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1、工程力学（C）( 35 )( 35 )（下册）（下册）（下册）（下册）119.3 动能定理动能定理1. 质点的动能定理质点的动能定理动能定理动能定理质点或质点系的动能改变量与作用力的质点或质点系的动能改变量与作用力的功之间的数量关系。功之间的数量关系。由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有（作用于质点上的（作用于质点上的合力合力 的元功）的元功）(19.21)质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功两边点乘两边点乘m2(19.21)质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式或写为或写为mL若质点从若质点从 ，沿
2、路径，沿路径L从位从位置置1位置位置2，则有：，则有：(19.22)质点动能定理质点动能定理的微分形式的微分形式质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用于质点上的合力在同一运动过程中所作的功。于质点上的合力在同一运动过程中所作的功。32. 质点系的动能定理质点系的动能定理对质点系中每个质点，都有式对质点系中每个质点，都有式(19.21)成立成立: :质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式(19.23)质点系动能的微分等于作用于质点系上的质点系动能的微分等于作用于质点系上的全部力（外力和内力）的元功的代数和全部力（外力和内力）的元功的代数和求和求
3、和令令4设在时间设在时间 的过程中，质点系发生了某一运动，的过程中，质点系发生了某一运动，为运动过程中质点系的所有外力所作的功；为运动过程中质点系的所有外力所作的功；为运动过程中质点系的所有内力所作的功，为运动过程中质点系的所有内力所作的功，对式对式(19.23)积分积分得到：得到：质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式(19.24)质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过程中所作的功的代数和程中所作的功的代数和5质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式(1
4、9.24)质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式(19.23)注意注意以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功一般，系统的内力总是成对（大小相等，方向一般，系统的内力总是成对（大小相等，方向相反）出现，故相反）出现，故内力作功之和为零内力作功之和为零内力作功之和为零内力作功之和为零；但也有成对的但也有成对的内力作功之和不为零内力作功之和不为零内力作功之和不为零内力作功之和不为零，如：，如：系统内的系统内的弹簧力弹簧力弹簧力弹簧力，摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力等。等。63. 质点系的力之功的计算（复习上册质点系的力之功的计算（复习上册8.38.3）（
5、1）重力的功）重力的功zh12Cmg重力的元功：重力的元功：从位置从位置1 到位置到位置2 重力作的有限功：重力作的有限功：7（2）弹性力的功）弹性力的功伸长量伸长量弹簧刚度系数弹簧刚度系数k，原长，原长位置位置1位置位置2弹性力的元功：弹性力的元功：从位置从位置1 到位置到位置2 ， 弹弹性力作的有限功：性力作的有限功：任意位置任意位置8（3）约束力的功）约束力的功对于理想约束，约束力均不作功（如：固对于理想约束，约束力均不作功（如：固定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束，定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束，光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动时接触点的摩擦
6、力和法向反力）。时接触点的摩擦力和法向反力）。DOA9（4）作用在刚体上的主动力系的功）作用在刚体上的主动力系的功设刚体受力系设刚体受力系 作用，作平面运动作用，作平面运动力系的主矢力系的主矢力系对力系对A点的主矩点的主矩元功和有限功的计算方法元功和有限功的计算方法 1 ：元功和有限功的计算方法元功和有限功的计算方法 2 ：任选任选A点点A10AP若选择某时刻刚体的速度瞬心若选择某时刻刚体的速度瞬心P则有：则有：注意：由于速度瞬心不固定，上注意：由于速度瞬心不固定，上式一般不可积分得出有限功。式一般不可积分得出有限功。若若刚体平移刚体平移刚体平移刚体平移，有：，有：若刚体绕某垂直于运动平若刚体
7、绕某垂直于运动平面的面的 z 轴轴定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动，有：，有：11（5）系统只受有势力作功时）系统只受有势力作功时只受有势力（重力、弹性力），系统存在势能只受有势力（重力、弹性力），系统存在势能 V ：动能定理的微分形式：动能定理的微分形式：故故有势系统的机械能守恒有势系统的机械能守恒（19.25）注意：系统的势能数值与势能零点有关，故写出注意：系统的势能数值与势能零点有关，故写出系统的势能时系统的势能时应指明所选取的势能零点应指明所选取的势能零点应指明所选取的势能零点应指明所选取的势能零点。121319.4 动能定理的应用动能定理的应用系统动能的变化系统动能的变化系统所受力系
8、的功系统所受力系的功动能定理动能定理（代数方程）（代数方程）（1）对一个对象只能列出一个代数方程）对一个对象只能列出一个代数方程求解一个未知量求解一个未知量单自由度系统可直接解出，多自由度系统必须与单自由度系统可直接解出，多自由度系统必须与其他定理联立其他定理联立（2）可解问题：）可解问题：动能定理积分形式动能定理积分形式已知全部作功的力已知全部作功的力求速度，角速度求速度，角速度动能定理微分形式动能定理微分形式已知全部作功的力已知全部作功的力求加速度，角加速度求加速度，角加速度14注意注意（1）分析系统受力时，重点分析系统中）分析系统受力时，重点分析系统中全部全部作功的力作功的力作功的力作功
9、的力（不要忘记（不要忘记弹性力弹性力弹性力弹性力），略去），略去不作功的力（如理想约束的约束力）。不作功的力（如理想约束的约束力）。（2）动能定理的积分形式动能定理的积分形式 中，动能改中，动能改变量变量 只与系统初终两个状态的速度、角只与系统初终两个状态的速度、角速度有关，但力的功速度有关，但力的功 是一个积分计算，与是一个积分计算，与中间过程有关。中间过程有关。例如：定轴转动圆盘，受主动力例如：定轴转动圆盘，受主动力偶偶 作用，作用， 时静止，时静止，求求 时的角速度时的角速度 。15（3）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加速）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加速度，必须用动能定理的微
10、分形式度，必须用动能定理的微分形式注意注意 的求法：的求法：在系统的任意在系统的任意一般位置写出其动能一般位置写出其动能一般位置写出其动能一般位置写出其动能T T后，再后，再后，再后，再对对对对T T求导求导求导求导，在，在特殊位置写出的特殊位置写出的特殊位置写出的特殊位置写出的T T不能求导不能求导不能求导不能求导。（4）系统的动能是系统相对于惯性系的动能，）系统的动能是系统相对于惯性系的动能，动能定理式中各速度、角速度量均为动能定理式中各速度、角速度量均为绝对速度绝对速度绝对速度绝对速度、绝对角速度绝对角速度绝对角速度绝对角速度。16例例 题题 19-5I9 I9 动能定理动能定理 例题例
11、题图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径R的均质圆的均质圆盘，重为盘，重为P。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸长的细绳，其一端固定在长的细绳，其一端固定在A处，另一端接在一刚处，另一端接在一刚性系数为性系数为k的弹簧上。设系统开始处于静止，弹簧的弹簧上。设系统开始处于静止，弹簧并未变形。求：动滑轮质心并未变形。求：动滑轮质心c下落距离下落距离s 时，动滑时，动滑轮轮心的速度。（滑轮轴心摩擦忽略不计）轮轮心的速度。（滑轮轴心摩擦忽略不计） 解：解： 研究对象为滑轮系统研究对象为滑轮系统所受的约束为理想约束所受的约束为理想约束运动状态：动滑轮
12、作一般平面运动，运动状态：动滑轮作一般平面运动，定滑轮作定轴转动定滑轮作定轴转动应用动能定理，计算动能应用动能定理，计算动能ABcokIIIsPP作功的力：重力，弹性力作功的力：重力，弹性力17例例 题题 19-5I9 I9 动能定理动能定理 例题例题计算力的功：计算力的功：根据系统动能定理根据系统动能定理ABcokIIIsPP18例例 题题 19-6I9 I9 动能定理动能定理 例题例题解：解： 研究对象：杆研究对象：杆运动状态为定轴转动运动状态为定轴转动受重力和弹性力作用受重力和弹性力作用约束为理想约束，约束为理想约束，求动能，位置求动能，位置1：杆水平，位置：杆水平，位置2：杆铅垂：杆铅
13、垂图示均质细直杆质量图示均质细直杆质量M，长为，长为L，绕其一端在铅垂平面，绕其一端在铅垂平面内转动，其中点由一刚性系数为内转动，其中点由一刚性系数为k 的弹簧挂住，弹簧原的弹簧挂住，弹簧原长为长为L。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动到。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动到铅垂位置时其质心铅垂位置时其质心C的速度。（不计轴承的摩檫）的速度。（不计轴承的摩檫）AL/2LL/2CMgOA19例例 题题 19-6I9 I9 动能定理动能定理 例题例题计算主动力所作的功计算主动力所作的功应用刚体的动能定理，有应用刚体的动能定理，有AL/2LL/2CMgOA20例例 题题 19-7 I9 I9
14、 动能定理动能定理 例题例题图示放置于倾角为图示放置于倾角为 的固定斜面上的质量为的固定斜面上的质量为 、 半径为半径为 的均的均质圆盘，其中心质圆盘，其中心A系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，同时与一根绕在质量为同时与一根绕在质量为 ，半径为，半径为 的鼓轮的鼓轮B上的张紧绳索相连。上的张紧绳索相连。在鼓轮上作用一力偶矩为在鼓轮上作用一力偶矩为 的常力偶，使系统由静止开始运的常力偶，使系统由静止开始运动，斜面足够粗糙，圆盘动，斜面足够粗糙，圆盘A沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对轮心轮心B的回转半径为的回转半径为 ，弹簧的刚
15、度系数为，弹簧的刚度系数为 ，且初始时弹簧，且初始时弹簧为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承B处摩擦，试求鼓轮处摩擦，试求鼓轮转过转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小。时，圆盘的角速度和角加速度的大小。ABC21例例 题题 19-7I9 I9 动能定理动能定理 例题例题解：解：1.受力及运动状态分析受力及运动状态分析ABC（1）初始时系统的动能为）初始时系统的动能为系统为圆盘系统为圆盘A+鼓轮鼓轮B+弹簧，弹簧， 各处约束均为理想约束，各处约束均为理想约束，作功的力：作功的力： 力偶力偶M，A盘重力，弹性力，盘重力，弹性力，系统系统1个自由度个自由度以鼓轮
16、以鼓轮B转过的角度转过的角度 为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。圆盘圆盘A纯滚动，有：纯滚动，有：鼓轮鼓轮B角速度为：角速度为：又又22例例 题题 19-7I9 I9 动能定理动能定理 例题例题（2）当鼓轮转过）当鼓轮转过 角时：角时：系统的动能为系统的动能为ABC2.外力功外力功23例例 题题 19-7 I9 I9 动能定理动能定理 例题例题3.由动能定理的积分形式有由动能定理的积分形式有(1)当当 时：时：24例例 题题 19-7I9 I9 动能定理动能定理 例题例题4.对积分形式的动能定理两边求导：对积分形式的动能定理两边求导：ABC(1)对任意对任意 角成立角成立25例例 题题 19
17、-7I9 I9 动能定理动能定理 例题例题本题提示：本题提示：1.求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应在一般位置写出系统的动能再求导。在一般位置写出系统的动能再求导。2.对一般位置的动能对一般位置的动能 T 求导，可有两种方式：求导，可有两种方式：(1)将将T表达为系统的广义坐标的函数后再求导。表达为系统的广义坐标的函数后再求导。T与广义坐标关系简单时。与广义坐标关系简单时。(2)将将T表达为系统中各部分速度或角速度的函数后求表达为系统中各部分速度或角速度的函数后求导，求导后会出现各点或各刚体的加速度、角加速度，导，求导后会出现各点或各刚
18、体的加速度、角加速度，运用运动学知识找出其关系后再代入求解。运用运动学知识找出其关系后再代入求解。T的表达式较复杂时。的表达式较复杂时。26例例 题题 19-7I9 I9 动能定理动能定理 例题例题ABC如本例，任意时刻系统的动能为如本例，任意时刻系统的动能为求导：求导：27例例 题题 19-8I9 I9 动能定理动能定理 例题例题已知：铅垂墙面光滑，圆柱作纯滚动。当已知：铅垂墙面光滑，圆柱作纯滚动。当 = 45 时时系统由静止开始运动。系统由静止开始运动。求：此瞬时圆柱质心求：此瞬时圆柱质心A的加速度。的加速度。28例例 题题 19-8I9 I9 动能定理动能定理 例题例题解：解：m mg
19、gMMg gvCvBvAFBCDFPFfP211.分析分析运动学关系：运动学关系：29例例 题题 19-8I9 I9 动能定理动能定理 例题例题m mg gMMg gvCvBvAFBCDFPFfP2130由动能定理微分形式得：由动能定理微分形式得：在初始瞬时有：在初始瞬时有： = 45，vA = 0，故有：故有：例例 题题 19-8I9 I9 动能定理动能定理 例题例题m mg gMMg gvCvBvAFBCDFPFfP2131由动能定理微分形式也能得到：由动能定理微分形式也能得到：但此方法是否正确？但此方法是否正确？如先将如先将 = 45 代入动能表达式后再微分，即：代入动能表达式后再微分，
20、即：例例 题题 19-8I9 I9 动能定理动能定理 例题例题讨论：讨论：m mg gMMg gvCvBvAFBCDFPFfP2132例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题LlmgMgOACB图示系统由杆图示系统由杆OA，绳，绳ACB，物块，物块B构成，初构成，初始用手扶杆使始用手扶杆使OA在水平位置，系统静止，放在水平位置，系统静止，放手后，求杆手后，求杆OA到达铅垂位置时，物块到达铅垂位置时，物块B的速的速度，设杆度，设杆OA的质量为的质量为M=3m，物块，物块B的质量的质量为为m，OC间的距离间的距离L=4a，杆，杆OA长长l=3a，（不计定滑轮的质量）。（不计定滑轮
21、的质量）。33A”BA例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题LlmgMgOACB解：解：系统为单自由度，系统为单自由度，杆杆OA为定轴转动：为定轴转动：块块B为平动：为平动：1.求出运动学量之间关系求出运动学量之间关系x且且注意：注意：绳长不变，有绳长不变，有 初始时：初始时：34例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题求导：求导：BLlmgMgOACBxAA”令令即即求导：求导：在三角形在三角形COA中，由余弦定理：中，由余弦定理：35例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题BLlmgMgOACBxAA”任意时刻系统的动能为：任意时刻系
22、统的动能为：当当 时，有：时，有：当杆当杆OA到达铅垂位置时到达铅垂位置时36例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题BLlmgMgOACBxAA”杆杆OA到达铅垂位置时到达铅垂位置时系统相对于初始时刻的系统相对于初始时刻的动能改变量为：动能改变量为：37例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题求有限功求有限功BLlmgMgOACBxAA”代入动能定理代入动能定理（）38例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题BLlmgMgOACBxAA”此题也可用机械此题也可用机械能守恒定律：能守恒定律：取重力势能零点为各取重力势能零点为各物体的初始位置，则物体的初始位置，则同样可得：同样可得：（）39例例 题题 19-9I9 I9 动能定理动能定理 例题例题BLlmgMgOACBxAA”此题易错之处：此题易错之处：认为认为A点的速度点的速度实际上，绳子的实际上，绳子的CA段的方位是不断变化的段的方位是不断变化的应有：应有：40
