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1、第一讲空间几何体的三视图、表面积及体积热点题型热点题型1 1空间几何体的三视图空间几何体的三视图【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.1.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥一个棱锥, ,得到的几何体的正得到的几何体的正( (主主) )视图与俯视图如图所视图与俯视图如图所示示, ,则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为( () )2.(20172.(2017北京高考北京高考) )某三棱锥的三视图如图所示某三棱锥的三视图如图所示, ,则该则该三棱锥的体积为三棱锥的体积为 ( () )A.60A.60B.30B.30C.20C.20D.10D.10【联想
2、解题联想解题】1.1.看到三视图看到三视图, ,想到几何体的形状想到几何体的形状. .2.2.看到体积看到体积, ,想到体积公式想到体积公式. .【规范解答规范解答】1.1.选选B.B.由题意得截去的是长方体前右上由题意得截去的是长方体前右上方顶点方顶点. .2.2.选选D.D.由三棱锥的三视图可知由三棱锥的三视图可知, ,该三棱锥的直观图为该三棱锥的直观图为A-A-BCD,BCD,如图所示如图所示, ,其所在长方体的长、宽、高分别为其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,5,3,4,所以所以V VA-BCDA-BCD= 345 =10.= 345 =10.【规律方法规律方法】由三视图还原到
3、直观图的思路由三视图还原到直观图的思路(1)(1)根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面. .(2)(2)根据正根据正( (主主) )视图或侧视图或侧( (左左) )视图确定几何体的侧棱与视图确定几何体的侧棱与侧面的特征侧面的特征, ,调整实践和虚线所对应的棱、面的位置调整实践和虚线所对应的棱、面的位置. .(3)(3)确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状. .【对点训练对点训练】1.1.如图所示如图所示, ,将图将图中的正方体截去两个三棱锥中的正方体截去两个三棱锥, ,得到得到图图中的几何体中的几何体, ,则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为 ( () )【解析解析
4、】选选B.B.从几何体的左面看从几何体的左面看, ,棱棱ADAD1 1是原正方形是原正方形ADDADD1 1A A1 1的对角线的对角线, ,在视线范围内在视线范围内, ,画实线画实线; ;棱棱C C1 1F F不在视线不在视线范围内范围内, ,画虚线画虚线. .2.2.已知某个几何体的三视图如图所示已知某个几何体的三视图如图所示, ,根据图中标出的根据图中标出的尺寸尺寸( (单位单位:cm),:cm),可得这个几何体的体积是可得这个几何体的体积是( () )A.A. cmcm3 3B.B. cmcm3 3C.C. cmcm3 3D.D. cmcm3 3【解析解析】选选C.C.画出直观图画出直
5、观图, ,这是一个三棱锥这是一个三棱锥, ,所以它的所以它的体积为体积为V= Sh= V= Sh= 2= (cm2= (cm3 3).).【提分备选提分备选】1.1.将长方体截去一个四棱锥将长方体截去一个四棱锥, ,得到的几何得到的几何体如图所示体如图所示, ,则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为( () )【解析解析】选选D.D.被截去的四棱锥的三条可见棱中被截去的四棱锥的三条可见棱中, ,两条为长方体的两条对角线两条为长方体的两条对角线, ,它们在右侧面上的投影与右侧面它们在右侧面上的投影与右侧面( (长方形长方形) )的两条边重的两条边重合合, ,另一条为体对角线另一条为体对角线,
6、,它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合, ,对照各图对照各图, ,只有只有D D符合符合. . 2. 2.某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,其中俯视图为扇形其中俯视图为扇形, ,则则该几何体的表面积为该几何体的表面积为_._.【解析解析】由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体, ,结结合俯视图可得该几何体为圆锥的一部分合俯视图可得该几何体为圆锥的一部分. .其表面积由底其表面积由底面扇形面扇形, ,圆锥侧面的一部分和两个三角形截面组成圆锥侧面的一部分和两个三角形截面组成, ,首首先通过正视图线段的长度
7、可得扇形的圆心角为先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为 , ,所所以扇形面积以扇形面积S S1 1= = rr2 2= = 222 2= = , ,由侧视图由侧视图可得圆锥的母线长可得圆锥的母线长l= =2 ,= =2 ,由底面扇形所占底由底面扇形所占底面圆形的面圆形的 可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧面面积可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧面面积的的 , ,即即S S2 2= = rrl= ,= ,由正视图可得两个三角形的底由正视图可得两个三角形的底为为2,2,高为高为4,4,所以三角形面积为所以三角形面积为S S3 3= 24=4,= 24=4,所以几所以几何体的表面积为何体的表面积为S=S
8、S=S1 1+S+S2 2+2S+2S3 3= +8.= +8.答案答案: : +8+8热点题型热点题型2 2求空间几何体的表面积和体积求空间几何体的表面积和体积【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.1.如图如图, ,网格纸上小正方形的边长为网格纸上小正方形的边长为1,1,实线画实线画出的是某多面体的三视图出的是某多面体的三视图, ,则该多面体的表面积是则该多面体的表面积是( () )A.36+6A.36+6 B.36+3B.36+3 C.54C.54D.27D.272.(20172.(2017山东高考山东高考) )由一个长方体和两个由一个长方体和两个 圆柱构成圆柱构成的几何体的三视图如图的几何
9、体的三视图如图, ,则该几何体的体积为则该几何体的体积为_._.【联想解题联想解题】1.1.看到三视图看到三视图, ,想到几何体形状想到几何体形状. .2.2.看到求面积体积看到求面积体积, ,想到几何体的各个度量与三视图中想到几何体的各个度量与三视图中的大小标示关系的大小标示关系. .【规范解答规范解答】1.1.选选A.A.由三视图知该几何体为底面是梯形的四棱柱由三视图知该几何体为底面是梯形的四棱柱, ,其其表面积为表面积为S=2 (2+4)3+23+43+23 S=2 (2+4)3+23+43+23 =36+6 .=36+6 .2.2.由三视图可知长方体的体积为由三视图可知长方体的体积为V
10、 V1 1=211=2,=211=2,两个四两个四分之一圆柱的体积之和为分之一圆柱的体积之和为V V2 2= 1= 12 212= ,12= ,所以该几何体的体积为所以该几何体的体积为V=2+ .V=2+ .答案答案: :2+ 2+ 【规律方法规律方法】1.1.根据几何体的三视图判断几何体的结构特征的类型根据几何体的三视图判断几何体的结构特征的类型(1)(1)三视图为三个三角形三视图为三个三角形, ,对应的几何体为三棱锥对应的几何体为三棱锥. .(2)(2)三视图为两个三角形三视图为两个三角形, ,一个四边形一个四边形, ,对应的几何体为对应的几何体为四棱锥四棱锥. .(3)(3)三视图为两个
11、三角形三视图为两个三角形, ,一个圆一个圆, ,对应的几何体为圆锥对应的几何体为圆锥. .(4)(4)三视图为一个三角形三视图为一个三角形, ,两个四边形两个四边形, ,对应的几何体为对应的几何体为三棱柱三棱柱. .(5)(5)三视图为三个四边形三视图为三个四边形, ,对应的几何体为四棱柱对应的几何体为四棱柱. .(6)(6)三视图为两个四边形三视图为两个四边形, ,一个圆一个圆, ,对应的几何体为圆柱对应的几何体为圆柱. .2.2.求解几何体的表面积及体积的技巧求解几何体的表面积及体积的技巧(1)(1)求几何体的表面积及体积问题求几何体的表面积及体积问题, ,可以多角度、多方可以多角度、多方
12、位地考虑位地考虑, ,熟记公式是关键所在熟记公式是关键所在. .求三棱锥的体积求三棱锥的体积, ,等体等体积转化是常用的方法积转化是常用的方法, ,转化原则是其高易求转化原则是其高易求, ,底面放在底面放在已知几何体的某一面上已知几何体的某一面上. .(2)(2)求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积, ,常用分割或补形的思想常用分割或补形的思想, ,将将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. .【对点训练对点训练】1.(20181.(2018湖北七市湖北七市( (州州) )联考联考) )一个几何体的三视图如一个几何体的三视图如图所示图所示, ,则该几
13、何体外接球的表面积为则该几何体外接球的表面积为( () )A.36A.36B.B. C.32C.32D.28D.28【解析解析】选选B.B.根据三视图根据三视图, ,可知该几何体是一个四可知该几何体是一个四棱锥棱锥, ,其底面是一个边长为其底面是一个边长为4 4的正方形的正方形, ,高是高是2 .2 .将该四棱锥还原成一个三将该四棱锥还原成一个三棱柱棱柱, ,如图所示如图所示, ,该三棱柱的底面是边长为该三棱柱的底面是边长为4 4的正三角形的正三角形, ,高是高是4,4,其中心到三棱柱的其中心到三棱柱的6 6个顶点的距离即为该四棱锥个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径外接球的半径. .因为三棱
14、柱的底面是边长为因为三棱柱的底面是边长为4 4的正三角的正三角形形, ,所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为 2 = ,2 = ,所以其外接球的半径所以其外接球的半径R= R= = ,= ,则外接球的表面积则外接球的表面积S=4RS=4R2 2=4 = .=4 = .2.2.某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,则该几何体中则该几何体中, ,面积最面积最大的侧面的面积为大的侧面的面积为_._.【解析解析】由三视图可知由三视图可知, ,几何体的直观图如图所示几何体的直观图如图所示, ,平平面面AEDAED平面平面BCDE,BCD
15、E,四棱锥四棱锥A-BCDEA-BCDE的高为的高为1,1,四边形四边形BCDEBCDE是边长为是边长为1 1的正方形的正方形, ,则则S SABCABC=S=SABEABE= 1 = ,S= 1 = ,SADEADE= ,= ,所以所以S SACDACD= 1 = .= 1 = .答案答案: : 【提分备选提分备选】一个棱锥的三视图如图一个棱锥的三视图如图( (尺寸的长度单位尺寸的长度单位为为m),m),则该棱锥的表面积是则该棱锥的表面积是( (单位单位:m:m2 2).).( () )A.4+2A.4+2 B.4+B.4+ C.4+2C.4+2 D.4+ D.4+ 【解析解析】选选A.A.
16、由三视图可以看出由三视图可以看出, ,此几何体是一个侧面此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥. .由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形, ,高为高为2,2,底面底面长为长为2,2,故它们的面积皆为故它们的面积皆为 22=2,22=2,由顶点在底面的由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高投影向另两侧面的底边作高, ,由等面积法可以算出由等面积法可以算出, ,此此二高线的长度相等二高线的长度相等, ,为为 , ,将垂足与顶点连接起来即将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高得此两侧面的斜高,
17、 ,由勾股定理可以算出由勾股定理可以算出, ,此斜高为此斜高为2 ,2 ,同理可求出侧面底边长为同理可求出侧面底边长为 , ,可求得此两侧面的面积皆为可求得此两侧面的面积皆为 2 = ,2 = ,故此三棱锥的表面积为故此三棱锥的表面积为2+2+ + =4+2 .2+2+ + =4+2 .热点题型热点题型3 3多面体与球多面体与球【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20181.(2018浙江名校联考浙江名校联考) )某简单几何体的三某简单几何体的三视图如图所示视图如图所示, ,则该几何体的体积为则该几何体的体积为_,_,其其外接球的表面积为外接球的表面积为_._.2.2.已知三棱锥已知三棱锥P
18、-ABC,P-ABC,若若PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直, ,且且PA=2,PA=2,PB=PC=1,PB=PC=1,则三棱锥则三棱锥P-ABCP-ABC的内切球半径为的内切球半径为_._.【联想解题联想解题】1.1.看到体积看到体积, ,想到体积公式想到体积公式. .2.2.看到三棱锥看到三棱锥, ,想到体积转换想到体积转换. .【规范解答规范解答】1.1.由三视图得该几何体是一个底面为对角线为由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4 4的正方的正方形形, ,高为高为3 3的直四棱柱的直四棱柱, ,则其体积为则其体积为44 3=24.44 3=24.又又直四棱柱的外接球的半
19、径直四棱柱的外接球的半径R= ,R= ,所以四棱柱所以四棱柱的外接球的表面积为的外接球的表面积为4R4R2 2=25.=25.答案答案: :242425252.2.由题意由题意, ,设三棱锥设三棱锥P-ABCP-ABC的内切球的半径为的内切球的半径为r,r,球心为球心为O,O,则由等体积可得则由等体积可得V VB-PACB-PAC=V=VO-PABO-PAB+V+VO-PACO-PAC+V+VO-PBCO-PBC+V+VO-ABCO-ABC, ,可得可得 211= 212r+ 1 211= 212r+ 11r+ r,1r+ r,所以所以r= .r= .答案答案: : 【规律方法规律方法】多面体
20、与球接、切问题的求解策略多面体与球接、切问题的求解策略(1)(1)涉及多面体与球的切接问题时涉及多面体与球的切接问题时, ,一般过球心与多面一般过球心与多面体中的特殊点体中的特殊点( (一般为切、接点一般为切、接点) )或线作截面或线作截面, ,把空间问把空间问题转化为平面问题题转化为平面问题, ,再利用平面知识寻找几何元素间的再利用平面知识寻找几何元素间的关系关系. .(2)(2)若球面上四点若球面上四点P,A,B,CP,A,B,C构成的线段构成的线段PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂两两垂直直, ,常把有关元素常把有关元素“补形补形”成为一球内接长方体成为一球内接长方体( (或其或其他
21、图形他图形),),从而显示球的数量关系从而显示球的数量关系. .【对点训练对点训练】1.1.在封闭的直三棱柱在封闭的直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1内有一个体积为内有一个体积为V V的球的球. .若若ABBC,AB=6,BC=8,AAABBC,AB=6,BC=8,AA1 1=3,=3,则则V V的最大值是的最大值是( () )A.4A.4B.B. C.6C.6D. D. 【解析解析】选选B.B.当球的半径最大时当球的半径最大时, ,球的体积最大球的体积最大. .在直在直三棱柱内三棱柱内, ,当球和三个侧面都相切时当球和三个侧面都相切时, ,因为因为ABBC,AB=6,
22、ABBC,AB=6,BC=8,BC=8,所以所以AC=10,AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半底面的内切圆的半径即为此时球的半径径r= =2,r= =2,直径为直径为44侧棱侧棱. .所以球的最大直径为所以球的最大直径为3,3,半径为半径为 , ,此时体积此时体积V= .V= .2.2.三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱互相垂直的三条侧棱互相垂直, ,且且PA=PB=PC=1,PA=PB=PC=1,则则其外接球上的点到平面其外接球上的点到平面ABCABC的距离最大值为的距离最大值为( () )A.A. B.B. C.C. D. D. 【解析解析】选选D.D.由题意由题意, ,
23、得该三棱锥得该三棱锥P-ABCP-ABC是棱长为是棱长为1 1的正方体的一部分的正方体的一部分( (如图所示如图所示),),且外接球的直径为正方体的体对角线且外接球的直径为正方体的体对角线, ,易易知知PDPD平面平面ABC,ABC,且点且点D D到平面到平面ABCABC的距离是外接球上的的距离是外接球上的点到平面点到平面ABCABC的距离的最大值的距离的最大值, ,为为 = . = .【提分备选提分备选】1.1.过球的一条半径的中点过球的一条半径的中点, ,作垂直于该半作垂直于该半径的平面径的平面, ,则所得截面的面积与球的表面积的比为则所得截面的面积与球的表面积的比为( () )A.A.
24、B.B. C.C. D. D. 【解析解析】选选A.A.设球的半径为设球的半径为R,R,截面圆截面圆M M的半径为的半径为r,r,可可得得,R,R2 2= R= R2 2+r+r2 2, ,所以所以 R R2 2=r=r2 2, ,所以所以S S球球=4=4R R2 2, ,截面圆截面圆M M的面积为的面积为:r:r2 2= R= R2 2, ,则所得截面的面积与则所得截面的面积与球的表面积的比为球的表面积的比为: = .: = .2.2.如图如图, ,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器, ,其中侧棱长为其中侧棱长为8 cm,8 cm,底面边长为底面边
25、长为12 cm,12 cm,将一个球放在容将一个球放在容器口器口, ,再向容器内注水再向容器内注水, ,当球面恰好接触水面时当球面恰好接触水面时, ,测得水测得水深为深为6 cm,6 cm,如果不计容器的厚度如果不计容器的厚度, ,则球的表面积为则球的表面积为( () )A. 36 cmA. 36 cm2 2B. 64 cmB. 64 cm2 2C. 80 cmC. 80 cm2 2 D. 100 cmD. 100 cm2 2【解析解析】选选B.B.由题意得由题意得, ,设球和三棱柱的上底面的三个设球和三棱柱的上底面的三个交点分别为交点分别为A,B,C,A,B,C,设截面圆的半径为设截面圆的半
26、径为r,r,因为上底面是因为上底面是边长为边长为1212的正三角形的正三角形, ,则则r=2 ,r=2 ,设球的半径为设球的半径为R,R,根据根据球的性质可得球的性质可得R R2 2=(R-2)=(R-2)2 2+ + R=4,R=4,所以球的表面积为所以球的表面积为S=4RS=4R2 2=44=442 2=64 (cm=64 (cm2 2).). 直观想象直观想象空间几何体表面上的最值问题中空间几何体表面上的最值问题中 的数学素养的数学素养【相关链接相关链接】空间几何体表面上的最值问题空间几何体表面上的最值问题, ,是指空间几何体表面上是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个
27、定点的距离的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题之和的最值问题. .将空间几何体表面进行展开是化解该将空间几何体表面进行展开是化解该问题的主要方法问题的主要方法, ,对于多面体可以把各个面按照一定的对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上顺序展开到一个平面上, ,将旋转体将旋转体( (主要是圆柱、圆锥、主要是圆柱、圆锥、圆台圆台) )可以按照某条母线进行侧面展开可以按照某条母线进行侧面展开, ,这样就把本来这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一平面上的问题不在一个平面上的问题转化为同一平面上的问题, ,结合结合问题的具体情况在平面上求解最值即可问题的具体情
28、况在平面上求解最值即可. .【典例典例】如图所示如图所示, ,长方体长方体ACAC1 1的长、的长、宽、高分别为宽、高分别为3,4,5.3,4,5.现有一甲壳虫从现有一甲壳虫从A A出发沿长方体表面爬行到出发沿长方体表面爬行到C C1 1来获取食来获取食物物, ,则其路程的最小值为则其路程的最小值为_._.【规范解答规范解答】把长方体含把长方体含A,CA,C1 1的面作展开图的面作展开图, ,如图甲、如图甲、乙、丙所示乙、丙所示. .对这三种展开图利用勾股定理可得对这三种展开图利用勾股定理可得ACAC1 1的长分别为的长分别为 , , , , , ,由此可见乙是最短路线由此可见乙是最短路线.
29、.所以甲壳虫可以先在面所以甲壳虫可以先在面ABBABB1 1A A1 1内由内由A A到到E,E,再在面再在面BCCBCC1 1B B1 1内由内由E E到到C C1 1, ,其最短路程为其最短路程为 . .答案答案: : 【通关题组通关题组】1.1.如图所示如图所示, ,侧棱长为侧棱长为2 2 的正三棱锥的正三棱锥V-ABCV-ABC中中,AVB,AVB=BVC=CVA=40,=BVC=CVA=40,过过A A作截面作截面AEF,AEF,则则AEFAEF周长的最周长的最小值为小值为_._.【解析解析】如图如图, ,将三棱锥沿侧棱将三棱锥沿侧棱VAVA剪开剪开, ,并将其侧面展并将其侧面展开平
30、铺在一个平面上开平铺在一个平面上, ,则线段则线段AAAA1 1的的长即为所求长即为所求AEFAEF周长的最小值周长的最小值. .取取AAAA1 1的中点的中点D,D,连接连接VD,VD,则则VDAAVDAA1 1, ,AVD=60.AVD=60.在在RtVADRtVAD中中,AD=VA,AD=VAsin 60=3,sin 60=3,所以所以AAAA1 1=2AD=6.=2AD=6.即即AEFAEF周长的最小值为周长的最小值为6.6.答案答案: :6 62.2.如图所示如图所示, ,已知六棱柱已知六棱柱ABCDEF-ABCDEFABCDEF-ABCDEF的侧面均为边长为的侧面均为边长为1 1的
31、正方形的正方形, ,底面是正多边形底面是正多边形. .则一动点从则一动点从A A沿表面移动到点沿表面移动到点DD的最短路程为的最短路程为_._.【解析解析】如图所示如图所示, ,作出六棱柱的展开图作出六棱柱的展开图. .如果动点由如果动点由A A经棱经棱AB,AB,沿上底面到达沿上底面到达D,D,则最短路则最短路线长为线长为AD= AD= = ;= ;如果动点经侧面通过棱如果动点经侧面通过棱BB,CCBB,CC到达到达D,D,则最短路线则最短路线长为长为AD= .AD= .又又 , ,故动点故动点A A沿侧面过棱沿侧面过棱AB,AB,沿上底沿上底面到达面到达DD路程最短路程最短. .故动点从故动点从A A沿表面移动到点沿表面移动到点DD的的最短路程为最短路程为 . .答案答案: :
