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1、罗尔定理：罗尔定理：P134T8证明：证明：1P134T5解：解：2证明等式证明等式证证: 设设 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.P134 T6 推论推论: 若函数若函数是一个常数是一个常数.3洛必达法则适用于：洛必达法则适用于：洛必达法则适用于：洛必达法则适用于：回味：回味：洛必达法则洛必达法则4第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 51.拉格朗日定理：拉格朗日定理：复习：复习：称称 为为 I 上的上的单调单调增增函数函数 ;称称 为为 I
2、 上的上的单调单调减减函数函数 ;2.增减函数的定义：增减函数的定义：6定理定理1：证明：证明：由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得证毕证毕1.利用导数的符号判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的单调性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法说明：说明：(2)单调区间应首先为连续区间单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.在在 I 上单调上单调递增递增在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：7例例1.解解:则单调增加区间是：则单调增加区间是：单调递减区间是：单调递减区间是：的定义区间为的定义
3、区间为在在 I 上单调上单调递增递增在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：求求的连续区间；的连续区间；求求求驻点和不可导点；求驻点和不可导点；用用中的点分割连续区间中的点分割连续区间,列表判断列表判断.经验：求经验：求 的单调区间的单调区间(判断单调性判断单调性)的步的步骤骤:化为化为积商；积商；8例例2.解解:则单调增加区间是：则单调增加区间是：单调递减区间是：单调递减区间是：注意到：注意到：9在在 I 上单调上单调递增递增在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：说明说明: 1) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例
4、如例如,2)定理中的条件是定理中的条件是充分条件充分条件而非必要条件，而非必要条件，3)定理中定理中若等号仅在若等号仅在有限个有限个点点处处成立成立,则函数仍单调增加则函数仍单调增加.4) 函数的单调性是一个区间上的性质函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在区间要用导数在区间I上的符号来判定上的符号来判定,而而不能用一点处的导数符号不能用一点处的导数符号来判别区来判别区间间I上的单调性上的单调性10例例3.证证:2.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式.经验：经验：用单调性证明不等式的步骤：用单调性证明不等式的步骤：将不等式变形为一边为零将不等式变形为一边为零, ,另一边就是要设的另一
5、边就是要设的判断判断 的单调性的单调性. . 与端点的函数值比较可得所证与端点的函数值比较可得所证的不等式的不等式.11例例4. 证证: 只要证只要证所以原不等式成立所以原不等式成立.说明：说明：1)为快速的证明为快速的证明, ,可对不等式做恒等变形后可对不等式做恒等变形后再设辅助函数再设辅助函数.2)为证不等式为证不等式12例例5. 证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的正实根的正实根.证证: 1) 存在性存在性 .由由零点定理零点定理知存在知存在即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根2) 唯一性唯一性 .内至多有一个实根内至多有一个实根.所以方程有且仅有一个小于所以方程
6、有且仅有一个小于 1 的正根的正根.定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.3.利用单调性证明根的惟一性利用单调性证明根的惟一性,讨论方程根的个数讨论方程根的个数.思考思考:如何讨论方程如何讨论方程 有几个实根？有几个实根？13试确定试确定 的根的个数的根的个数,并指出根的范围并指出根的范围.例例6. 解：解：做恒等变形做恒等变形(分离常数分离常数)令令得驻点：得驻点：有三个单调区间有三个单调区间讨论：讨论：时有三个根在时有三个根在时有两个根在时有两个根在时有一个根在时有一个根在14回忆回忆观察：观察： 虽然都是虽然都是增增函数，函数，但曲线的形状
7、不一样但曲线的形状不一样. 所以为了解曲线的形状，所以为了解曲线的形状，只知道单调性是不够的只知道单调性是不够的.15二、二、曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点.问题问题:曲线弧曲线弧位于任一位于任一切线切线下方下方.曲线弧曲线弧位于任一位于任一切线切线上方；上方；如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?161.定义：定义：(1) 若恒有若恒有(2) 若恒有若恒有说明：说明：曲线：凹（凸）弧曲线：凹（凸）弧 ：凹凸区间：凹凸区间.切线上的纵坐标切线上的纵坐标 凸函数的函数值凸函数的函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标.凸弧凸弧:17凹凹单调增单调增特征：特征： 凹凹凸凸单调减单调减特征：特征：
8、 凸凸反之：反之：凹，凹，凸凸 成立吗？成立吗？182.凹凸性的判定定理：凹凸性的判定定理：注意：注意： 该定理换成其它区间仍然成立该定理换成其它区间仍然成立.+注意注意:函数的函数的凹凸区间凹凸区间应首先为它的应首先为它的连续区间连续区间.定理定理2：例例1.判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解：解：19例例2.解：解：注意到注意到,判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.当当时，时，所以在所以在内是凸的内是凸的.当当时，时，所以在所以在内是凹的内是凹的.点点是曲线是曲线由凸变凹的分界点由凸变凹的分界点.说明：说明： 凹凸性可用于证明不等式：如凹凸性可用于证明不等式：如20例例3. 求求的凹凸区间
9、的凹凸区间.解：解：定义域为定义域为有二阶不可导点有二阶不可导点列表讨论二阶导数的符号列表讨论二阶导数的符号,来判定凹凸性来判定凹凸性.不存在不存在说明：说明： 凹凸区间分界点的可疑点：凹凸区间分界点的可疑点：21(1)定义定义:3.曲线的拐点及其求法：曲线的拐点及其求法：2)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.1)拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.3)拐点的横坐标是连续区间拐点的横坐标是连续区间内内的点的点,不可能是区间不可能是区间的端点的端点.4)拐点的横坐标的可疑点：拐点的横坐标的可疑点：注意注意:(2)求拐点方法求拐点方法1:
10、22例例4. 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解: 1) 定义区间：定义区间：3) 求拐点可疑点的横坐标求拐点可疑点的横坐标2) 不存在的点：不存在的点：4) 列表判别列表判别凹凹凹凹凸凸不不不不凸凸凸凸拐点拐点拐点拐点故凹区间为：故凹区间为：拐点为：拐点为：凸区间为：凸区间为：23说明说明1:说明说明2:说明说明3:求函数的求函数的连续连续区间；区间；求出求出求求的根及的根及不存在的根；不存在的根；列表判断列表判断说明说明4:求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：24证：证：(3)求拐点方法求拐点方法2:P154T15(2)求拐点方法求拐点方法
11、1:25例例5.解：解：曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.求求拐点拐点26内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别在在 I 上单调上单调递增递增在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：定理定理2：3.拐点的定义拐点的定义:注：注：拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.27求求的连续区间，的连续区间，求求求导数等于零的点和不可导点，求导数等于零的点和不可导点，用以上的点分割定义区间用以上的点分割定义区间,列表判断列表判断.4.求求 的单调区
12、间的单调区间(判断单调性判断单调性)的步骤的步骤:化为化为积商，积商，单调性的应用有单调性的应用有:(1)可以确定某些方程实可以确定某些方程实根的个根的个数数.(2)证明不等式证明不等式.求函数的求函数的连续连续区间；区间；求出求出求求的根及的根及不存在的根；不存在的根；列表判断列表判断5.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：凹凸性的应用有凹凸性的应用有:(1)证明不等式证明不等式,(2)求拐点求拐点. .28的大小顺序是的大小顺序是 ( )BP182T2(1)思考与练习思考与练习:提示提示:作业作业:P152 3(1) (7),5(4) (5),9(3) (6), 10(3),12. 预习预习:P154-160思考：思考：P153 T 4,729
