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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回曲边梯形的面积曲边梯形的面积上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回我们学过如何求梯形、长方形、三角形等我们学过如何求梯形、长方形、三角形等的面积的面积, , 这些图形都是由直线段围成的这些图形都是由直线段围成的. .那么那么, , 如何求曲线围成的平面图形的面积如何求曲线围成的平面图形的面积呢呢? ?这就是定积分要解决的问题。这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会本概念以
2、及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。定积分的思想及其应用价值。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 已知一个物体以每秒已知一个物体以每秒vo米的初速度米的初速度做匀加速运动，加速度为做匀加速运动，加速度为a米米/秒秒2.思考思考: :请你写出这个物体在请你写出这个物体在t秒时的位移秒时的位移s与时间与时间t的的函数关系函数关系s=f(t)，和速度，和速度v与时间与时间t的函数关系的函数关系v=g(t).你能说出这两个函数之间的关系吗你能说出这两个函数之间的关系吗?s=v0t+(1/2)at2v=v0+a t位移位移s对时间的导函数是速度时间函数对时间的导函数是速度
3、时间函数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回问题：问题：如图，阴影部分类似于一个梯形如图，阴影部分类似于一个梯形,但有但有一边是曲线一边是曲线y=f(x)的一段的一段, 我们把由直线我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的图形称所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积?abf(a)yxf(b)oDCBA上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 y = f(x)bax yOA A1用一个矩形的面积用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A.如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面
4、面积积?得得A1能再精确一点吗能再精确一点吗?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面近似代替曲边梯形的面积积A， 得得 y = f(x)bax yO如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?A1A2能再精确一点吗能再精确一点吗?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的近似代替曲边梯形的面积面积A， 得得 y = f(x)bax yO如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?A1A2A3A4能再精确一点吗能再精确一点吗?上页上
5、页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近. . 如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?达到无限接近。达到无限接近。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 曲边梯形的面积上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 无限分割逼近方法无限分割逼近方法小于逼近小于逼近大于逼近大于逼
6、近不足近似值不足近似值过剩近似值过剩近似值上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程曲边梯形的面积曲边梯形的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。然后用矩形面积代替后求和。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)分割分割(2)近似代替近似代替(3)求和求和(4)取极限取极限区间长度：区间长度：x= =区间高：区
7、间高：h=小矩形面积：小矩形面积：S=第第i i个小区间个小区间例例1.求求抛抛物物线线y=x2、直直线线x=1和和x轴轴所所围围成成的的曲曲边梯形的面积。边梯形的面积。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为为曲曲边形的面积。边形的面积。(1)分割分割 (2)近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值
8、。的近似值。 (4)取极限取极限 (3)求和求和定积分的概念定积分的概念曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线由连续曲线y f(x) (f(x) 0) ，直线，直线x a、x b及及x轴所围成的曲边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设设物物体体运运动动的的速速度度v v(t)，则则此此物物体体在在时时间间区区间间a, b内运动的距离内运动的距离s为为 (3) 设设物物体体在在变变力力F F(r)的的方方向向
9、上上有有位位移移r，则则F在在位移区间位移区间a, b内所做的功内所做的功W为为注意：注意：( (二二) )、定积分的几何意义、定积分的几何意义：Ox yab yf (x)如果在区间a,b上，函数f(x)连续，且恒有f(x)0，那么定积分表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b b与，x轴和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成轴所围成的曲边梯形位于的曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：-S22定积分
10、的几何意义：定积分的几何意义： 在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).-465OxyAB 解：由定积分几何意义 可知1 10 0x xy yy=xy=x 变式练习：计算 的值。 解：由几何意义可得 2 22 2-2-20 0y yx x 例1 用定积分表示下列阴影部分面积。 （1） （2） 解（1）由图可知 （2）由图可知0 0 1 12 2 x xy y1 11 1-1-10 0y yx xab yf (x)Ox y探究探究: :根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?
11、ab yf (x)Ox y三三. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 由定积分的定义可知，定积分有以下性质：由定积分的定义可知，定积分有以下性质：三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. 思考：思考：从定积分的几何从定积分的几何意义解释性质意义解释性质ab y=f(x)cOx y29上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.微积分基本定理微积分基本定理( (一一) )上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）
12、0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。复习：复习：2、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值说明：说明：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三三. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回题型题型2：定积分的几何意
13、义的应用定积分的几何意义的应用不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适当的符号连接起来当的符号连接起来上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.1.由定积分的定义可以计算由定积分的定义可以计算 , ,但但比较麻烦比较麻烦( (四步曲四步曲),),有没有更加简便有效的有没有更加简便有效的方法求定积分呢方法求定积分呢? ?引入引入上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微积分基本定理：微积分基本定理：设函数设函数f f( (x x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，并且上连续，并且F(xF(x) )f(xf(x) )， 则则这个
14、结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b)
15、)F F( (a a) )即可即可. .该公式该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。把计算定积分归结为求原函数的问题。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回不定积不定积分基本公式分基本公式(C)=0(sinx)=cosx(cosx)= sinx(xn+1)= (n+1)xn(ex)= ex(lnx)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 解解（）（）找出找出f(x)的原的原函数是关健函数是关健上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 练习：练习： 11/21/415/4上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例计算下列定积分例计算下列定积分 原式原式解解:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 练习：练习： 29/619e2-e+1上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回45上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微积分基本公式微积分基本公式小结小结牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系关系
