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1、第二节第二节 命题及其关系、充分命题及其关系、充分 条件与必要条件条件与必要条件第一章第一章【例1】(2013济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)()A1 B2 C3 D4四种命题及其真假点点评评：由原命题写出其他三个命题时，应先将命题化为“若p，则q”的形式，再利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命题当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的
2、真假，可以转化为判断其逆否命题的真假解解析析：若两条直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20平行，则必有a1b2a2b10，但当a1b2a2b10时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有两个正确命题，即f(p)2.答案：答案：B1(1)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab变式探究变式探究(2)有下列四个命题：命题“若xy1，则
3、x，y互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若m1，则x22xm0有实根”的逆否命题；命题“若ABB，则AB”的逆否命题其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号)解解析析：(1)原命题的条件是ab，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|b|，作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|b|，则ab”故选D.答案答案：(1)D(2)【例2】(2013北京西城区模拟)已知a，bR，下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分的条件是()Aab1 Bab1C|a|b| D2a2b充分、必要、充要条件的判定点点评评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个
4、论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键常用的判断方法有三种：直接法、集合法、等价法利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而刮题易于求解对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断解解析析：由abab1，但由ab1不能得出ab，ab1是ab成立的必要不充分条件；由ab1ab，但由ab不能得出ab1，ab1是ab成立的充分不必要条件；易知ab是|a|b|的既不充分也不必要条件；ab是2a2b成立的充要条件故选A.答案：答案：A2(2013梅州二模)函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab
5、0 Bab0Ca2b20 Dab变式探究变式探究解析：解析：若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，即x|xa|bx|xa|b恒成立，亦即x(|xa|xa|)2b恒成立，要使上式恒成立，只需|xa|xa|2b0，即ab0，故函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是ab0，故选C.答案：答案：C充要条件的证明【例3】已知ab0，求证：ab1的充要条件是a3b3aba2b20.思路点拨：利用充分条件和必要条件的定义，通过推证条件与结论之间的推出关系来证明证明：证明：必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.充分性：a3b
6、3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又ab0，a0且b0.a2abb2 2 b20.ab10，即ab1.综上可知，当ab0时，ab1的充要条件是a3b3aba2b20.点点评评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性，二是必要性对于充要条件问题，我们不仅要会利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求变式探究变式探究3求方程ax22x10有且只有一个负实数根的充要条件解析：解析：当a0时，x ，方程ax22x10有且仅有一负根当a0时，方程ax22x10有实根，则4
7、4a0，a1，当a1时，方程只有一负根x1.当a1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 0，a2，则p2q22”成立证明：假设pq2. 24.p2q22pq，2 24p2q22p2q22.这与“p2q22”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立点评：点评： 使用反证法的基本步骤是：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立实际上是通过证明命题“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”成立从而得到“若p，则q”成立的结论在证明过程中，一定要注意对假设的利用变式探究变式探究4证明：若a，b，cR，则 中至少有一个不小于2.
