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1、4.2 厄米厄米算符的本征算符的本征值、本征函数、本征函数以及共同本征函数以及共同本征函数1、涨落、涨落 对于都用量子态对于都用量子态 来描述的大量相同的体系，如来描述的大量相同的体系，如果对某一力学量果对某一力学量 A 进行多次测量，所得结果的将趋于进行多次测量，所得结果的将趋于一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平均值有个一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平均值有个涨落，在数学上定义为：涨落，在数学上定义为：量子力学导论Cha课件2、本征态与本征值、本征态与本征值（1）本征态）本征态有一种特殊的状态，测量力学量有一种特殊的状态，测量力学量 A 的结果是唯一确定的结果是唯一确定的，即涨
2、落为零，的，即涨落为零，这种特殊的态就是本征态。这种特殊的态就是本征态。（2）本征方程与本征值）本征方程与本征值An 称为称为 A 的本征值，的本征值， n 为相应的本征态。为相应的本征态。量子力学假定测量力学量量子力学假定测量力学量 A 时所有可能出现的值，都是相应的时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符线形厄米算符 A 的本征值。当体系处于的本征值。当体系处于 A 的本征态的本征态 n，则每次，则每次测量所得结果都是测量所得结果都是 An。量子力学导论Cha课件3、两条定理、两条定理（1）厄米算符的本征值都为实数）厄米算符的本征值都为实数证：证：（2）属于不同本征值的本征函数彼此正交）
3、属于不同本征值的本征函数彼此正交量子力学导论Cha课件4 4、能级简并时本征函数的正交化处理、能级简并时本征函数的正交化处理 简并是指本征值相同，但本征态不一样。简并是指本征值相同，但本征态不一样。 特别是，特别是，当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。 能级简并时，仅根据能量本征值并不能把各简并态确定能级简并时，仅根据能量本征值并不能把各简并态确定下来。下来。能级简并时本征函数的正交化处理过程能级简并时本征函数的正交化处理过程出发点分析：出发点分析：在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，并且这些简并态不一
4、定彼此正交。但可以将这些简并态并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态进行适当的线形叠加以实现彼此正交。进行适当的线形叠加以实现彼此正交。量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件fn个个中中任任选选两两个个， ；再再自自身身加加上上归归一一化化要求，要求，fn个个量子力学导论Cha课件5 5、共同本征函数共同本征函数（1）测不准关系与共同本征态）测不准关系与共同本征态 体系处于力学量体系处于力学量 A 的本征态时，对的本征态时，对 A 进行测量，进行测量，可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本征态下去测量另一个力学量征态下去测量
5、另一个力学量 B，是否也能测到确切值，是否也能测到确切值呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量之间就不可能同时完全确定。之间就不可能同时完全确定。普遍情形是普遍情形是此乃任意两个力学量此乃任意两个力学量 A 和和 B 在任何量子态下的涨落必在任何量子态下的涨落必然要满足的关系式，即测不准关系式。然要满足的关系式，即测不准关系式。量子力学导论Cha课件证明证明:量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件共同本征态：共同本征态： 从从测测不不准准关关系系可可以以看看出出，如如果果两两个个力力学学量量
6、 A 和和 B 不不对对易易，则则一一般般来来讲讲 A 和和 B 不不能能同同时时为为零零，A 和和 B 不不能能同同时时测测定定（除除了了 这这一一种种特特殊殊态态例例外外）。就是说，二者没有共同的本征态。就是说，二者没有共同的本征态。 反反之之，如如果果这这两两个个力力学学量量对对应应的的厄厄米米算算符符对对易易，即即 ，则则可可以以找找出出一一种种态态使使得得二二者者可可以以同同时时测定，测定，即可以找出二者的即可以找出二者的共同本征态共同本征态。量子力学导论Cha课件（2）求共同本征函数的一般原则）求共同本征函数的一般原则 分两种情况讨论分两种情况讨论(a) An 无简并无简并量子力学
7、导论Cha课件(b) An 有简并有简并 量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件6 6、力学量完全集力学量完全集（1）定义）定义 设有一组设有一组彼此独立、相互对易彼此独立、相互对易的的厄米算符厄米算符 它们具有共同本征函数，记为它们具有共同本征函数，记为 k ，k 是一组量子数的是一组量子数的笼统记号。设给定笼统记号。设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能之后就能够确定体系的一个可能状态，则称状态，则称 构成体系的一组力学量完全集构成体系的一组力学量完全集.（2） 波函数统计诠释的最一般的数学描述波函数统计诠释的最一般
8、的数学描述按照态叠加原理，体系的任何一个状态按照态叠加原理，体系的任何一个状态 均可用均可用 k 展展开，开，量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件 表示在表示在 态下测量态下测量 A 得到得到 Ak 值的几率。这是值的几率。这是波函数统计诠释的最一般的数学描述。波函数统计诠释的最一般的数学描述。例如，一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力例如，一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力学量完全集。它的本征函数为学量完全集。它的本征函数为 n ，n = 0, 1, 2, ,就构就构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一个态个态 均可用
9、它们进行展开，均可用它们进行展开， 表示在表示在 下测得振子能量为下测得振子能量为 En 的几率。的几率。量子力学导论Cha课件（3）含）含 哈密顿量哈密顿量 H 的力学量完全集的力学量完全集 如如果果力力学学量量完完全全集集中中包包含含哈哈密密顿顿量量 H，并并且且 H 有有下下界界，则则这这组组力力学学量量完完全全集集的的共共同同本本征征态态构构成成该该体体系系的的态态空空间间的的一一组组完完备备的的基基矢矢，体体系系任任何何一一个个状状态态均均可可用用这组基矢展开。这组基矢展开。 实实际际物物理理体体系系的的 H（能能量量）的的本本征征值值都都包包含含在在这这组组力力学学量量完完全全集集
10、的的本本征征值值之之中中。体体系系的的任任何何态态都都可可用用包包含含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。 如如果果 H 不不显显含含时时间间，这这组组力力学学量量完完全全集集称称为为守守恒恒量量完完全全集集，将将产产生生一一组组好好量量子子数数。在在量量子子力力学学中中寻寻找找体体系守恒量完全集是极其重要的。系守恒量完全集是极其重要的。量子力学导论Cha课件（4）力学量算符表达之总结）力学量算符表达之总结 在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达 平均值平均值 实验上观测实验上观测 A 的可
11、能取值，必为算符的可能取值，必为算符 的某一本的某一本征值征值力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出来。来。（一般而言，两个力学量（一般而言，两个力学量 A 和和 B 同时具有确定的测量同时具有确定的测量值的必要条件是二者之间完全对易，即值的必要条件是二者之间完全对易，即 ）量子力学导论Cha课件7 7、( (l2，lz) )的共同本征态和球谐函数的共同本征态和球谐函数（1）概述）概述 角动量角动量 l 的三个分量彼此不对易，因为的三个分量彼此不对易，因为三分量一般没有共同本征态，但考虑到三分量一般没有共同本征态，但考虑到可以找到可以找到
12、l2 与角动量任何一个分量（如与角动量任何一个分量（如 lz）的共同本）的共同本征态。征态。此外，在中心力场问题中，可以证明此外，在中心力场问题中，可以证明 因此，体系守恒量完全集可以选择为因此，体系守恒量完全集可以选择为(H, l2, lz).量子力学导论Cha课件（2） lz 的本征方程、本征值和本征函数的本征方程、本征值和本征函数量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件（3） (l2，lz)的共同本征态的共同本征态因为因为 ，l2 的本征态可同时取为的本征态可同时取为 lz 的本征态的本征态.量子力学导论Cha课件因为因为 和和 相互独立，所以相互独立，所以 l2 的本征函数可分离变
13、量。的本征函数可分离变量。量子力学导论Cha课件化简后得到化简后得到这是这是缔合勒让德（或连带缔合勒让德（或连带 Legendre）方程）方程。方程的两个奇点在方程的两个奇点在 = 1；在其余；在其余| | 1区域区域 为常点。为常点。可以证明（级数解法），只有当可以证明（级数解法），只有当时，方程的解才截断为多项式，解为时，方程的解才截断为多项式，解为缔合勒让德多项式缔合勒让德多项式它在物理上可以接受，是有界的。它在物理上可以接受，是有界的。量子力学导论Cha课件量子力学导论Cha课件最终最终 (l2，lz)的正交归一的共同本征函数为的正交归一的共同本征函数为Ylm为球谐函数为球谐函数量子力
14、学导论Cha课件（4） 讨论讨论 l2 和和 lz 的本征值都是量子化的；的本征值都是量子化的； l0，1，2为为轨道角动量量子数轨道角动量量子数； 对于给定的对于给定的 l 值，值， l2 的本征函数是不确定的，因为的本征函数是不确定的，因为 m 有有 2l+1个取值，它有（个取值，它有（ 2l+1）个简并态；）个简并态；ml，l-1，-(l-1)，-l 称为称为磁量子数磁量子数；利用引入的磁量子数可将这些简并态区分开来，导致利用引入的磁量子数可将这些简并态区分开来，导致Ylm 球谐函数。球谐函数。光谱符号：光谱符号： l0，1，2，3，4，5， s，p，d，f，g，h，量子力学导论Cha课件
