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1、2.1 2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 第二章第二章 推理与证明推理与证明2.1.1 2.1.1 合情推理合情推理问题提出问题提出 1. 1.推理是人们思维活动的过程，在日推理是人们思维活动的过程，在日常活动和科学研究中，我们必须要通过常活动和科学研究中，我们必须要通过推理来思考问题推理来思考问题. . 2. 2.推理是根据一个或几个已知的判断推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，在一来确定一个新的判断的思维过程，在一定的条件和背景下，我们常通过推理提定的条件和背景下，我们常通过推理提出问题，发现结论，引出性质出问题，发现结论，引出性质. . 3.推理必须是
2、推理必须是“合乎情理合乎情理”的，并遵的，并遵循一定的逻辑规律循一定的逻辑规律. .因此，研究、总结推因此，研究、总结推理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要我们探讨的课题我们探讨的课题. .探究（一）：归纳推理探究（一）：归纳推理 思考思考1 1：我们知道，三角形的内角和为我们知道，三角形的内角和为180180，四边形的内角和为，四边形的内角和为360360，五边，五边形的内角和为形的内角和为540540，由此归纳猜想，由此归纳猜想，n n边形的内角和为多少度？边形的内角和为多少度？(n(n2)2)180180 思考思考2 2：二百多年前，德国数学家哥德巴二百多
3、年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现：赫在研究自然数时偶然发现： 6 63 33 3， 8 83 35 5， 10103 37 7， 12125 57 7，14147 77, 167, 165 51111，于是他提出了一个猜想，你认为他猜想于是他提出了一个猜想，你认为他猜想出一个什么结论？出一个什么结论？任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数的偶数都等于两个奇质数之和都等于两个奇质数之和. .思考思考3 3：在逻辑上，上述推理称为在逻辑上，上述推理称为归纳推归纳推理理（简称（简称归纳归纳），那么归纳推理的含义），那么归纳推理的含义是什么？是什么？ 由某类事物的部分对象具有某些特由某
4、类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理一般结论的推理.思考思考4 4：归纳推理的思维过程大致分哪几归纳推理的思维过程大致分哪几个步骤？个步骤？实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般结论猜测一般结论.思考思考5 5：一个口袋里装有许多球，每次从一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取中取出一个球，先后取2020次均为白球，次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？ 思考思考6 6：对于等式：对于等式：1
5、12 22 23 33 34 4n(nn(n1)1)3n3n2 23n3n2 2，当，当n=1n=1，2 2，3 3时等式成立吗？能否由此断定这个时等式成立吗？能否由此断定这个等式对所有正整数等式对所有正整数n n都成立？都成立？ 思考思考7 7：应用归纳推理可以发现一般结应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确，其由归纳推理得出的结论不一定正确，其真实性有待进一步证明真实性有待进一步证明. . 探究（二）：类比推理探究（二）：类比推理 思考思考1 1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的据说我国古代工匠鲁班从带齿的草叶和蝗虫的齿牙受到启发
6、，发明了锯；草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯；人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等艇；等等. .这种在发明创造活动中运用的这种在发明创造活动中运用的方法，称为方法，称为类比推理类比推理. .你还能列举出这样你还能列举出这样的实例吗？的实例吗？ 思考思考2 2：科学家们发现火星具有一些与地科学家们发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在行、
7、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等物的生存，等等. .运用类比推理，你有什运用类比推理，你有什么猜想？其推理过程是怎样形成的？么猜想？其推理过程是怎样形成的？猜想：猜想：火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .思考思考3 3：球与圆在形状和概念上都有类似球与圆在形状和概念上都有类似的地方，如二者都具有完美的对称性，的地方，如二者都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合都是到定点的距离等于定长的点的集合. .对于圆，圆有切线，切
8、线与圆只有一个对于圆，圆有切线，切线与圆只有一个公共点，圆心到切线的距离等于圆半径，公共点，圆心到切线的距离等于圆半径，平面内不共线的三个点确定一个圆平面内不共线的三个点确定一个圆. .运用运用类比，你能推测球可能有哪些类似的性类比，你能推测球可能有哪些类似的性质？质？ 球有切平面，切平面与球只有一个公共球有切平面，切平面与球只有一个公共点，球心到切平面的距离等于球半径，点，球心到切平面的距离等于球半径，空间中不共面的四个点确定一个球空间中不共面的四个点确定一个球. . 思考思考4 4：类比圆的特征，下表中球的相关类比圆的特征，下表中球的相关特征分别是什么？特征分别是什么？ 球的方程球的方程(
9、x(xx x0 0) )2 2(y(yy y0 0) )2 2(z(zz z0 0) )2 2r r2 2与球心距离相等的两截面积相与球心距离相等的两截面积相等，与球心距离不等的两截面等，与球心距离不等的两截面积不等，距球心较近的截面积积不等，距球心较近的截面积较大较大.球心与截面（非大圆）圆心的球心与截面（非大圆）圆心的连线垂直于截面连线垂直于截面球的体积球的体积球的面积球的面积圆的方程为圆的方程为(x(xx x0 0) )2 2 (y(yy y0 0) )2 2r r2 2与圆心距离相等的两弦相与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦弦不等，
10、距圆心较近的弦较长较长. .圆心与弦（非直径）中点圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦圆的面积圆的面积圆的周长圆的周长球的类似概念和性质球的类似概念和性质圆的概念和性质圆的概念和性质思考思考5 5：上述推理都是类比推理，一般地，上述推理都是类比推理，一般地，类比推理的含义是什么？类比推理的含义是什么？ 由两类对象具有某些类似特征和其中一由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理象也具有这些特征的推理. .思考思考6 6：类比推理的思维过程大致分哪几类比推理的思维过程大致分哪几个步骤？个步骤？ 观察、
11、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜测类似结论猜测类似结论. . 思考思考7 7：归纳推理和类比推理统称为归纳推理和类比推理统称为合情合情推理推理，合情推理的过程大致是什么？，合情推理的过程大致是什么？ 从具体问题出发从具体问题出发观察、分析、比较、观察、分析、比较、联想联想归纳、类比归纳、类比提出猜想提出猜想. 理论迁移理论迁移 例例1 1 已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 11 1，且且 （nNnN* *），试推测数），试推测数列列aan n 的通项公式，并判断其真实性的通项公式，并判断其真实性. . 归纳：归纳： . 例例2 2 类比平面内直角三角形的勾股类比平面内直角三
12、角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并判断其真实性并判断其真实性. . C CA AB BA AC CB BP P定理：若定理：若ACBCACBC，则，则ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2；类比：若类比：若PAPBPAPB，PAPCPAPC，PBPCPBPC，则，则小结作业小结作业 1.1.归纳推理是由部分到整体，由个别归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现到一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法它不能作为数学证明的方法. . 2
13、. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法发现，但它也不能作为数学证明的方法. . . 3. 3.由归纳推理和类比推理得到的结论由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方但可以为我们的研究提供一种思路和方向向. . 作业：作业：P77P777878练习：练习：1 1，2 2，3.3. 归纳推理的应用（习题课）
14、归纳推理的应用（习题课） 知识回顾知识回顾 1. 1.归纳推理的含义：归纳推理的含义： 由某类事物的部分对象具有某些特由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理一般结论的推理.2.2.归纳推理的思维过程：归纳推理的思维过程： 实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广 猜测一般结论猜测一般结论. 例例1 1 如图所示，有三根针和套在一根针如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另
15、一根针上一根针上全部移到另一根针上. . （1 1）每次只能移动）每次只能移动1 1个金属片；个金属片； （2 2）较大的金属片不能放在较小的金属片）较大的金属片不能放在较小的金属片上面上面. . 试推测：把试推测：把n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号号针，最少需要移动多少次？针，最少需要移动多少次？1232 2n n1 1次次 例例2 2 平面上有平面上有n n（nNnN*，n2n2）条直）条直线，其中任意两条都相交，任意三条不线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，试推测：这共点，试推测：这n n条直线一共有多少个条直线一共有多少个交点交点. . 例例3 3 已知数列已知数列 满足满足: : , ,试推测数试推测数列列 的通项公式的通项公式. .
