是可逆的;反之,当A可逆时,|A|0,从而R(A)=n.于是有 定理2.6.1 n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵.， ， 对于n阶方阵A,若R(A)=n,则称A为满秩矩阵,若R(A)n,则称A为降秩矩阵. 由定理2.6.1,矩阵A可逆,非奇异,满秩是三个相互等价的概念.， ， 例 2.6.
3、1 求矩阵的秩.， ， 解：左上角的二阶子式 因此 R(A)2. A的三阶子式共有4个,且所以R(A)=2.， 怎样求阶梯形矩阵的秩？阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数.， ， 怎样求一般矩阵的秩？2.6.2 用初等变换求矩阵的秩定理2.6.2 初等变换不改变矩阵的秩.， ， 证 显然第一种和第二种初等变换都不改变矩阵的秩,我们仅就第三种初等变换来证明. 设A=(aij)mn,将矩阵A的第j行的k倍加到第i行上,得到矩阵B,， ， 设R(A)=r,要证R(B)=R(A).我们先证明R(B)R(A). 若B中没有阶数大于r的子式,显然R(B) R(A). 若B中有r+1阶子式D时,有以下三种可
4、能： (1) D中不含第i行元素,这时D就是矩阵A的一个r+1阶子式,从而D=0. (2) D中同时含有i、j两行元素,即， ， ， ， 第一个行列式为A中的r+1阶子式,所以等于零,第二个行列式有两行相同,所以也等于零,于是D=0. （3）D中含第i行元素,但不含第j行元素,即 第一个行列式为A中的r+1阶子式,而第二个行列式则是由A中的某个含有第j行元素的r+1阶子式经过行对换后得到,所以它们都等于零,于是D=0. 由于B中所有高于r+1阶的子式均可由它的r+1阶子式表出,而它的所有r+1阶子式都等于零,这就证明了 同理,对B做第三种初等行变换得到A,也有故 至于对A做第三种初等列变换的情形,证明方法与行的情形类似,这里从略.证毕. 例 2.6.2 求矩阵的秩. 解 由于 所以 推论1 两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是R(A)=R(B). 推论2 设A为mn矩阵,P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵,则 定理2.5.2告诉我们,任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形 由矩阵等价的对称性和传递性以及定理2.6.2的推论1,它的标准形是唯一的,并且R(A)=r.
