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1、1.3 行列式的按行行列式的按行(列列)展开展开1.3.1 三阶行列式的按行三阶行列式的按行( (列列) )展开展开对于三阶行列式，容易验证：对于三阶行列式，容易验证： 可见一个可见一个三阶行列式三阶行列式可以转化成可以转化成三个二阶行列式三个二阶行列式的计算的计算.定义：定义： 在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的 余子式余子式. 记为记为称称为元素为元素的的代数余子式代数余子式.例如：例如：注：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和行列式的每个元素都分别对应
2、着一个余子式和一个代数余子式一个代数余子式.利用代数余子式，可得利用代数余子式，可得定理定理4 4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即与其代数余子式乘积之和，即例例例例1 1 1 1 解解解解按第一行的展开式，有按第一行的展开式，有例例例例2 2 2 2解解解解方程左端方程左端行列式中任一行或列的元素与另一行行列式中任一行或列的元素与另一行或列或列对应元素的代数余子式乘积之和对应元素的代数余子式乘积之和为零。即为零。即推论推论因此因此1.3.2 n n阶行列式的按行阶行列式的按行( (列列) )展开展开定理定理5 5 n n阶行列
3、式等于它的任一行或列的各元素与阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即其代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元行列式中任一行或列的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。素的代数余子式乘积之和为零。上上(下下)三角行列式三角行列式计算公式计算公式1.3.3 n n阶行列式的计算阶行列式的计算计算方法主要有两种：计算方法主要有两种：1.化三角线法化三角线法2.降阶法降阶法例例1 计算下列行列式计算下列行列式例例2 计算行列式计算行列式提示提示2：由于行列式中大部分元素均为：由于行列式中大部分元素均为3，若将，若将行列式的第三行的行列式的第
4、三行的(-1)倍分别加到其余各行，将倍分别加到其余各行，将使这些行中的使这些行中的3全部化为零。全部化为零。提示提示1：所有行之和为常数：所有行之和为常数例例3 计算行列式计算行列式提示：按第一列拆开提示：按第一列拆开, ,再提取公因子再提取公因子例例4 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式证证: 用数学归纳法用数学归纳法所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得按按第一列展开第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 就就有有:n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式则则根据归纳假设得证根据归纳假设得证:作作 业业习题习题1.31.3（P15P15）：）：2 23 3（1 1）（）（4 4）（）（5 5）
