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1、第三章第三章 光学谐振腔光学谐振腔第三章第三章 光学谐振腔光学谐振腔光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它的主要功能有两个：的主要功能有两个：提供光学正反馈；提供光学正反馈；对产生的激光模式进行控制；对产生的激光模式进行控制；研究光学谐振腔的主要理论包括：研究光学谐振腔的主要理论包括：几何光学理论；几何光学理论；波动光学理论；波动光学理论；菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分；基尔霍夫衍射积分；3.1光学谐振腔的稳定性光学谐振腔的稳定性3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的稳定性条件光学谐振腔的稳定性条件当光线在周期性透镜波导中传播而不溢
2、出波导之外，称为稳定的透镜当光线在周期性透镜波导中传播而不溢出波导之外，称为稳定的透镜波导；波导；一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光腔为稳定腔。腔为稳定腔。透镜波导的稳定性条件为：透镜波导的稳定性条件为：代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：引入引入g参数后可以将上式写为：参数后可以将上式写为：此式为共轴球面腔的稳定性条件此式为共轴球面腔的稳定性条件反射
3、镜的凹面向着腔内时，反射镜的凹面向着腔内时，R取取正值，凸面向着腔内时，正值，凸面向着腔内时，R取负值。取负值。3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里-珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为F-P腔；腔；Maiman的第一台激光器采的第一台激光器采用的就是此腔；用的就是此腔；此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：侧面无光学边界；侧面无
4、光学边界；轴向尺寸远大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸轴向尺寸远大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸(反射镜尺寸反射镜尺寸)；具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由开腔内插入光学元件的复合腔；开腔内插入光学元件的复合腔；对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件 时，时，称为稳定腔；称为稳定腔；当当 时，称为非稳腔；时，称为非稳腔；当当 时，称为临界腔；时，称为临界腔
5、；3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类常见开腔的构成及分类：常见开腔的构成及分类：1、平行平面腔：、平行平面腔：平行平面腔属于临界腔。平行平面腔属于临界腔。2、双凹腔：、双凹腔：由共轴双凹面镜构成的光腔，由共轴双凹面镜构成的光腔，R10,R20当当R1d,R2d时，有时，有则则 此腔为稳定腔；此腔为稳定腔；当当R1d且且R2d，此腔也为稳定腔；，此腔也为稳定腔；当当R1=R2=d时，构成对称共焦腔，根据稳定性条时，构成对称共焦腔，根据稳定性条件可以得到件可以得到g1=g2=1，该腔为临界腔；，该腔为临界腔；当满足条件当满足条件R1+R2=d时，构成实共心腔，根据稳时，构成实共
6、心腔，根据稳定性条件可以得到定性条件可以得到g1g2=1，因此也是临界腔；，因此也是临界腔；其他参数的双凹腔都是非稳腔；其他参数的双凹腔都是非稳腔；3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类平面、凹面反射镜腔平面、凹面反射镜腔 由一个平面反射镜和一个凹面反射镜构成由一个平面反射镜和一个凹面反射镜构成的光腔，的光腔， ，R20；当当R2d时，求得时，求得0g1g21，构成稳定腔；，构成稳定腔；当当R2=d时，构成半共焦腔，时，构成半共焦腔，g1g2=0，构成，构成临界腔；临界腔；当当R2d时，时，g1g20，构成非稳腔；，构成非稳腔；凹凸腔凹凸腔由一个凹面反射镜，一个凸面反射镜构成由
7、一个凹面反射镜，一个凸面反射镜构成的光腔，的光腔，R10；如果要求满足稳定性条件，可以求出：如果要求满足稳定性条件，可以求出：3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类平凸腔平凸腔由一个平面反射镜和一个凸面由一个平面反射镜和一个凸面反射镜构成的光腔，反射镜构成的光腔， ，R21，故所有的平，故所有的平凸腔都是非稳腔。凸腔都是非稳腔。双凸腔双凸腔由两个凸面反射镜构成的光腔，由两个凸面反射镜构成的光腔，R10,R21，故所有的双，故所有的双凸腔都是非稳腔。凸腔都是非稳腔。3.1.2光学谐振腔的作用光学谐振腔的作用提供光学正反馈作用提供光学正反馈作用光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时
8、光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时,除了由腔内损除了由腔内损耗和通过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外耗和通过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外,还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经过受激活介还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经过受激活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。质的受激辐射放大而维持继续振荡。决定光学反馈的因素决定光学反馈的因素组成腔的两个反射镜面的反射率组成腔的两个反射镜面的反射率;反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；对振荡光束参数进行控制对振荡光束参数进行控制有效地控制腔内实际振荡的模式数目；有效地控制腔内实际
9、振荡的模式数目；可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光束发散角等；束发散角等；可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。3.1.2光学谐振腔的作用光学谐振腔的作用对光学谐振腔的评价标准对光学谐振腔的评价标准光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反馈，达到预期输出；馈，达到预期输出；应具有良好的激光模式鉴别能力；应具有良好的激光模式鉴别能力；光学谐振腔的选择原则光学谐振腔的选择原则根据实际应用的需要选择不同的光
10、学谐振腔。根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。“稳定稳定”与与“非稳定非稳定”指的是什么？指的是什么？3.1.3光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性常常用稳区图来表示共轴球面腔的稳定条件 ，以光腔的两个反射面的g参数为坐标轴绘制出的图为稳区图：图中空白部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中阴影区为不稳定区；在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。 3.1.3光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性稳定性简单判别法稳定性简单判别法若一个反射面的曲率中心若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个与其顶点的连线与
11、第二个反射面的曲率中心或反射反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，则面本身二者之一相交，则为稳定腔；为稳定腔；若和两者同时相交或者同若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔；时不相交，则为非稳腔；若有两个中心重合，则为若有两个中心重合，则为临界腔；临界腔；3.1.3光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性稳定性判断稳定性判断圆法圆法分别以两个反射镜的曲率半径分别以两个反射镜的曲率半径为直径，圆心在轴线上，作反为直径，圆心在轴线上，作反射镜的内切圆，该圆称为射镜的内切圆，该圆称为圆；圆；若两个圆有两个交点，则为稳若两个圆有两个交点，则为稳定腔；定腔；若没有交点，则为非稳腔；若没有交点，
12、则为非稳腔；若只有一个交点或者完全重合，若只有一个交点或者完全重合，则为临界腔；则为临界腔；3.2光学谐振腔的模式光学谐振腔的模式3.2.1平平腔的驻波平平腔的驻波均匀平面波近似均匀平面波近似一般的开放式光学谐振腔都满足条件：一般的开放式光学谐振腔都满足条件：在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提供一个粗略但是形象的描述；供一个粗略但是形象的描述；严格的理论证明，只要满足条件严格的理论证明，只要满足条件 ，则腔，则腔内损耗最低的模式仍可以近似为平面波
13、，而内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。3.2.1自由空间中的驻波自由空间中的驻波沿沿z方向传播的平面波可以表示为：方向传播的平面波可以表示为： 沿沿-z方向传播的平面波为：方向传播的平面波为：发生重叠时的电磁场分布为：发生重叠时的电磁场分布为：该叠加的场分布的振幅在沿该叠加的场分布的振幅在沿z方向上有一个余弦分布。方向上有一个余弦分布。在在z点处的振幅为点处的振幅为当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位置为波腹；置为波腹；当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位置为
14、波节；置为波节；驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。3.2.1平平腔的驻波平平腔的驻波平行平面腔中的驻波平行平面腔中的驻波当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，相位相位应与初始出发时相差应与初始出发时相差2的整数倍。的整数倍。以以表示往返一周后的相位差：表示
15、往返一周后的相位差：其中的其中的q q为任意正整数，将任意正整数，将满足上式的波足上式的波长以以 来来标记，则有：有：上式意味着一定上式意味着一定长度的度的谐振腔只能振腔只能对一定一定频率的光波形成正反率的光波形成正反馈， 为腔的腔的谐振振频率，同率，同时表明腔内的表明腔内的谐振振频率是分立的。率是分立的。3.2.1平平腔的驻波平平腔的驻波当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，这是腔内驻波的特征。这是腔内驻波的特征。当腔内为均匀的折射率为当腔内为均匀的折射率为 的物质时有：的物质时有：其中其中L为腔的几何长度，则为腔的几何长度，则
16、，其中的其中的 是物质中的谐振波长。是物质中的谐振波长。当腔内物质为分段均匀，则有：当腔内物质为分段均匀，则有：当物质沿轴线分布不均匀时有：当物质沿轴线分布不均匀时有：3.2.2光学谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模将腔内稳定存在的、由整数将腔内稳定存在的、由整数q表征的光波纵向分布表征的光波纵向分布称为腔的称为腔的纵模纵模(Longitudinal mode)。在简化模型。在简化模型中，中，q单值的决定模的谐振频率。单值的决定模的谐振频率。腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：对于腔内是均匀介质的谐振腔对于腔内是均匀介质的谐振腔 则有：则有：3.2.2光学
17、谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模例：例：对于对于L=10cm的气体激光器，的气体激光器，=1=1，则有，则有 ；对于对于L=100cmL=100cm的气体激光器，的气体激光器， ；对于对于L=10cmL=10cm，=1.76=1.76的固体激光器，的固体激光器， ；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，它工作在，它工作在极高的谐波上，既极高的谐波上，既q q是一个很大的整
18、数。是一个很大的整数。例如例如L=100cmL=100cm，=632.8nm=632.8nm的的He-NeHe-Ne激光器：激光器：3.2.3腔内的多纵模振荡腔内的多纵模振荡某个纵模某个纵模q q能够在腔内存在必须满足以下条件：能够在腔内存在必须满足以下条件：满足腔内谐振频率条件：满足腔内谐振频率条件：q q必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介质才能对该纵模提供增益；质才能对该纵模提供增益；满足振荡阈值条件满足振荡阈值条件 ；在光学谐振腔中能够存在的在光学谐振腔中能够存在的纵模数最多只能有：纵模数最多只能有：3.2.3腔内的多纵模振荡腔内的多
19、纵模振荡频率漂移频率漂移对某个腔内纵模对某个腔内纵模q：由此可知，当腔长由此可知，当腔长L或者折射率或者折射率发生发生变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。这种振荡频率随外界环境变化而发生缓这种振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象称为慢变化的现象称为频率漂移。频率漂移。假设腔内纵模频率会随温度发生变化，假设腔内纵模频率会随温度发生变化，如图所示，当温度为如图所示，当温度为T T0 0时，只有时，只有q q能能够振荡；当温度为够振荡；当温度为T T2 2时，时，q q漂出漂出T T的范围，而的范围，而q+1q+1漂进漂进T T ，则腔内模，则腔内模式发生了
20、变化，成为跳模现象式发生了变化，成为跳模现象频率漂移现象都是有害的吗？频率漂移现象都是有害的吗？3.4开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存在不随时间变化的稳定的电磁场分布？在不随时间变化的稳定的电磁场分布？如何求出这个分布的具体形式？如何求出这个分布的具体形式？在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面一般作为激光输
21、出窗口，而输出激光的场一般作为激光输出窗口，而输出激光的场分布就直接与镜面上的场分布有关。分布就直接与镜面上的场分布有关。3.4.1开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念开腔中有多种损耗：开腔中有多种损耗：由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模式的横向分布；式的横向分布；反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损耗不影响模式的横向分布；耗不影响模式的横向分布；开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀的各向同
22、性介质中；的各向同性介质中；3.4.1开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念假设初始时在镜面假设初始时在镜面1上有分布为上有分布为u1的电磁场从镜面的电磁场从镜面1向镜面向镜面2传输，经过一次渡越，在镜面传输，经过一次渡越，在镜面2上有分布为上有分布为u2的场，在经的场，在经过反射后再次渡越回到镜面过反射后再次渡越回到镜面1时场的分布为时场的分布为u3，如此反复。，如此反复。受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；由于衍射损耗仅发生在镜面
23、的边缘，因此只有中心振幅大，由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“再现再现”出出发时的振幅分布。发时的振幅分布。3.4.1开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电磁场分布称为开腔的磁场分布称为开腔的自再现模自再现模；自再现模经一次往
24、返所发生的能量损耗定自再现模经一次往返所发生的能量损耗定义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；自再现模经一次往返所产生的相位差定义自再现模经一次往返所产生的相位差定义为往返相移，往返相移应为为往返相移，往返相移应为2的整数倍，的整数倍，这是由腔内模的是由腔内模的谐振条件决定的。振条件决定的。3.4.1开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念孔阑传输线孔阑传输线开腔物理模型中衍射的作用开腔物理模型中衍射的作用腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自再现的模式选择出来；再现的模式选择出来；由于衍射的影
25、响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分惠更斯惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；点的光场就是这些
26、子波在该点相干叠加的结果；该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必然是开腔模式的物理基础；然是开腔模式的物理基础；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析设已知空间某一曲面设已知空间某一曲面S上光波长的振幅和相位分布函数为上光波长的振幅和相位分布函数为u(x,y)，则空间任一点，则空间任一点P处的光场分布，可以看作曲面处的光场分布，可以看作曲面S上每点作为次级上每点作为次级子波源发出的非均匀球面波在子波源发出的非均匀球面波在P点的叠加，由菲涅尔点的叠加，由菲涅尔-基尔霍
27、夫衍基尔霍夫衍射积分公式来描述：射积分公式来描述：为什么用菲涅尔为什么用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式？基尔霍夫衍射积分公式？其中其中k=2/为波矢的模，也称波矢的模，也称为波数；波数；dS是是S面上的面面上的面积元；元；为源点与源点与P点之点之间连线的的长度；度；为源点源点处S面法面法线与与P点点连线之之间的的夹角；角； 表示球面波，表示球面波，(1+cos)为倾为倾斜因斜因子，表示非均匀球面波；子，表示非均匀球面波；3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S1上光场上光场u1(x,y)经过衍射后在镜面经过衍
28、射后在镜面S2上面形成光场分布上面形成光场分布u2;要做出如下假设：要做出如下假设：1、 在小角度近似下有：在小角度近似下有： 并且在此并且在此情况下可以将光场的两种偏情况下可以将光场的两种偏振状态作为独立变量分别求解；振状态作为独立变量分别求解；2、 ，被积函数中的指，被积函数中的指数因子数因子 不能简单将不能简单将用用L L代代替，只能根据不同谐振腔情况替，只能根据不同谐振腔情况来简化；来简化；3 3、腔内振幅衰减是缓慢的；、腔内振幅衰减是缓慢的；3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析经过经过q次传播后：次传播后：将第一个假设带入其中有：将第一个假设带入其中有：由开腔理论中描述的自再现
29、模的定义可知，在开腔内稳定由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定传输的光波模式应满足关系：传输的光波模式应满足关系：在稳定情况下，在稳定情况下，uq从镜面从镜面S1传播到传播到S2时，除时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标无关的复常数因子无关的复常数因子外，外， 其分布能够被其分布能够被u uq+1q+1再现。再现。3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到衍射效应的影响，但是这些光波长在两个衍
30、射效应的影响，但是这些光波长在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变。变。3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析以以E(x,y)表示开腔中的稳定光场分布函数表示开腔中的稳定光场分布函数u，则上式可以简化为：，则上式可以简化为：该式是开腔自再现模满足的积分方程，满该式是开腔自再现模满足的积分方程，满足以上方程的函数足以上方程的函数E成为本征函数，成为本征函数，为本为本征值，而征值，而K K为积分方程的核；为积分方程的核；对于对称腔：对于对称腔：3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析满足上式的本征函数满足上式的本征函数E就是腔的自再现模，也称为腔的横
31、就是腔的自再现模，也称为腔的横模，模，E一般是复函数，其模一般是复函数，其模|E(x,y)|描述的是镜面上的振幅描述的是镜面上的振幅分布，其幅角分布，其幅角argE(x,y)表示镜面上的相位分布；表示镜面上的相位分布；为复常数，不妨设为：为复常数，不妨设为： 其中的其中的a a、为与坐标为与坐标无关的实常数，则自再现模可以表示为：无关的实常数，则自再现模可以表示为：由此可见，由此可见，e e-a-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，a a越大损耗越大，越大损耗越大，a=0a=0表示无损耗传输；表示无损耗传输；表示渡越一次后自再现模的相位滞后，表示渡越一
32、次后自再现模的相位滞后，越大相位滞后越大相位滞后越多。越多。3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析从镜面从镜面S1出射的光功率为：出射的光功率为：被镜面被镜面S2反射后的自再现模的功率为：反射后的自再现模的功率为：自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单程损耗：程损耗：|越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。3.4.2开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析自再现模在腔内经过一次渡越的总相移自再现模在腔
33、内经过一次渡越的总相移定义定义为：为：由由 ，可得，可得 ；从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为2 2的的整数倍：整数倍：即即 ，q q为正整数，此公式对称开为正整数，此公式对称开腔的谐振条件。腔的谐振条件。3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法平行平面腔平行平面腔优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；单横模振荡；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平
34、面腔的方法分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式；射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；值方法来求近似解；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法Fox-Li数值迭代法数值迭代法Gardner Fox 和厉鼎毅在和厉鼎毅在1961年发表文章年发表文章Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用计算机迭代方法求
35、解衍射积分方程首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；来研究平平腔内模式的方法；优点优点理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点缺点收敛性不好，计算量大；收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；对高阶模式的计算误差较大；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法平行平面镜腔平行平面镜腔如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：如图所示的矩形镜平平腔，
36、满足条件：两腔镜上两点之间距离为：两腔镜上两点之间距离为：将其作级数展开：将其作级数展开：或者或者3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法当满足条件当满足条件 时，积分核可以写成：时，积分核可以写成：则衍射积分公式改写为：则衍射积分公式改写为：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：式式(1)表示一个平平腔，其反表示一个平平腔，其反射镜在射镜在x方向上的宽度为方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式自再现模；式(2)表示的是另表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。一个方向的条状腔的自
37、再现模。3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法满足上述方程的函数满足上述方程的函数E(x)和和E(y)可以有很多个，用可以有很多个，用Em(x)和和En(Y)分别分别表示其中的第表示其中的第m和第和第n个解，对应的复常数为个解，对应的复常数为m m、n n，则上述方程可，则上述方程可以表示为：以表示为：(1)(1)式在数学上称为本征方程，只有在式在数学上称为本征方程，只有在m m和和n n为一系列分立的值，对为一系列分立的值，对应应m m、n n取不同的正整数时，方程才成立，因此取不同的正整数时，方程才成立，因此m m和和n n又被称为方程又被称为方程的本征值；的本征值；对不同
38、的对不同的m m和和n n，能够使方程成立的解，能够使方程成立的解E Em m(x)(x)和和E En n(y)(y)被称为相应的本被称为相应的本征函数；征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；此时的自再现模为：此时的自再现模为：复常数为：复常数为：3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法由此可得到数值计算中的迭代公式为：由此可得到数值计算中的迭代公式为：要进行迭代需要设置初始值要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模
39、，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1(x)=1， 由于由于argu1(x)=0，它代表了一个等相位面就是，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法将将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此
40、对我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归进行归一化。一化。将归一化后的将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和和uq之间只之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子此时求出的与坐标无关的常数因子 是本征值；是本征值；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法Fox-Li对对 条件下的平平
41、腔进行了迭代计条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。1、镜面上的振幅分布、镜面上的振幅分布右图是右图是300次迭代后得到的稳定自再次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：现模的相对振幅分布，具有以下的特点：镜面中心处振幅最大；镜面中心处振幅最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；振幅分布具有藕对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用，在
42、矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。来表示基模。菲涅耳数菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；镜边缘处的相对振幅越小；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法在平平腔中除了基模外，还有其他在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：取初值条件为：可以通过迭代得到另一种形式的稳可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最
43、小值，然而在镜中心和边缘中为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。表示。腔中还存在着其他的高阶模式；腔中还存在着其他的高阶模式；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法2、镜面上的相位分布、镜面上的相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知从其分布可知TEM0模不是严格意义模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳
44、数较大时，的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；缘波前才发生微小的弯曲；右下图是右下图是TEM1模的相位分布，在节模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。平面波。3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法3、单程相移与谐振频率、单程相移与谐振频率A、单程总相移、单程总相移计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计计算方法：在迭代过程中，对镜面
45、上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：表达式：其中其中kL为几何相移，为几何相移， 为附加相移，与为附加相移，与N有关，有关，不同的横模有不同的附加相移；不同的横模有不同的附加相移；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法右图为不同横模的单程右图为不同横模的单程相移随相移随N变化的曲线，变化的曲线，从曲线中可以得出结论：从曲线中可以得出结论：N相同时，基模的附加相相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移最小，高阶模的附
46、加相移较大；移较大；N较大时，在对数坐标中较大时，在对数坐标中附加相移随附加相移随N的变化曲线的变化曲线基本为直线；基本为直线；3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法B、谐振频率、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：由自再现模稳定存在的条件可知：以以mnqmnq表示表示TEMTEMmnmn模的谐振频率，则：模的谐振频率，则：与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由多了一项，它是由TEMTEMmnmn模的附加相移引起的。模的附加相移引起的。3.4.3平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法4、单程功率损耗、
47、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随功率损耗随N变化的曲线。变化的曲线。基模是平行平面腔的一切横模中基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由对确定的横模，单程损耗由N单单值决定，值决定，N越大，损耗越小；越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；低于均匀平面波的损耗；3.5稳定球面腔稳定球面腔3.5.1方形镜共焦腔的
48、自再现模方形镜共焦腔的自再现模1、衍射积分方程及其解析解、衍射积分方程及其解析解如右图所示的方形镜共焦腔，满足如如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：下条件：则两点之间的距离为：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：由球面镜几何关系：3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模其自再现模其自再现模mnmn满足的积分方程为：满足的积分方程为：作如下变换：作如下变换：3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模通过分离变量求得：通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个
49、本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)式同式同(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；式共同决定了矩形腔中
50、模式的相移与损耗；以以TEMmn表示共焦腔自再现模；表示共焦腔自再现模；3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模2、镜面上场的振幅和相位分布、镜面上场的振幅和相位分布A、厄米、厄米-高斯近似高斯近似在在 时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中其中Cm、Cn为常系数，为常系数，Hm(x)为为m阶厄米多项式。阶厄米多项式。 厄米多项式的最初几阶为：厄米多项式的最初几阶为：3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模当当c时时，厄米，厄米- -高斯函数
51、高斯函数 是分离是分离变变量后的本征方程的本征函数；量后的本征方程的本征函数；c c为为有限有限值时值时，只要，只要满满足条件足条件c=2c=2N1N1，厄米，厄米- -高斯函数高斯函数仍能非常好的仍能非常好的满满足本征方程；足本征方程；若不若不满足足该条件，在条件，在镜面的中心附近，仍然能面的中心附近，仍然能够用厄米用厄米- -高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将将长椭球函数的厄米球函数的厄米- -高斯近似高斯近似带入本征方程的本征解，入本征方程的本征解，并且用并且用x x，y y替代替代X X，Y Y可以得到自再可以得到自再现模的表达式：模
52、的表达式：其中其中C Cmnmn为常系数。常系数。3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模B、厄米、厄米-高斯近似下的基模高斯近似下的基模当当m=n=0时，可以得到时，可以得到TEM00模的分布函数：模的分布函数：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：处，振幅降为中心处振幅的处，振幅降为中心处振幅的1/e。其中。其中L为共焦腔长度，为共焦腔长度，为激光波长，为激光波长，通常用半径为通常用半径为r r的圆来规定基模光斑的半径，并定义的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。为共焦腔中基模
53、在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。光场并不局限于光场并不局限于0S0S内，而是扩展到无穷远处，只是当内，而是扩展到无穷远处，只是当rr0S0S时，光强已时，光强已经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长与腔长L L，或共焦腔反射镜焦距，或共焦腔反射镜焦距f=L/2f=L/2有关，但只在厄米有关，但只在厄米- -高斯函数近似下高斯函数近似下才成立。才成立。3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模例例 使用共焦腔的使用共焦腔的CO2激光器，若激光器，若L=1m，输出波，输出波长为长为10.6um，则
54、，则0S0S约为约为1.84mm1.84mm；使用共焦腔的使用共焦腔的He-NeHe-Ne激光器，激光器，L=0.3m，输出波长，输出波长为为0.6328um，则，则0S0S约为约为0.25mm0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其广场主要集中在镜面中心附近；得多，因此其广场主要集中在镜面中心附近；除了除了1/e1/e半径半径0S 0S ，还有另一种光斑半径的定义，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的方式，即强度最大值的1/21/2处（半功率点）的光处（半功率点）的光斑尺寸为斑尺寸为0S0S。3.5.1方形镜共焦腔
55、的自再现模方形镜共焦腔的自再现模C、高阶横模、高阶横模当当m、n取不同时为取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：的一系列整数时，为高阶横模：TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模D、相位分布、相位分布镜面上等相位面由镜面上等相
56、位面由mnmn(x,y)(x,y)的幅角决定。的幅角决定。由于长椭球函数为实函数，则由于长椭球函数为实函数，则mnmn(x,y)(x,y)也是实也是实函数，其幅角为函数，其幅角为0 0，说明镜面上各点的相位相同，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。共焦腔与平平腔的相位分布不同；共焦腔与平平腔的相位分布不同；3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模3、单程损耗、单程损耗共焦腔自再现模的单程损耗：共焦腔自再现模的单程损耗：通过计算可
57、以得到不同腔的损通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。耗，如右图所示。均匀平面波夫琅和费衍射的衍射均匀平面波夫琅和费衍射的衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；腔的衍射损耗；基模的损耗是所有模式的损耗中基模的损耗是所有模式的损耗中最少的；最少的；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，由菲涅尔数确定，TEM00模的损
58、耗可近似按下述公式计算：模的损耗可近似按下述公式计算：He-Ne激光器采用共焦腔，激光器采用共焦腔，L=30cm，放电管半径，放电管半径a=0.1cm，输出波长，输出波长0.6328um，对应菲涅耳数为，对应菲涅耳数为5.627，可以求出可以求出 而如果采用平平腔，而如果采用平平腔， 。以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当当N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。不太小时，衍射损耗可以忽略不计。当当N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。射损耗的差别来进
59、行横模选择。3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模4、单程相移和谐振频率、单程相移和谐振频率单程相移由本征值决定：单程相移由本征值决定：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：该相移与该相移与N无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；由谐振腔的谐振条件由谐振腔的谐振条件 可得：可得：则谐振频率为：则谐振频率为：3.5.1方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模纵模间隔：纵模间隔：当当m、n不变时，由不变时，由q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间
60、隔为：当当q、n不变时，由不变时，由m变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当当q、m不变时，由不变时，由n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：模式简并：模式简并：不同的不同的q、m、n所决定的所决定的横模处于同一个谐振频率横模处于同一个谐振频率mnqmnq，即使得即使得q+(m+n+1)/2q+(m+n+1)/2相同的各种相同的各种m m、n n、q q搭配。搭配。3.5.2方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场当镜面上的场分布能够用厄米当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示
61、为：腔中的行波场可以表示为：其中：其中：Emn(x,y,z)表示表示TEMmn模在腔内任一点的场强，模在腔内任一点的场强，E0为常数，为常数，Amn为归一化常数；为归一化常数；只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。波场的表达式还可推广到腔外整个空间。3.5.2方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场1、振幅分布、振幅分布共焦腔行波场振幅为：共焦腔行波场振幅为：对基模：对基模：振幅振幅1/e处的基模光斑半径为：处的基模光斑半径为：该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同：该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同
62、：基模光斑的大小随基模光斑的大小随z的变化规律：的变化规律：即即z=0处为束腰位置，处为束腰位置，0 0为束腰半径。为束腰半径。3.5.2方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场2、模体积、模体积某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供的增益就越大，可能输出的功率就越大；的增益就越大，可能输出的功率就越大；对基模，其模体积为：对基模，其模体积为：对高阶模，其模体积为：对高阶模，其模体积为：3.5.2方形镜共焦腔的行波场方
63、形镜共焦腔的行波场3、等相位面的分布、等相位面的分布腔内的相位分布由腔内的相位分布由(x,y,z)(x,y,z)描述，与腔的轴线相交于描述，与腔的轴线相交于z z0 0点的等相点的等相位面的方程为位面的方程为(0,0,z)(0,0,z)，忽略由于，忽略由于z z的微小变化引起的相位变化，的微小变化引起的相位变化，在强的轴线附近有：在强的轴线附近有：上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于z=zz=z0 0处，而抛物面的焦距为：处，而抛物面的焦距为：在在r2fr2f的范围内，即腔轴线附近，可以将其近似为球面波，与的范围内，即腔轴
64、线附近，可以将其近似为球面波，与腔的轴线在腔的轴线在z0z0点相交的等相位面的曲率半径为：点相交的等相位面的曲率半径为：注意与前面得到的高斯光束等相位面半径公式的比较3.5.2方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场4、远场发散角、远场发散角远场发散角定义为光束半径分布的双曲线两渐近线的远场发散角定义为光束半径分布的双曲线两渐近线的夹角：夹角：半功率点定义的远场发散角为：半功率点定义的远场发散角为：共焦腔的基模光束具有毫弧度级的发散角；共焦腔的基模光束具有毫弧度级的发散角；如果产生多模震荡，由于高阶模的发散角随模的阶次如果产生多模震荡，由于高阶模的发散角随模的阶次增大而增大，因而会使光束的方向
65、性变差。增大而增大，因而会使光束的方向性变差。3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式1、积分方程的解、积分方程的解精确解：超椭球函数；精确解：超椭球函数；数值解：数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解；利用迭代法得到数值解；近似解：透镜孔径足够大时可以得到近近似解：透镜孔径足够大时可以得到近似解；似解；2、数值解的结论、数值解的结论A、振幅分布：、振幅分布：圆形镜共焦腔中的场更集中在反射镜中圆形镜共焦腔中的场更集中在反射镜中心附近，在镜的边缘部分下降得更低；心附近，在镜的边缘部分下降得更低；振幅分布曲线更光滑；振幅分布曲线更光滑；N越大，镜边缘处的场振幅越小；越大，镜边缘处的场振幅越
66、小；3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式B、等相位面分布：、等相位面分布：圆形镜共焦腔反射镜面本身为场圆形镜共焦腔反射镜面本身为场的等相位面，即模的等相位面为的等相位面，即模的等相位面为球面；球面；C、单程相移、单程相移模的单程相移与模的单程相移与N无关；无关；不同横模之间单程相移之差为不同横模之间单程相移之差为/2/2的整数倍；的整数倍；n n相同而相同而m m相差相差1 1的各个模相移差为的各个模相移差为/2/2，而，而m m相同相同n n相差相差1 1的各个模相的各个模相移差为移差为；3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式D、单程功率损耗、单程功率损耗圆形镜共焦腔不同横
67、模的圆形镜共焦腔不同横模的衍射损耗各不相同；衍射损耗各不相同；衍射损耗最低的模式是衍射损耗最低的模式是TEM00模，随着横模级次模，随着横模级次的增高，损耗迅速增加；的增高，损耗迅速增加；所有模式的损耗随所有模式的损耗随N的增的增大而迅速下降；大而迅速下降；相应横模的损耗在数量级相应横模的损耗在数量级上要比平平腔模低得多，上要比平平腔模低得多，但比方形镜共焦腔的损耗但比方形镜共焦腔的损耗大。大。3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式3、拉盖尔、拉盖尔-高斯近似解高斯近似解当当N时时，积积分方程可以求得近似解，即分方程可以求得近似解，即圆圆形形镜镜共焦共焦腔的自再腔的自再现现模，模，为为
68、拉盖拉盖尔尔-高斯函数。高斯函数。N的物理意的物理意义义？3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式振幅分布振幅分布基模的振幅分布也是高斯基模的振幅分布也是高斯分布，其分布，其1/e光束半径为光束半径为 ，与方形镜共焦腔一致；，与方形镜共焦腔一致；对高阶模式，对高阶模式，m代表了方代表了方位角位角 上的极小值数目，上的极小值数目，n代表了径向代表了径向r上的极小值上的极小值数目；数目；相位分布相位分布由于由于mnmn也是实函数，与也是实函数，与方形镜类似，圆形镜共焦方形镜类似，圆形镜共焦腔自再现模的等相位面与腔自再现模的等相位面与其腔镜重合。其腔镜重合。3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共
69、焦腔的模式单程相移单程相移附加相位超前附加相位超前mnmn与数值计算结果一致。与数值计算结果一致。谐振频率谐振频率 在腔内，频率是高度简并的。在腔内，频率是高度简并的。单程衍射损耗单程衍射损耗这个结论是必然的，因为近似解是在这个结论是必然的，因为近似解是在N的假的假设设下近似下近似得到的，因此得到的，因此该该分布不能用来研究分布不能用来研究传输损传输损耗。耗。3.5.3圆形镜共焦腔的模式圆形镜共焦腔的模式4、圆形镜共焦腔的行波场、圆形镜共焦腔的行波场由镜面上的场通过衍射积分方程求出空间场由镜面上的场通过衍射积分方程求出空间场3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性一般稳定球面腔与对称共焦腔
70、的等价性1、任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面、任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价腔等价等价等价指两种腔具有相同的自再现模。指两种腔具有相同的自再现模。这种等价性是以共焦腔模式的空间分布，尤其是等这种等价性是以共焦腔模式的空间分布，尤其是等相位面的分布为依据的，共焦腔中与腔的轴线相交相位面的分布为依据的，共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为：于任意一点的等相位面的曲率半径为：如果在共焦腔的任意两个等相位面上放置两块具有如果在共焦腔的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则自再现模的行波场相应曲率半径的球面反射镜，则自再现模的行波场不会受到扰动。不会
71、受到扰动。3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性满足以下条件的无穷多个球面反射镜腔都等价于图中的共满足以下条件的无穷多个球面反射镜腔都等价于图中的共焦腔：焦腔：可以证明这无穷多个腔都是稳定腔，即满足条件：可以证明这无穷多个腔都是稳定腔，即满足条件：任意共焦腔，等价于无穷多个稳定球面腔。任意共焦腔，等价于无穷多个稳定球面腔。3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性2、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔共焦腔以双凹腔为例以双凹腔为例给定满足给定满足0g1g21的的R1
72、、R2、L的值，可以求出的值，可以求出f，f必须为实数，而且必须为实数，而且z1、z2必须合理，使共焦腔的中心必须合理，使共焦腔的中心位置可以求出。位置可以求出。3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性有确有确定的定的等价等价共焦共焦腔存腔存在在3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性以上的证明都是在共焦腔的模式能够用厄以上的证明都是在共焦腔的模式能够用厄米米-高斯或者拉盖尔高斯或者拉盖尔-高斯函数描述时才是正高斯函数描述时才是正确的，因为其行波场的等相位面曲率半径：确的，因为其行波场的等相位面曲率半径：是在是在N足够
73、大时的近似，即本节所有的讨论足够大时的近似，即本节所有的讨论都是在都是在N足够大的前提下进行的。足够大的前提下进行的。3.5.5一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式通过共焦腔与一般稳定球面腔的等价性，通过共焦腔与一般稳定球面腔的等价性，将共焦腔模式理论引入到一般稳定球面腔将共焦腔模式理论引入到一般稳定球面腔中，研究其模式特征。中，研究其模式特征。1、镜面上的光斑尺寸、镜面上的光斑尺寸从上一节导出的与一般稳定球面腔等价的共焦从上一节导出的与一般稳定球面腔等价的共焦腔的腔的f表达式可得到其行波场束腰：表达式可得到其行波场束腰：3.5.5一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式镜面上的光斑尺寸：
74、镜面上的光斑尺寸：当当g1=g2=0，L一定时，一定时，S1S1、S2S2有有最小值，此时对应对称共焦腔；最小值，此时对应对称共焦腔；当当0g0g1 1g g2 211时，表达式成立；如果不时，表达式成立；如果不满足，满足， S1S1与与S2S2为复数；为复数；当当g g1 1g g2 21 1或或g g1 1g g2 20，即，即稳定球面腔定球面腔趋于于稳定条件定条件边界，界， S1S1与与S2S2 ，此，此时高斯近似不再成立。高斯近似不再成立。3.5.5一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式2、模体积、模体积行波场模体积定义为行波场模体积定义为则一般稳定球面腔模体积为：则一般稳定球面腔模
75、体积为：其中其中 为腔长为腔长L的共焦腔的基的共焦腔的基模体积；模体积； 为其镜面上的光斑尺寸。为其镜面上的光斑尺寸。一般稳定腔中的高阶模体积：一般稳定腔中的高阶模体积：3.5.5一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式3、谐振频率、谐振频率从反射镜从反射镜M1到反射镜到反射镜M2的总相移为：的总相移为：由前述方形镜行波场的相位部分：由前述方形镜行波场的相位部分：可以得到：可以得到：方形镜稳定腔的谐振频率：方形镜稳定腔的谐振频率：同理可得圆形镜稳定腔的谐振频率：同理可得圆形镜稳定腔的谐振频率：3.5.5一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式模式简并的讨论模式简并的讨论当当q的变化与的变化与(
76、m+n)(m+n)的变化可以相互抵消时，不同的横模具有相的变化可以相互抵消时，不同的横模具有相同的谐振频率，即发生模式简并；同的谐振频率，即发生模式简并；以方形镜腔为例：以方形镜腔为例：解出：解出：其中其中KK和和K K是正整数。是正整数。由稳定腔条件：由稳定腔条件：0g0g1 1g g2 211或或g1g20的光腔，的光腔，“非稳非稳”指的是按照几何光学观点的损耗较大，指的是按照几何光学观点的损耗较大，而不是不能形成而不是不能形成稳定稳定的激光输出。的激光输出。3.6.1非稳定腔的一般特点与种类非稳定腔的一般特点与种类双凸腔双凸腔R10,R21,g2=1-2/R21g1g21，所有双凸腔都是
77、非稳腔。，所有双凸腔都是非稳腔。平凸腔平凸腔R1，R21g1g21，所有平凸腔都是非，所有平凸腔都是非稳稳腔。腔。3.6.1非稳定腔的一般特点与种类非稳定腔的一般特点与种类平凹腔平凹腔R1，g1=1;R20，要，要满满足足g1g20，即，即R21。被称为正支望远镜腔；被称为正支望远镜腔；3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型1、双凸腔轴线上的共轭像点、双凸腔轴线上的共轭像点对非稳腔成像性质的深入分析表明，对非稳腔成像性质的深入分析表明，任何非稳腔的轴线上都存在着一对任何非稳腔的轴线上都存在着一对共轭像点共轭像点P1和和P2。所谓共轭，指的是所谓共轭，指的是P1点通过点通过M2反
78、反射成像在射成像在P2点，而点，而P2点通过点通过M1的的反射又成像在反射又成像在P1点，点，P1P2两点互为两点互为两个镜面的共轭像点。两个镜面的共轭像点。此时称此时称P1P2满足成像的自洽条件，满足成像的自洽条件，对对P1点，光线往返一次仍可回到点，光线往返一次仍可回到P1点，点，P2点亦然。点亦然。当满足自洽条件时，从当满足自洽条件时，从P1或或P2发出发出的均匀球面波在腔内往返一次，波的均匀球面波在腔内往返一次，波阵面及其分布保持不变，即能够实阵面及其分布保持不变，即能够实现在再现。现在再现。3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型非稳腔轴上一对共轭像点存在性和唯一性，证
79、明方法是先非稳腔轴上一对共轭像点存在性和唯一性，证明方法是先假设存在这样一对像点，然后再推导出他们存在的条件，假设存在这样一对像点，然后再推导出他们存在的条件，并验证非稳腔能满足这样的条件。并验证非稳腔能满足这样的条件。球面波在透镜上的变换规律：球面波在透镜上的变换规律：则从则从P1发出的球面波经过发出的球面波经过M2成像在成像在P2点应满足关系：点应满足关系：同理对同理对M1镜有：镜有：其中其中l1和和l2分别是像点分别是像点P1、P2到到M1和和M2的距离。凸面镜情的距离。凸面镜情况下，况下，R1R2应取负值应取负值R1=-|R1|，R2=-|R2|，得到：，得到：3.6.2非稳腔的几何自
80、再现波型非稳腔的几何自再现波型共轭像点共轭像点P1和和P2必须同时满足上述方程，如果上必须同时满足上述方程，如果上述二元联立方程有合理的实数解，则证明共轭像述二元联立方程有合理的实数解，则证明共轭像点的存在性。点的存在性。规定规定l1为正值时，表明为正值时，表明P1点在点在M1的腔外方向；为的腔外方向；为负值时，表示负值时，表示P1点在点在M1的腔内方向。的腔内方向。l2的方向性规定与的方向性规定与l1相同；相同；上述方程可以化为：上述方程可以化为：其中：其中：3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型从双凸腔的稳定性条件从双凸腔的稳定性条件g1g21可以证明可以证明B2-4C0，
81、则则l1、l2有有实实数解：数解：同理可得：同理可得：其中的其中的l1+和和l2+为为一一组组解，解，l1-和和l2-为为另一另一组组解；解；是否意味着存在两是否意味着存在两对对共共轭轭像点呢？像点呢？l1-和和l2-表示的像点在表示的像点在镜镜前，但由于前，但由于|l1-|L和和|l2-|L，这这两个两个像点都在另一像点都在另一侧侧腔外；腔外；进进一步可以一步可以证证明明:表明表明P1-和和P2+重合，重合，P1+和和P2-重合，重合，即仅有一对共轭像点即仅有一对共轭像点3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型2、光学开腔中存在共轭像点的条件、光学开腔中存在共轭像点的条件轴上存
82、在共轭像点是双凸腔的特点，还是非稳腔的共性？其他的轴上存在共轭像点是双凸腔的特点，还是非稳腔的共性？其他的腔有没有共轭像点？腔有没有共轭像点？考虑任何一个共轴球面开腔，设其中存在一对共轭像点考虑任何一个共轴球面开腔，设其中存在一对共轭像点P1、P2，从从P1发出的球面波在某处曲率半径为发出的球面波在某处曲率半径为R1，往返一周后的曲率半径，往返一周后的曲率半径为为R2，由球面波传输规律：，由球面波传输规律：几何光学自再现的条件为：几何光学自再现的条件为：存在共轭像点的条件为：存在共轭像点的条件为：这个条件就是共轴球面反射镜腔为非稳腔的条件。这个条件就是共轴球面反射镜腔为非稳腔的条件。3.6.2
83、非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型当上式取等号，表明为临界腔，此时两个当上式取等号，表明为临界腔，此时两个共轭像点蜕化为一个；共轭像点蜕化为一个；任何非稳腔，不论其结构如何，都存在一任何非稳腔，不论其结构如何，都存在一对共轭像点；对共轭像点；这一对共轭像点发出的球面波满足在腔内这一对共轭像点发出的球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件；往返一次成像的自再现条件；按照激光振荡模的概念，将这样一对发自按照激光振荡模的概念，将这样一对发自共轭像点的几何自再现波型定义为非稳腔共轭像点的几何自再现波型定义为非稳腔的共振模式。的共振模式。3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型3
84、、不同非稳腔的共轭像点和自再现波型、不同非稳腔的共轭像点和自再现波型A、双凸腔、双凸腔前面求得：前面求得：可以证明：可以证明：l10，l20，说明一对共轭像点在腔外，是虚焦点；，说明一对共轭像点在腔外，是虚焦点；同时可以得到同时可以得到l1|R1|，l2|R2|，表明着一对共轭像点在镜面曲率中，表明着一对共轭像点在镜面曲率中心和镜面之间；心和镜面之间；腔内存在的自再现波型是从腔内存在的自再现波型是从P1和和P2点发出的发散球面波；点发出的发散球面波；在对称双凸腔情况下在对称双凸腔情况下(R1=R2=R)，则：，则：3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型B、平凸腔、平凸腔在共轭像
85、点表达式中令在共轭像点表达式中令R1，可以得到：，可以得到：3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型C、双凹非稳腔、双凹非稳腔R1+R2L；这时有；这时有 ，表示，表示P1、P2都在腔内，是实焦点；都在腔内，是实焦点；在腔内的几何自再现波型是一对会聚发散在腔内的几何自再现波型是一对会聚发散交替进行的球面波；交替进行的球面波；R1/2+R2/2=L，即负支望远镜腔，此时可，即负支望远镜腔，此时可以得到：以得到：即一个共轭像点即一个共轭像点P1在无穷远处，另一个在在无穷远处，另一个在公共焦点上，其几何自再现波型一个为平公共焦点上，其几何自再现波型一个为平面波，另一个为球面波。面波，另
86、一个为球面波。该腔可以获得一个平面波输出；该腔可以获得一个平面波输出；非稳定双凹腔至少有一个像点在腔内。非稳定双凹腔至少有一个像点在腔内。3.6.2非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型D、凹凸非稳腔、凹凸非稳腔R1L，一个共轭像点在腔内，另一个在，一个共轭像点在腔内，另一个在腔外；腔外；P1对应一个发散和会聚交替进行的球面对应一个发散和会聚交替进行的球面波；波；P2对应一个发散的球面波；对应一个发散的球面波；R1/2+R2/2=L，构成正支望远镜腔，此，构成正支望远镜腔，此时有时有l1,l,l2 2=|R=|R2 2|/2;|/2;一个共一个共轭轭像点像点P P1 1在无在无穷远穷远，
87、另一个在公，另一个在公共虚焦点共虚焦点P P2 2；对应对应的自再的自再现现波型波型为为一个平面波和一个平面波和发发散散球面波；球面波；3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗1、非稳腔的几何放大率、非稳腔的几何放大率如果从如果从P2点发出的球面波到达点发出的球面波到达M1时，恰好能够完全覆盖镜面，即时，恰好能够完全覆盖镜面，即其线度为其线度为a1，经，经M1反射到反射到M2，其限度扩展为，其限度扩展为a1，则：，则：m1描述了腔内单程度越时，镜描述了腔内单程度越时，镜M1对几何自再现波型薄面尺寸的放对几何自再现波型薄面尺寸的放大倍率，称为反射镜大倍率，称为反射镜M1
88、的单程放大率。的单程放大率。同样，同样，M2的单程放大率为：的单程放大率为：用用M=m1m2表示非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大表示非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率。率。以双凸腔为例，可以得到：以双凸腔为例，可以得到：3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗将将l1、l2的表达式带入可得：的表达式带入可得：3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗对望远镜腔，可以求出：对望远镜腔，可以求出：上式对实、虚共焦腔都成立上式对实、虚共焦腔都成立其中其中M的表达式与几何光学中望的表达式与几何光学中望远镜系统的放大率公式一致；远镜系
89、统的放大率公式一致；非稳腔的几何放大率只与腔长非稳腔的几何放大率只与腔长L和和R1R2有关，而与反射镜的横有关，而与反射镜的横向尺寸向尺寸a1、a2无关。无关。3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗2、非稳腔的能量损耗率、非稳腔的能量损耗率在非稳腔中，超过镜面的实际尺寸的光会溢出腔外，造成能量损在非稳腔中，超过镜面的实际尺寸的光会溢出腔外，造成能量损耗，由于假设自再现膜是均匀平面波，因此能量的损耗率等于溢耗，由于假设自再现膜是均匀平面波，因此能量的损耗率等于溢出部分波面与整个波面的比值，这一比值与几何放大率直接相联出部分波面与整个波面的比值，这一比值与几何放大率直接
90、相联系。系。考虑二维情况，被考虑二维情况，被M2反射返回的能量份额为：反射返回的能量份额为：则逸出的份额为：则逸出的份额为：这里的这里的1 1表示单次度越时从表示单次度越时从M2M2端逸出的能量份额。端逸出的能量份额。同理：同理：3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗考虑到三维情况时：考虑到三维情况时：可以得到任何一个共轭像点发出的球面波往返一可以得到任何一个共轭像点发出的球面波往返一次其损耗为：次其损耗为：式中式中M为几何放大率：为几何放大率：3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔内几何自再现波型往返一周的能量非稳腔内几何自再现波
91、型往返一周的能量损耗份额与腔镜的横向尺寸无关，仅与反损耗份额与腔镜的横向尺寸无关，仅与反射镜的曲率半径射镜的曲率半径R1、R2和和L有关；有关；往返损耗不等于单程损耗之和；往返损耗不等于单程损耗之和；这与稳定腔和临界腔不同，这些腔中的损这与稳定腔和临界腔不同，这些腔中的损耗与腔的结构无关耗与腔的结构无关,而且这些损耗无法加以而且这些损耗无法加以利用；利用；非稳腔中从端面由衍射损耗溢出的能量可非稳腔中从端面由衍射损耗溢出的能量可以作为激光器的输出来加以利用。以作为激光器的输出来加以利用。3.6.3非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔的几何放大率与能量损耗非稳腔激光输出方式：非稳腔激光输出方式：3.
92、8模式选择技术模式选择技术1、模式选择的意义、模式选择的意义激光区别于普通光的特点在于功率高、单色性激光区别于普通光的特点在于功率高、单色性好、方向性好和相干性好，理想的激光输出应好、方向性好和相干性好，理想的激光输出应为单横模、单纵模输出；为单横模、单纵模输出；实际的激光器总是工作再多横模和多纵模状态；实际的激光器总是工作再多横模和多纵模状态；横模选择及其意义横模选择及其意义模式阶数越高，光强分布图案越复杂，分布范围越模式阶数越高，光强分布图案越复杂，分布范围越大，发散角越大；大，发散角越大；横模阶数越低，越有利于加工等有关应用；横模阶数越低，越有利于加工等有关应用；要选出单纵模，必须先选出
93、单横模；要选出单纵模，必须先选出单横模；3.8模式选择技术模式选择技术纵模选择及其意义纵模选择及其意义有一些应用，例如外差探测、全息照相技术、精密有一些应用，例如外差探测、全息照相技术、精密计量技术等对激光的频率宽度有严格的要求，因此计量技术等对激光的频率宽度有严格的要求，因此需要选出单纵模。需要选出单纵模。2、横模选择技术、横模选择技术横模选择的原则：横模选择的原则：必须尽量增大高阶横模与基模的衍射损耗比；必须尽量增大高阶横模与基模的衍射损耗比；必须尽量减少其它损耗，相对增大衍射损耗；必须尽量减少其它损耗，相对增大衍射损耗；3.8模式选择技术模式选择技术横模选择技术横模选择技术小孔光阑选模小孔光阑选模聚焦光阑法聚焦光阑法3.8模式选择技术模式选择技术3、纵模选择技术、纵模选择技术短腔选模短腔选模当当L减小时，减小时，q q增大，当增大到大于增大，当增大到大于T T后，后，就可以选出单纵模。就可以选出单纵模。F-PF-P标准具法标准具法复合腔选纵模复合腔选纵模
